ČÍSLO PROJEKTU ČÍSLO MATERIÁLU NÁZEV ŠKOLY AUTOR TÉMATICKÝ CELEK CZ.1.07/1.5.00/34.0423 ČÍSLO MATERIÁLU DUM2- Variace bez opakování –výklad, příklady. NÁZEV ŠKOLY Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01 AUTOR PaedDr.Alena Chalupová TÉMATICKÝ CELEK Kombinatorika ROČNÍK 2.-nástavbové studium, 4.-HŠ DATUM TVORBY Listopad 2013 Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01

Anotace: Prezentace seznámí žáky s pojmem variace bez opakování obsahuje ukázkově řešené příklady k procvičení daného učiva Metodické pokyny: výukový materiál

Kombinatorika Variace bez opakování.

Variace x kombinace-rozdíl: Mějme množinu M o n prvcích. Z nich můžeme vybírat k-prvkové skupiny prvků, v nichž a) záleží na pořadí prvků variace (permutace) bez opakování nebo s opakováním b) nezáleží na pořadí kombinace bez opakování nebo s opakováním

Variace bez opakování V(k,n) = n.(n-1).(n-2).(n-3)….(n-k+1) Variace k-té třídy z n prvků bez opakování jsou takové uspořádané k-tice z n prvků, v nichž se každý prvek vyskytuje nejvýše jednou. značíme V(k,n) nebo Vk(n) Počet takových variací počítáme ze vzorce V(k,n) = n.(n-1).(n-2).(n-3)….(n-k+1)

Odvození vzorce: Počet možností výběru jednotlivých členů: 1.člen 2.člen 3.člen …..(k-1)člen k-tý člen n n-1 n-2 n-(k-2) n-(k-1) Podle kombinatorického pravidla součinu V(k,n) = n.(n-1).(n-2).(n-3)….(n-k+1)

Příklad 1-zadání: Kolika způsoby si může 8 finalistů ve sprintu na 100 metrů rozdělit medaile?

Příklad 1-řešení: n = 8 …..počet finalistů k = 3 …..trojice medailistů- záleží na pořadí, nemohou se opakovat V(3,8) = 8.7.6 = 336 možností, jak si rozdělí medaile

Příklad 2-zadání: Vlajka-trikolora-je tvořena 3 různobarevnými vodorovnými pruhy. Na její výrobu jsou k dispozici červený,modrý, zelený, bílý a žlutý pruh. Kolik takových vlajek lze sestavit? Kolik má modrý pruh uprostřed? Kolik z nich má modrý pruh? Kolik jich nemá červený pruh uprostřed?

Příklad 2-řešení: a) V(3,5) = 5.4.3 = 60 různých vlajek b) Modrý pruh uprostřed je určen, k němu vybíráme dvojici ze 4 zbývajících barev, tj, V(2,4) = 4.3 =12 možností c) Modrý pruh může být na 3 různých místech, tj. 3. V(2,4) = 3.12 = 36 vlajek d) Červený pruh není uprostřed: 60 -12 =48

Příklad 3-zadání: Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, v jejichž zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.

Příklad 3-řešení: počet všech číslic…..10 tvoříme pěticiferná čísla, číslice se neopakují, ale musíme odečíst čísla začínající 0 V(5,10) - V(4,9) =10.9.8.7.6 - 9.8.7.6 = = 30 240 – 3024 = 27 216 (pomocí kombin. prav. součinu: 9.9.8.7.6 = 27 216)

Použitá literatura: Vlastní archiv autora CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 251 s. ISBN 80-719-6109-4. JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

Děkuji za pozornost.