ČÍSLO PROJEKTU ČÍSLO MATERIÁLU NÁZEV ŠKOLY AUTOR TÉMATICKÝ CELEK CZ.1.07/1.5.00/34.0423 ČÍSLO MATERIÁLU DUM9-vlastnosti kombinačních čísel-výklad, příklady NÁZEV ŠKOLY Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01 AUTOR PaedDr.Alena Chalupová TÉMATICKÝ CELEK Kombinatorika ROČNÍK 2.-nástavbové studium, 4.-HŠ DATUM TVORBY Prosinec 2013 Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01

Anotace: Prezentace seznámí žáky s pojmem doplňková kombinace seznámí žáky s vlastnostmi kombinačních čísel obsahuje ukázkově řešené příklady k procvičení a opakování daného učiva Metodické pokyny: výukový materiál

Vlastnosti kombinačních čísel. Kombinatorika Vlastnosti kombinačních čísel.

1.vlastnost: Doplňková kombinace: Příklad: M=a,b,c,d,e,f ke každé 2-prvkové kombinaci ze 6 prvků existuje kombinace zbývajících 4 prvků ab ….. cdef ac ….. bdef C(2,6) = C(4,6) cd ….. abef atd. ke každé 1-prvkové kombinaci ze 6 prvků existuje kombinace zbývajících 5 prvků a …..bcdef C(1,6) = C(5,6)

1.vlastnost: Doplňková kombinace: Analogicky: ke každé k-prvkové kombinaci z n prvků existuje kombinace zbývajících (n-k) prvků, tzv. doplňková kombinace a platí: C(k,n) = C(n-k,n) Věta 1. Pro k,n Z0+; kn platí:

Příklad 1-zadání: Určete doplňkovou kombinaci a vypočítejte ji:

Příklad 1-řešení:

2.vlastnost: Součet kombinačních čísel: Příklad: M=Adam,Boris,Cyril,Dušan,Emil,Filip Určete počet všech trojic chlapců Určete počet všech trojic, v nichž je Adam: tj. vyloučíme Adama, utvoříme dvojice a ke každé přidáme Adama Určete počet všech trojic, v nichž není Adam: tj. vyloučíme Adama a ze zbývajících 5 chlapců utvoříme trojice

2.vlastnost: Součet kombinačních čísel: Pokračování příkladu: Součet všech trojic, v nichž Adam je a všech trojic, v nichž Adam není je roven počtu všech trojic chlapců, tj.

2.vlastnost: Součet kombinačních čísel: Analogicky: Součet k-prvkových a (k+1)-prvkových kombinací z n prvků je roven počtu (k+1)-prvkových kombinací z (n+1) prvků, tj. Věta 2. Pro k,n Z0+; kn platí:

Příklad 2-zadání: Vyjádřete jedním kombinačním číslem: a) b) c) d)

Příklad 2-řešení: Podle věty 2 (s využitím věty 1): a) b) c) d)

Příklad 3-zadání: Vyjádřete jedním kombinačním číslem:

Příklad 3-řešení: Podle věty 2 postupně vyjádříme: Závěr:

3.vlastnost: Součet více kombinačních čísel. Výsledek příkladu a využití vět 1 a 2 se dá zobecnit: Věta 3. Pro k,jZ0+ platí:

Příklad 4-zadání: Vyjádřete jedním kombinačním číslem:

Příklad 4-řešení: Podle věty 3 a viz předchozí příklad:

Použitá literatura: Vlastní archiv autora CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 251 s. ISBN 80-719-6109-4. JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

Děkuji za pozornost.