Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu:

Prezentace na téma: "Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu:"— Transkript prezentace:

1 Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu: VY_32_INOVACE_1_ROVNICE_07 Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Téma sady: Rovnice Obor, ročník: Ekonomické lyceum a obchodní akademie, 1.,3. a 4. ročník Datum vytvoření: únor 2013 Anotace: Řešení lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou metodou intervalů Metodický obsah: Výklad nového učiva, příklady na procvičení, ve vyšších ročnících k opakování učiva. Prezentace je určena jako podklad pro výklad v hodině, ale i k samostudiu formou e-learningu.

2 Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
Při řešení těchto rovnic a nerovnic vycházíme z definice absolutní hodnoty: 𝑝𝑟𝑜 𝑎≥0 𝑗𝑒 𝑎 =𝑎 𝑛𝑎𝑝ř. 3 =3 𝑝𝑟𝑜 𝑎<0 𝑗𝑒 𝑎 =−𝑎 𝑛𝑎𝑝ř. −3 =− −3 =3 Metoda, kterou užíváme, se nazývá metoda intervalů. Tyto intervaly vyplývají z tzv. nulových bodů. nulový bod = číslo, pro které výraz v absolutní hodnotě nabývá hodnoty 0. 𝑛𝑎𝑝ř. 𝑥−1 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣ý 𝑏𝑜𝑑 𝑥=1

3 A) Lineární rovnice s absolutní hodnotou
Př. 1 Řešte v ℛ: 2𝑥−4 =𝑥+2 Anulováním výrazu v absolutní hodnotě dostaneme „nulový bod“, pomocí kterého rozdělíme číselnou osu na jednotlivé intervaly: 2𝑥−4=0 𝐼 1 = −∞;2 𝐼 2 = 2; ∞ 2 𝑥= 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣ý 𝑏𝑜𝑑 do druhého intervalu nulový bod zařadím do jednoho intervalu nulový bod nezařadím

4 Jednotlivá řešení sjednotíme a dostaneme výsledek: 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2
Na základě definice absolutní hodnoty odstraníme absolutní hodnoty v jednotlivých intervalech a rovnice v nich vyřešíme: Jednotlivá řešení sjednotíme a dostaneme výsledek: 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 𝒦= 2 3 ;6 𝐼 1 = −∞; 𝐼 2 = 2; ∞ 2𝑥−4 − 2𝑥−4 2𝑥−4 2𝑥−4 =𝑥+2 − 2𝑥−4 =𝑥+2 2𝑥−4=𝑥+2 −2𝑥+4=𝑥+2 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣ý 𝑏𝑜𝑑 po dosazení libovolného čísla z 𝐼 2 (kromě nulového bodu) dostávám kladný výsledek, a proto před kulatou závorku píšu pomyslné + −3𝑥=−2 po dosazení libovolného čísla z 𝐼 1 dostávám záporný výsledek, a proto před kulatou závorku píšu - 𝑥= 2 3 𝑥=6 𝒦 1 = 2 3 𝒦 2 = 6 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 6∈ 𝐼 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 2 3 ∈ 𝐼 1

5 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣é 𝑏𝑜𝑑𝑦 𝑝𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑛é 𝑣ý𝑟𝑎𝑧𝑦
Př. 2 Řešte v ℛ: 𝑥+2 + 𝑥−1 = 3 nulové body: 𝑥=−2, 𝑥=1 𝐼 1 =(−∞;−2) 𝐼 2 = −2 ;1) 𝐼 3 = 1 ;+∞) 𝐼 1 =(−∞;−2) 𝐼 2 = −2 ;1) 𝐼 3 = 1 ;+∞) 𝑥+2 −(𝑥+2) (𝑥+2) (𝑥+2) 𝑥−1 − 𝑥−1 − 𝑥−1 𝑥−1 − 𝑥+2 − 𝑥−1 =3 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣é 𝑏𝑜𝑑𝑦 𝑝𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑛é 𝑣ý𝑟𝑎𝑧𝑦 𝑣 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑛í ℎ𝑜𝑑𝑛𝑜𝑡ě 𝑥+2 − 𝑥−1 =3 𝑥+2 + 𝑥−1 =3 −𝑥−2−𝑥+1=3 𝑥+2−𝑥+1=3 𝑥+2+𝑥−1=3 +- dá - ++ dá + 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑚á 𝑛𝑒𝑘𝑜𝑛𝑒č𝑛ě 𝑚𝑛𝑜ℎ𝑜 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑣 𝐼 2 −2𝑥−1=3 3=3 2𝑥=2 𝑥+2 + 𝑥−1 =3 −2𝑥=4 0=0 𝑥=1 x=−2 𝑝𝑟𝑎𝑣𝑑𝑎 𝒦 1 ={} 𝒦 2 = −2 ;1) 𝒦 3 ={1} 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 −2∉ 𝐼 1 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 1∈ 𝐼 3 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 ∪ 𝒦 3 𝒦= −2; 1

6 Př. 3 Řešte v ℛ: 2𝑥 −2 1−𝑥 =2 nulové body: 𝑥=0, 𝑥=1 0 1 -+ dá -
𝐼 1 =(−∞;0) 𝐼 2 = 0 ;1) 𝐼 3 = 1 ;+∞) 𝐼 1 =(−∞;0) 𝐼 2 = 0 ;1) 𝐼 3 = 1 ;+∞) 2𝑥 −2𝑥 2𝑥 2𝑥 1−𝑥 1−𝑥 1−𝑥 − 1−𝑥 −2𝑥−2 1−𝑥 =2 2𝑥−2 1−𝑥 =2 2𝑥+2 1−𝑥 =2 -+ dá - −2𝑥−2+2𝑥=2 2𝑥−2+2𝑥=2 2𝑥+2−2𝑥=2 - - dá + 2𝑥 −2 1−𝑥 =2 0=4 4𝑥=4 0=0 𝑛𝑒𝑝𝑟𝑎𝑣𝑑𝑎 𝑥=1 𝑝𝑟𝑎𝑣𝑑𝑎 𝒦 1 ={} 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑚á 𝑛𝑒𝑘𝑜𝑛𝑒č𝑛ě 𝑚𝑛𝑜ℎ𝑜 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑣 𝐼 3 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑛𝑒𝑚á ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑣 𝐼 1 𝒦 2 ={} 𝒦 3 = 1 ;+∞) 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 1 ∉ 𝐼 2 𝒦=𝒦 1 ∪ 𝒦 2 ∪𝒦 3 𝒦= 1 ;+∞)

7 B) Lineární nerovnice s absolutní hodnotou
Při řešení nerovnic s absolutní hodnotou postupujeme obdobně jako při řešení rovnic s absolutní hodnotou. Rozdíl je pouze v tom, že nezjišťujeme, zda kořen patří do daného intervalu, ale zjišťujeme průnik řešení a daného intervalu.

8 nulový bod: Př. 1 Řešte v ℛ: 2𝑥−8 ≥𝑥+2 2𝑥−8=0 𝑥=4 4
𝐼 1 = −∞;4 𝐼 2 = 4; ∞ 4 𝐼 1 = −∞; 𝐼 2 = 4; ∞ 2𝑥−8 − 2𝑥−8 2𝑥−8 2𝑥−8 ≥𝑥+2 − 2𝑥−8 ≥𝑥+2 2𝑥−8≥𝑥+2 −2𝑥+8≥𝑥+2 𝑥≥10 −3𝑥≥−6 𝑥≤2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 1 𝒦 2 = 10; +∞ 𝒦 1 = −∞; 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 2 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 𝒦=(−∞; 2 ∪ 10; +∞

9 nulový bod: Př. 2 Řešte v ℛ: 2x− 3𝑥−6 >4 3𝑥−6=0 𝑥=2 2
𝐼 1 = −∞;2 𝐼 2 = 2; ∞ 2 𝐼 1 = −∞; 𝐼 2 = 2; ∞ 3𝑥−6 − 3𝑥−6 3𝑥−6 2𝑥− 3𝑥−6 >4 2𝑥+ 3𝑥−6 >4 2𝑥− 3𝑥−6 >4 5𝑥>10 2𝑥−3𝑥+6>4 𝑥>2 −𝑥>−2 𝑥<2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 1 2 2 𝒦 2 ={} 𝒦 1 ={} 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 2 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 𝒦={}

10 Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
Procvičování: Řešte v ℛ: 1− x−3 =x−2 x+2 − 2x−4 =1 2x−3 ≥ 3x−2 1−x <x+3 Výsledky: 𝒦= −∞ ; 3 𝒦={1;5} 𝒦= −1;1 𝒦= −1;+∞

11 Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
Zdroje, autorská práva JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy : sbírka úloh k opakování a procvičování učiva matematiky střední školy. 4. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 194 s. Pomocné knihy pro žáky (Prometheus). ISBN Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. Všechny neocitované kliparty jsou součástí prostředků MS Office. „Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoli další využití podléhá autorskému zákonu.“