zpracovaný v rámci projektu Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0178 Šablona:* III/2 Sada:* I. Ověření ve výuce: oktáva Datum: listopad-duben 12/13 *) Doplňte po konzultaci s ředitelem školy

Základy infinitezimálního počtu Anotace: Úvod do základu infinitezimálního počtu pro oktávu gymnázia. Výkladové prezentace s využitím VBA (nutno povolit makra) využitelné pro výuku s interaktivní tabulí, vhodné pro domácí přípravu, doplněné úlohami na procvičení jak přímo v prezentaci tak i formou pracovních listů. Jméno autora: Mgr. Ivana Mastíková Škola - adresa: Základní škola T. G. Masaryka a gymnázium Česká Kamenice, Palackého 535, 407 21 Česká Kamenice

Základy infinitezimálního počtu Určitý integrál

Určitý integrál V předchozích kapitolách jsme se zabývali určením primitivní funkce F(x) k dané funkci f(x) spojité na intervalu (a; b). Primitivní funkci jsme určovali výpočtem tak zvaného neurčitého integrálu 𝑓 𝑥 dx. Výsledkem integrace byla množina primitivních funkcí F(x) + c. V této kapitole se seznámíme s dalším pojmem integrálního počtu, určitým integrálem. Určitý integrál má využití v mnoha oborech. V mechanice, ekonomice, geometrii atd.. K jeho pochopení si zavedeme některé nové pojmy. Mějme dánu funkci f spojitou na intervalu a; b. Tento interval rozdělíme na n částí dělícími body 𝑥 𝑘 , kde 𝑘=0, 1, …, 𝑛 takovými, že 𝑎= 𝑥 0 < 𝑥 1 <… <𝑥 𝑛−1 < 𝑥 𝑛 =𝑏. m2 m5 m4= m3 m1 a=x0 x1 x2 x3 x4 x5= b Množinu intervalů D={ 𝑥 0 ; 𝑥 1 , 𝑥 1 ; 𝑥 2 ,…, 𝑥 𝑛−1 ; 𝑥 𝑛 }, nazveme dělení intervalu a; b. m – nejmenší funkční hodnota funkce f v každém intervalu množiny D. M – největší funkční hodnota funkce f v každém intervalu množiny D.

Určitý integrál Potřebujeme ještě tuto důležitou větu: Je-li funkce f spojitá v každém bodě intervalu a; b, pak existuje právě jedno  takové, že platí: sn(D,f)   Sn(D,f) , pro libovolné dělení D intervalu a; b Číslo  je společnou limitou posloupnosti dolních integrálních součtů a posloupnosti horních integrálních součtů . Dolní integrální součet − 𝒔 𝒏 𝐷,𝑓 = 𝑚 1 𝑥 1 − 𝑥 0 +…+ 𝑚 𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1 Horní integrální součet − 𝑺 𝒏 𝐷,𝑓 = 𝑀 1 𝑥 1 − 𝑥 0 +…+ 𝑀 𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1 a=x0 x1 x2 x3 x4 x5= b a=x0 x1 x2 x3 x4 x5= b

Určitý integrál Pak Pro výpočet určitého integrálu je pro nás velmi důležitá následující věta: a při výpočtu určitých integrálů platí pro funkce spojité na intervalu a; b stejná pravidla, která jsme používali při výpočtu primitivní funkce. 𝐼= 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑠 𝑛 𝐷,𝑓 = 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 𝐷,𝑓 se nazývá určitý integrál funkce f od a do b a značí se: 𝐼= 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ; Interval a; b se nazývá integrační obor, číslo a dolní mez číslo b horní mez určitého integrálu. Základní věta integrálního počtu Nechť je funkce f spojitá na intervalu a; b a funkce F je na tomto intervalu funkce k ní primitivní , pak platí: 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎 vzorec Newtonův-Leibnizův.

Určitý integrál cvičení 1 Příklad: Vypočtěte určitý integrál 1 5 2𝑥−3 𝑑𝑥: určíme primitivní funkci k funkci f(x) = 2x – 3  1 5 2𝑥−3 𝑑𝑥=2 1 5 𝑥𝑑𝑥−3 1 5 𝑑𝑥 =2∙ 𝑋 2 2 −3𝑥= 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙 1 5 2𝑥−3 𝑑𝑥=2 1 5 𝑥𝑑𝑥−3 1 5 𝑑𝑥 =2∙ 𝑋 2 2 −3𝑥= 𝒙 𝟐 −𝟑𝒙 2. použijeme Newtonův-Leibnizův vzorec 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝐹 𝑏 −𝐹 𝑎 . 2∙ 1 5 𝑥𝑑𝑥−3∙ 1 5 𝑑𝑥 = 𝒙 𝟐 1 5 − 𝟑𝒙 1 5 = 5 2 − 1 2 − 15−3 =12 Vypočtěte: F(5) – F(1) F(5) – F(1) −1 2 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 −3 3 4𝑥 3 − 𝑥 2 +2𝑥−5 𝑑𝑥 𝑥 2 +2𝑥− −3 3 4𝑥 3 − 𝑥 2 +2𝑥−5 𝑑𝑥 −3 −1 𝑑𝑥 𝑥 2

𝑎 𝑏 𝑢 𝑥 ∙𝑣′ 𝑥 𝑑𝑥= 𝑢 𝑥 𝑣(𝑥) 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑢 ′ 𝑥 ∙𝑣 𝑥 𝑑𝑥 Určitý integrál Při určení primitivní funkce k výpočtu určitého integrálu používáme nám známé metody výpočtu pomocí metody per partes a také substituční metodu. Příklad: 0 𝜋 2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 Primitivní funkci určíme metodou per partes volíme u(x) = x, u(x)’ = 1 a v(x)’ = cosx pak v(x) = sinx  0 𝜋 2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥= 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 0 𝜋 2 − 0 𝜋 2 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥= 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 0 𝜋 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 0 𝜋 2 = 𝜋 2 𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 −0𝑠𝑖𝑛0 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 −𝑐𝑜𝑠0 = 𝜋 2 −1 Mají-li funkce u(x) a v(x) v intervalu a; b spojité derivace, pak v tomto intervalu platí: 𝑎 𝑏 𝑢 𝑥 ∙𝑣′ 𝑥 𝑑𝑥= 𝑢 𝑥 𝑣(𝑥) 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑢 ′ 𝑥 ∙𝑣 𝑥 𝑑𝑥

𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑥 ∙𝑔′(𝑥)𝑑𝑥= 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Určitý integrál Při výpočtu určitého integrálu substituční metodou si musíme uvědomit, že zavedením nové proměnné se nám změní meze určitého integrálu. Při tomto výpočtu vycházíme z věty o substituci určitého integrálu. Příklad 2: 0 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥∙𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑡=𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑡 ′ =−𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑑𝑥= −𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 ;𝑔 𝑎 =𝑐𝑜𝑠0=1, 𝑔 𝑏 =𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 =0  Protože g(a) > g(b) musíme zaměnit meze a změnit znaménko integrálu  0 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥∙𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1 0 𝑡 2 ∙𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 =− 0 1 𝑡 2 𝑑𝑡= − 𝑡 3 3 0 1 =− 1 3 Vše si procvičíme v následujících úlohách. Jsou-li funkce 𝑡=𝑔(𝑥) a její derivace 𝑔′(𝑥) spojité v uzavřeném intervalu a; b a je-li zároveň spojitá i funkce 𝑓(𝑡) pro všechna 𝑡=𝑔(𝑥), kde 𝑥∈ 𝑎;𝑏 , pak platí 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑥 ∙𝑔′(𝑥)𝑑𝑥= 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Určitý integrál cvičení 2 Vypočtěte: 0 1 𝑥 𝑥 2 +1 2 𝑑𝑥 1 𝑒 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 6 𝜋 2 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 0 1 𝑥 2 𝑥 2 −1 10 𝑑𝑥 1 2 3𝑥+2 𝑙𝑛𝑥 1 2 3𝑥+2 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥

Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát Matematika, příprava k maturitě a přijímacím zkouškám – Jindra Petáková