ČÍSLO PROJEKTU ČÍSLO MATERIÁLU NÁZEV ŠKOLY AUTOR TÉMATICKÝ CELEK CZ.1.07/1.5.00/34.0423 ČÍSLO MATERIÁLU DUM5-Permutace bez opakování–výklad, příklady. NÁZEV ŠKOLY Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01 AUTOR PaedDr.Alena Chalupová TÉMATICKÝ CELEK Kombinatorika ROČNÍK 2.-nástavbové studium, 4.-HŠ DATUM TVORBY Prosinec 2013 Střední škola a Vyšší odborná škola cestovního ruchu, Senovážné náměstí 12, České Budějovice 370 01

Anotace: Prezentace seznámí žáky s pojmem permutace bez opakování seznámí žáky s pojmem faktoriál obsahuje ukázkově řešené příklady k procvičení daného učiva Metodické pokyny: výukový materiál

Permutace (bez opakování). Kombinatorika Permutace (bez opakování).

Permutace (bez opakování). Permutací z n prvků bez opakování je každá variace n-té třídy z těchto n prvků (k = n). (tj. taková uspořádaná n-tice z n prvků, v nichž se každý prvek může vyskytovat nejvýše jednou), Permutace obsahují všechny prvky, liší se pouze jejich uspořádáním, značíme: P(n)

Odvození vzorce: Počet takových permutací počítáme ze vzorce P(n) = V(n,n) = n.(n-1).(n-2)…3.2.1 = n! Pozn.: součin všech přirozených čísel od 1 do n značíme symbolem n!, čteme „en faktoriál“, pro n = 0 definujeme: 0! = 1

Poznámka: Díky této znalosti lze upravit vzorec pro počet V(k,n) :

Příklad 1-zadání: Kolika způsoby se mohou na lavici posadit vedle sebe žáci Petr, Jirka a Karel? Vypište všechny možnosti.

Příklad 1-řešení: 3 žáci mají obsadit 3 místa, nemohou se opakovat P(3) = 3! = 3.2.1 = 6 možnosti: PJK KJP JPK PKJ KPJ JKP

Příklad 2-zadání: Určete počet všech 5-ciferných čísel, vytvořených z číslic 1,3,5,7 a 9 tak, že se číslice neopakují.

Příklad 2-řešení: n = 5, k = n = 5 číslice se nemohou opakovat na jejich pořadí záleží P(5) = 5 .4.3.2.1 = 120

Příklad 3-zadání: Určete počet všech přirozených 6-ciferných čísel vytvořených z číslic 0,1,2,3,4,5, v nichž se číslice neopakují. Kolik je takových čísel větších než 300 000?

Příklad 3-řešení: počet číslic…..n = 6 tvoříme šesticiferná čísla (k=6), číslice se neopakují, ale musíme odečíst čísla začínající 0 P(6) – P(5) = 6! – 5! = 5!(6-1) = 120.5 = 600 Taková čísla mají na 1.místě 3, 4 nebo 5, k nim přidáme pětici zbývajících číslic 3. P(5) = 3. 5! = 3. 120 = 360

Příklad 4-zadání: Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova „KLADIVO“ tak, aby v tomto přeskupení skupina po sobě jdoucích písmen tvořila slovo a) „VODA“ b) „ VKLAD“

Příklad 4-řešení: a) Slovo KLADIVO má 7 písmen, ve slově „VODA“ se pořadí nemění, celé slovo se chová jako 1 písmeno, tzn. že se zbývajícími 3 písmeny máme 4 písmena na 4 místa P(4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 přeskupení b) Analogicky: VKLAD + 2 písmena P(3)= 3! = 3.2.1 = 6 přeskupení

Příklad 5-zadání: a) Určete počet způsobů, kterými se 6 dívek a pět chlapců může postavit do zástupu. b) Kolik takových způsobů bude, mají-li všechny dívky stát na začátku?

Příklad 5-řešení: a) Celkem 11 lidí má vytvořit zástup P(11) = 11! = 39 916 800 možností b) Na prvních 6 místech se může 6 dívek postavit P(6) =6! způsoby, za nimi 5 chlapců P(5) = 5! způsoby, celkový počet: P(6) . P(5) = 6! . 5! = 720 . 120 = 86 400

Příklad 6-zadání: Zvětší-li se počet prvků o 2, zvětší se počet z nich utvořených permutací 72 krát. Určete počet prvků n.

Příklad 6-řešení: n prvků P(n) = n! permutací n+2 prvků P(n+2) = (n+2)! permutací….72x víc n!.72 = (n+2)! n!.72 = (n+2).(n+1).n! / :n! 72 = (n+2).(n+1) 72 = n2 +2n +n+ 2 n2+3n - 70 = 0 (n-7).(n+10)=0 n1 = 7 n2 = -10 N

Příklad 7-zadání: Řešte v R rovnici: log(x+1)! – log x! = 1

Příklad 7-řešení:

Použitá literatura: Vlastní archiv autora CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 251 s. ISBN 80-719-6109-4. JIRÁSEK, František. Sbírka úloh z matematiky: pro SOŠ a studijní obory SOU. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Státní pedagogické nakladatelství). ISBN 80-042-1341-3.

Děkuji za pozornost.