Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

2 © L&K2 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP

3 © L&K3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina přípustných řešení úlohy LP Optimální řešení úlohy LP Rozbor řešitelnosti úlohy LP Standardní tvar MM úlohy LP Přídatné proměnné v modelu úlohy LP

4 © L&K4 OBECNÁ FORMULACE MM Na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n R b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n R b 2... (2.1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n R b m a podmínek nezápornosti x j ≥ 0, j = 1, 2,..., n (2.2) nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n (2.3)

5 © L&K5 kde je x j... proměnná modelu (strukturní) a ij... strukturní koeficient b i... pravá strana i-tého omezení c j... cenový koeficient j-té proměnné (cena) R... jedno z relačních znamének ≤, ≥, = n... počet strukturních proměnných mo- delu m... počet vlastních omezení modelu i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n

6 © L&K6 EKONOMICKÁ INTERPRETACE x j... úroveň j-tého procesu (počet jedno- tek j−té činnosti) b i... úroveň i-tého činitele (maximální nebo minimální možná hodnota) a ij... norma spotřeby, popř. produkce i-tého činitele na jednotku j-tého pro- cesu c j... cena j-tého procesu i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n

7 © L&K7 Příklad 2.1 Formulujte MM úlohy z příkladu 1.1 ve tvaru (2.1) – (2.3): na množině řešení omezení x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 + 4x 2 ≤ 180 x 1 − x 2 ≥ 90 x 1 ≤ 110 x j ≥ 0, j = 1, 2 nalézt maximum účelové funkce z = 40x x 2

8 © L&K8 kde jsou: x 1, x 2... strukturní proměnné, a 11 =1, a 12 =2, a 21 =1, a 22 =4, a 31 =1, a 32 =-1, a 41 =1, a 42 =0... strukturní koeficienty, b 1 =120, b 2 =180, b 3 = 90, b 4 = pravé strany omezení, c 1 =40, c 2 =60... cenové koeficienty

9 © L&K9 Další způsoby formulace MM Vektorový zápis Maticový zápis Zápis pomocí sumací Různé způsoby zápisu budeme ilustrovat na kapacitní úloze z příkladu 1.1

10 © L&K10 Vektorový zápis obecného MM Nalézt na soustavě vlastních omezení a 1 x 1 + a 2 x a n x n R b (2.4) a podmínek nezápornosti x ≥ 0 (2.5) extrém účelové funkce z = c T x... max (min.) (2.6)

11 © L&K11 kde je: x =(x 1, x 2,..., x n ) T... vektor struktur- ních proměnných a 1 =(a 11, a 21,..., a m1 ) T a 2 =(a 12, a 22,..., a m2 ) T ... vektor struktur- ních koeficientů a n =(a 1n, a 2n,..., a mn ) T b =(b 1, b 2,..., b m ) T... vektor pravých stran omezení c T =(c 1, c 2,..., c n )... vektor cen R... vektor relačních znamének ≤, ≥, =

12 © L&K12 Příklad 2.2 Vektorový zápis modelu: Dosaďme z příkladu 2.1 vektory a 1, a 2, b, R, x, c T : R =

13 © L&K13 Vektorová formulace modelu: na množině omezení nalézt extrém účelové funkce

14 © L&K14 Rozepište tento vektorový model: ?

15 © L&K15 Maticový zápis MM Nejstručnější je maticový zápis MM: za podmínek Ax R b (2.7) x ≥ 0 maximalizovat (minimalizovat) účelovou funkci z = c T x (2.8)

16 © L&K16 kde je: x = (x 1, x 2,..., x n ) T... vektor strukturních proměnných, A = [a ij ] mxn... matice strukturních koeficientů, b = (b 1, b 2,..., b m ) T... vektor pravých stran omezení, c T = (c 1, c 2,..., c n )... vektor cenových koeficientů, R... je vektor relačních znamének ≤, ≥, =

17 © L&K17 Příklad 2.3 Z příkladu 2.1 dosadíme A, b, R, c T, x : Formulujeme maticový zápis

18 © L&K18 maximalizovat účelovou funkci Na množině omezení

19 © L&K19 Rozepište tento maticový model: ?

20 © L&K20 Zápis MM pomocí sumací Za podmínek maximalizovat účelovou funkci i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n  

21 © L&K21 POZOR ! Při psaní vzorců je nutné dodržovat určitá elementární pravidla Není možno kombinovat libovolně různé způsoby zápisu Je nutno respektovat pravidla maticového počtu Je třeba definovat všechny použité symboly Je nutno určit definiční obor všech použitých indexů

22 © L&K22 CHYBY V ZÁPISU VZORCŮ Chybný zápisSprávný zápis Ax j = b a ij x j = b i, i=1,..., m z = x.c T z = c T.x A.x = b x.A = b B.u T = x j u T B = x t = b/c t i = b i /c i, i=1,..., m

23 © L&K23 Přípustné řešení úlohy LP Nezáporné řešení soustavy vlastních ome- zení (2.1) nazveme přípustné řešení (PŘ) Úloha LP má: - nekonečně mnoho přípustných řešení - žádné přípustné řešení Množina PŘ je: - konvexní s konečným počtem krajních bodů (definujte !) omezená nebo neo- mezená - prázdná množina

24 © L&K24 Pokud je množina PŘ omezená, je to konvexní polyedr (definujte !) Která ze zobrazených množin je konvex- ním polyedrem ?

25 © L&K25 Optimální řešení úlohy LP Mezi nekonečným množstvím přípustných řešení hledáme to, které je nejlepší, tj. maximalizuje (popř. minimalizuje) hodnotu účelové funkce Takové řešení nazveme optimální (OŘ) Úloha LP má: - jedno optimální řešení - nekonečně mnoho optimálních řešení - žádné optimální řešení

26 © L&K26 Rozbor řešitelnosti 1.Je-li množinou PŘ konvexní polyedr, má úloha LP vždy optimální řešení Účelová funkce může na této množině nabývat jak svého maxima, tak minima Optimální řešení může být: - jedno (obrázek 2.2) - nekonečně mnoho (obrázek 2.3)

27 © L&K27 Jediné OŘ je ve vrcholu (krajním bodu) konvexní množiny PŘ Má−li úloha LP nekonečně mnoho OŘ, je účelová funkce rovnoběžná s hranicí (hranou, stěnou, nadrovinou) konvexní množiny Optimálním řešením je každý bod této hra- nice – konvexní obal krajních bodů Ve dvourozměrném prostoru je to množina konvexních kombinací dvou krajních bodů této hranice (tj. úsečka mezi nimi)

28 © L&K28 x1 x1 A B x2x2  C Obrázek 2.2 − Jediné OŘ úlohy LP z... max. D OPTIMUM

29 © L&K29 OPTIMUM x1x1 x2x2 Obrázek 2.3 − Nekonečně mnoho OŘ úlohy LP  D   C z... max. OPTIMUM

30 © L&K30 2. Neomezená množina PŘ Obsahuje alespoň jednu polopřímku Na této množině může mít úloha LP: - jedno OŘ - nekonečně mnoho OŘ - žádné OŘ 1. Jedno OŘ leží ve vrcholu množiny PŘ 2. Nekonečně mnoho OŘ tvoří ve dvouroz- měrném prostoru polopřímku (paprsek)

31 © L&K31 3. OŘ neexistuje: - konvexní množina PŘ je neomezená ve směru zadaného extrému účelové funkce (obrázek 2.7) - účelová funkce může na této množině nabývat neomezených hodnot - v tomto případě existuje nekonečně mnoho přípustných řešení - nelze ale určit optimální hodnotu účelo- vé funkce

32 © L&K32 x1 x1 A B x2x2 C Obrázek 2.4 − Neomezená množina PŘ, jedno OŘ z... max. OPTIMUM D

33 © L&K33 x1 x1 A B x2x2 C Obrázek 2.5 − Neomezená množina PŘ, nekonečně mnoho OŘ D z... max. OPTIMUM 

34 © L&K34 x1 x1 A B x2x2 C Obrázek 2.6 − Neomezená množina PŘ, „neexistuje“ OŘ z... max.

35 © L&K35 3. Prázdná množina PŘ Soustava vlastních omezení MM je ne- konzistentní Neexistuje přípustné řešení úlohy LP Množina PŘ je prázdná Tudíž neexistuje optimální řešení této úlohy

36 © L&K36 Prázdná množina PŘ Obrázek 2.7 − Prázdná množina PŘ úlohy LP

37 © L&K37 ŘEŠENÍ MM Pro zjednodušení výkladu přijmeme na začátku kurzu tyto dva předpoklady: 1. Všechna omezení modelu jsou zadána jako nerovnice: - rovnici převedeme na dvě nerovnice opačného typu, např.: 3x 1 + 2x 2 = 60 vyjádříme jako 3x 1 + 2x 2 ≤ 60 3x 1 + 2x 2 ≥ 60

38 © L&K38 2.Budeme uvažovat MM s maximalizační účelovou funkcí Minimalizační funkci f(x) upravíme na maximalizační z(x) podle z(x) = − f(x)... max. kde min (f) = − max (z) Např. funkci f = 20x x 2... min. převedeme na tvar z = −20x 1 − 10x 2... max.

39 © L&K39 ÚPRAVA MM K VÝPOČTU Metody řešení úloh LP pracují se sousta- vou rovnic, nikoliv se soustavou nerovnic Proč ? Je proto třeba vlastní omezení zadaná ve tvaru nerovnic převést na rovnice Jak ? Model rozšíříme o další proměnné, které nazveme přídatné proměnné

40 © L&K40 1.Nerovnice typu ≤: a i1 x 1 + a i2 x a in x n ≤ b i K levé straně nerovnice přičteme pří- datnou proměnnou: a i1 x 1 + a i2 x a in x n + x n+i = b i Odtud je x n+i = b i – ( a i1 x 1 + a i2 x a in x n ) Např. první omezení v příkladu (2.1) x 1 + 2x 2 ≤ 120 upravíme na: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120

41 © L&K41 2.Nerovnice typu ≥: Od levé strany nerovnice typu ≥ odečte- me přídatnou proměnnou: a i1 x 1 + a i2 x a in x n − x n+i = b i Odtud je x n+i = a i1 x 1 + a i2 x a in x n − b i Např. třetí omezení v příkladu 2.1 x 1 − x 2 ≥ 90 upravíme na: x 1 − x 2 − x 5 = 90

42 © L&K42 Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, kte- rá je odvozena od ekonomické interpreta- ce omezení Přídatná proměnná v omezení typu  uka- zuje objem nevyužité kapacity Přídatná proměnná v omezení typu ≥ uka- zuje velikost překročení požadavku Cena přídatné proměnné je vzhledem k je- jí ekonomické interpretaci rovna nule

43 © L&K43 Příklad 2.4 Uvažujme soustavu vlastních omezení kapacitní úlohy z příkladu 2.1: x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 + 4x 2 ≤ 180 x 1 − x 2 ≥ 90 x 1 ≤ 110

44 © L&K44 Nerovnice vyrovnáme na rovnice pomocí přídatných proměnných: x 1 + 2x 2 + x 3 = 120 x 1 + 4x 2 + x 4 = 180 x 1 − x 2 − x 5 = 90 x 1 + x 6 = 110 Dosadíme x 1 = 110, x 2 = 5 (viz př. 1.1) Hodnoty přídatných proměnných ? Ekonomická interpretace ?

45 © L&K45 x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = Ekonomická interpretace: x 3 = x 4 = x 5 = x 6 =

46 © L&K46 Vstupní údaje úlohy zadáme v LinPru: Obr. 2.8 – vstupní tabulka příkladu 1.1

47 © L&K47 Úlohu vyřešíme: Obr. 2.9 – výsledky řešení

48 © L&K48 Hodnoty strukturních proměnných : x 1 = 110, x 2 = 5, Hodnoty přídatných proměnných: x 3 = 0, x 4 = 50, x 5 = 15, x 6 = 0 Stručněji: x = (110, 5, 0, 15, 0) T Hodnota účelové funkce: z = 4700

49 © L&K49 Zvýšíme čas lisu o 1 minutu: Obr – změna pravé strany

50 © L&K50 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google