Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval : Jan HAMERNÍK.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval : Jan HAMERNÍK."— Transkript prezentace:

1 Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval : Jan HAMERNÍK M – T V T / Z Š 3. r o č n í k Kvadratické funkce

2 Kvadratická funkce Zemědělec chce vybudovat pro drůbež výběh pravoúhlého tvaru, přitom jedna strana bude částí stěny hospodářské budovy. K dispozici má 18 metrů pletiva. Máme určit rozměry výběhu, pro které by jeho obsah byl co největší. hospodářská budova výběh x x 18 – 2x Příklad 1:

3

4 Neznámé jsou délky stran hledaného pravoúhelníku. Má-li každá z „bočních stran“ délku x metrů, pak na zbývající třetí stranu připadne (18 – 2x) metrů. Obsah S pravoúhlého trojúhelníku je tedy (18–2x).x Sestavíme si tabulku: x (18 – 2x).x Řešení:

5 Zobrazíme uspřádané dvojice z tabulky do soustavy souřadnic O x y Obrázek zřetelně ukazuje na syme- trické rozložení bodů podle přím- ky rovnoběžné s osou y a vedené bodem [4,5;0]. Odtud se dá usoudit, že ho- dnota výrazu (18 – 2x). x je maximální pro x = 4,5.

6 O d p o v ě ď : Zemědělec by měl postavit výběh pravoúhelníkového tvaru s „bočními stranami“ o délce 4,5 metru. Výraz – 2(x – 4,5) ,5 má maximální hodnotu pro x = 4,5, a to 40,5. Pro každé x  4,5 je totiž – 2(x – 4,5) 2 < 0, a tedy – 2(x – 4,5) ,5 < 40,5 Upravíme výraz (18 – 2x). x doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: (18 – 2x). x = – 2x x = – 2(x 2 – 9x + 4,5 2 – 4,5 2 ) = = – 2(x 2 – 9x + 4,5 2 ) ,5 2 = – 2(x – 4,5) ,5 Je tomu ale skutečně tak?

7 Kvadratická funkce je každá funkce na množině R ( tj. o definičním oboru R), daná ve tvaru y = ax 2 + bx + c, kde a  R – {0}, b, c  R

8 Příklad č. 2: Těleso je vrženo svisle vzhůru s počáteční rychlostí v = 50 m.s -1. Určete, jaké největší výšky dosáhne. (Užijte vzorec ; g = 10 m.s -2.

9 Řešení: Těleso dosáhne nejvýše výšky 125 m Použijeme výše uvedený vzorec: Dále využijeme zadané g = 10 m.s -2 Zbývá nám tedy spočítat proměnnou t. Dosadíme do vzorce:

10 Příklad č. 3: Výkon P turbíny závisí na počtu n otáček za sekundu. Určete počet otáček, pro něž bude výkon maximální, víte-li, že tento výkon je vyjádřen vztahem P =  n -  n 2, kde  = 0, m 2.kg.s –2,  = 0, m 2.kg.s -1.

11 Příklad č. 4: Je dán kvádr se čtvercovou podstavou o délce hrany a cm a výšce 4 cm. Zapište funkci, která vyjadřuje a) závislost objemu kvádru na délce hrany podstavy; b) závislost povrchu kvádru na délce hrany podstavy.

12 Grafy kvadratických funkcí

13 Uvažujme kvadratickou funkci g: y = x 2 Zapište do tabulky funkční hodnoty v bodech –3; –2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2 a 3. Získané uspořádané dvojice pak vyznačte v soustavě souřadné Oxy.

14 Obr.1 Obr. 2

15 Grafem kvadratické funkce y = x 2 je nepřerušovaná křivka, která se nazývá parabola. Z obrázku lze usoudit, že funkce y = x 2 má tyto vlastnosti: jejím oborem hodnot je interval  0,+  ; funkce je v intervalu  ;0  klesající, v intervalu  0,+  rostoucí; v bodě 0 má minimum, nemá v žádném bodě maximum; je zdola omezená, není shora omezená; je sudá.

16 Příklad č. 1: Na obrázku je graf funkce h 1 :. Sestrojte pomocí něho graf funkce h 2 :. Obr. 3

17 Řešení: Pro každé x  R je h 2 (x) = h 1 (x) – 3; např. pro x = – 2 je Ke grafu funkce h 2 dospějeme tedy od grafu funkce h 1 posunutím o tři jednotky ve směru záporné poloosy y.

18 Obr. 4

19 Příklad č. 2: Sestrojte graf funkce h 3 :, a to opět využitím grafu funkce h 1 : Graf funkce h 1. Řešení: Pro každé x  R je h 3 (x – 1) = h 1 (x); např. pro x = 3 je Jestliže funkce h 1 nabývá nějakou hodnotu v bodě x, nabývá tutéž hodnotu funkce h 3 v bodě x – 1 Graf funkce h 3 získáme z grafu funkce h 1 posunutím o jednu jednotku ve směru záporné poloosy x.

20 Obr. 5

21 Příklad č. 3: Sestrojte graf funkce h 5 :. Nejdříve upravíme výraz doplněním na druhou mocninu dvojčlenu. Řešení:

22 Obr. 6

23 Jak budeme postupovat při sestrojování grafů kvadratických funkcí y = ax 2 + bx + c? 2.Sestrojíme graf funkce f 1 : y = ax 2. 3.Sestrojíme graf funkce 1.Upravíme nejprve výraz ax 2 + bx + c doplněním na druhou mocninu dvojčlenu:

24 a to z grafu funkce f 1 pomocí posunutí o jednotek ve směru osy x, přičemž pro > 0 jde o posunutí ve směru záporné poloosy x, pro < 0 o posunutí ve směru kladné poloosy x, pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy x),

25 a o jednotek ve směru osy x, přičemž pro > 0 jde o posunutí ve směru kladné poloosy y, pro < 0 o posunutí ve směru záporné poloosy y, pro = 0 o posunutí o 0 jednotek na ose x, (tj. „nulové posunutí“ ve směru osy y,

26 Grafem každé kvadratické funkce je parabola, která je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y. Závěrem si uvedeme vlastnosti kvadratických funkcí y = ax 2 + bx + c v závislosti na hodnotách a. Funkce y = ax 2 + bx + c (a  0)

27 Oborem hodnot je. Je rostoucí v.Je klesající v. Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě má minimum. a > 0 Obr. 7

28 Oborem hodnot je. Je rostoucí v.Je klesající v. Je shora omezená, není zdola omezená. V bodě má maximum. a < 0 Obr. 8

29 Příklad č. 3: Načrtněte grafy grafy těchto funkcí: a)y = x 2 – 2x + 3 b)y = – x 2 – 6x – 8 c)y = – 2x 2 + 5x – 1 d)y = – 0,5x 2 + x + 2 e)y =

30 Grafy kvadratických funkcí při řešení rovnic a nerovnic

31 Příklad č. 1: Řešte nerovnici s neznámou x  R Řešení: Nejprve převedeme danou nerovnici na anulovaný tvar:

32 Zjistíme, ve kterých bodech je hodnota funkce rovna nule. K tomu vyřešíme početně kvadratickou rovnici x 1 = – 3, x 2 = 2

33 Na první pohled také vidíme, že kvadratická funkce má v nějakém bodě maximum (koeficient u x 2 je – 1); parabola, která je jejím grafem, se tedy „rozevírá směrem dolů“. Obr. 9

34 Řešte nerovnici s neznámou x  R Příklad č. 2: Řešení: Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici: Diskriminant je záporné číslo, rovnice nemá v R žádné řešení. Nejsme ve slepé uličce?

35 Graf kvadratické funkce nemá s osou x žádné společné body, přitom tato funkce má v nějakém bodě minimum. Tyto dvě skutečnosti zachycuje obr. 10. A z něho lze vyčíst, že řešeními dané nerovnice jsou všechna x  R. Obr. 10

36 Příklad č. 3: S využitím grafů kvadratických funkcí řešte tyto kvadratické nerovnice s neznámou x  R. a)x 2 – 5x + 6  0 b)2x 2 – 5x + 2 < 0 c)– 2x 2 + 6x – 9  0 d)x 2 – 2x + 3 < 0


Stáhnout ppt "Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Didaktika matematiky Akademický rok: 2003 – 2004 Zpracoval : Jan HAMERNÍK."

Podobné prezentace


Reklamy Google