Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava."— Transkript prezentace:

1 Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava

2 Elementární funkce Obsah: 3. Mocninná funkce 4. Lineární lomená funkce 5. Exponenciální funkce 1. Lineární a konstantní funkce 2. Kvadratická funkce 6. Logaritmická funkce

3 Lineární a konstantní funkce Lineární funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax+b, a,b R, D(f) max = R. Grafem každé lineární je přímka. (pro D(f) R je grafem část přímky) U Př.: f 1 : y = 2x - 3, f 2 : y = - 0,5x +1, f 3 : y = x, f 4 : y = 10x apod. Graf lineární funkce je určen dvěma libovolnými různými body (pro dvě různá x D(f) určíme f(x)). y = ax + b x1x1 x2x2 f(x 1 ) f(x 2 ) Ű Zpět na obsah

4 Vlastnosti lineární funkce: 1) Je-li a = 0, stává se lineární funkce f: y = ax + b funkcí konstantní f: y = b. Grafem konstatní funkce je přímka (nebo její část), která je rovnoběžná se souřadnicovou osou x a procházející bodem [0; b]. Lineární a konstantní funkce b y = b D(f) = R *) H(f) = {b} je omezená není prostá v každém x D(f) je maximum i minimum je sudá *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit Ű Zpět na obsah

5 Vlastnosti lineární funkce: 2) Je-li b = 0, a  0, jde o tzv. přímou úměrnost f: y = ax. Grafem přímé úměrnosti je přímka (nebo její část) různoběžná se souřadnicovými osami a procházející bodem [0;0]. Lineární a konstantní funkce y = ax, a > 0 y = ax, a < 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit Ű Zpět na obsah D(f) = R *) H(f) = R není omezená shora není omezená zdola pro a > 0 je rostoucí pro a < 0 je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá

6 Vlastnosti lineární funkce: 3a) Pro a > 0, b  0, má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti: D(f) = R *) H(f) = R je rostoucí není omezená shora není omezená zdola je prostá nemá maximum nemá minimum Lineární a konstantní funkce y = ax + b a > 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit U [0;b] [-b/a;0] Ű Zpět na obsah

7 Vlastnosti lineární funkce: 3b) Pro a < 0, b  0, má funkce f: y = ax + b tyto vlastnosti: D(f) = R H(f) = R je klesající není omezená shora není omezená zdola je prostá nemá maximum nemá minimum Lineární a konstantní funkce y = ax + b a < 0 *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit [0;b] [-b/a;0] *) Ű Zpět na obsah

8 Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci f: y = ax 2 + bx + c, a, b, c R, a  0, D(f) max = R. U Grafem každé kvadratické funkce je křivka zvaná parabola, která je osově souměrná podle osy rovnoběžné se souřadnicovou osou y. Průsečík osy paraboly a paraboly se nazývá vrchol paraboly (většinou označen V). (pro D(f) R je grafem část paraboly) Př.: f 1 : y = 2x 2 - 3x + 5 f 2 : y = x 2 +1 f 3 : y = -4x 2 +x f 4 : y = 3x 2 apod. f: y = ax 2 + bx + c kvadratický člen lineární člen absolutní člen ax 2 + bx + c kvadratický trojčlen Ű Zpět na obsah

9 Vlastnosti kvadratické funkce: 1) Je-li b = c = 0, jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax 2. Grafem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0]. Kvadratická funkce 1a) Pro a > 0 : D(f) = R *) H(f) =  0; +  ) je omezená zdola není omezená shora je klesající na (-  ; 0  je rostoucí na  0; +  ) není prostá má ostré abs. minimum v x m = 0 nemá maximum je sudá *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit U V=[0;0] y = ax 2, a > 0 Ű Zpět na obsah

10 Vlastnosti kvadratické funkce: 1) Je-li b = c = 0, jde o tzv. ryze kvadratickou funkci f: y = ax 2. Grafemem každé ryze kvadratické funkce je parabola s osou totožnou se souřadnicovou osou y a s vrcholem v bodě [0;0]. Kvadratická funkce 1b) Pro a < 0 : D(f) = R *) H(f) = (-   je omezená shora není omezená zdola je rostoucí na (-  ; 0  je klesající na  0; +  ) není prostá má ostré abs. maximum v x M = 0 nemá minimum je sudá *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit U V=[0;0] y = ax 2, a < 0 Ű Zpět na obsah

11 Kvadratická funkce Tvar paraboly - grafu ryze kvadratické funkce y = ax 2 ovlivňuje hodnota koeficientu a. Nejjednodušší kvadratickou funkcí (tzv. základní kvadratickou funkcí) je funkce : y = 1.x 2 = x 2 (tj. a = 1, b = c = 0). Grafy ostatních ryze kvadratických funkcí y = ax 2 jsou v porovnání s ní a) užší... pro |a| > 1 b) širší... pro 0 < |a| < 1 a = 1 a = 2 a = 3 y = ax 2 a = -1 a = -2 a = -3 Ű Zpět na obsah

12 Kvadratická funkce Graf funkce y = ax 2 + k vznikne posunutím grafu funkce y = ax 2 ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je bod V = [ 0 ; k ]. y = ax y = ax y = ax 2 a > 0, k > 0 Ű Zpět na obsah y = ax 2 + k y = ax y = ax y = ax 2 vrchol V = [ 0 ; k ] a < 0, k < 0

13 Kvadratická funkce Graf funkce y = a(x-m) 2 vznikne posunutím grafu funkce y = ax 2 ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva). Vrchol paraboly je bod V = [ m ; 0 ]. Ű Zpět na obsah y = a(x-m) 2 y = a(x+3) 2 y = a(x+1) 2 y = ax 2 vrchol V = [ m ; 0 ] a > 0, m < 0 y = a(x-3) 2 y = a(x-1) 2 y = ax 2 a 0

14 Kvadratická funkce Graf funkce y = a(x-m) 2 + k vznikne posunutím grafu funkce y = ax 2 ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Vrchol paraboly je bod V = [ m ; k ]. vrchol V = [ m ; k ] Ű Zpět na obsah y = a(x-m) 2 + k y = a(x+1) y = ax 2 a > 0, m 0

15 Vlastnosti kvadratické funkce: 2) Graf každé kvadratické funkce f: y = ax 2 + bx + c lze získat posunutím grafu ryze kvadratické funkce y = ax 2. Vrchol paraboly, která je grafem kvadratické funkce f: y = ax 2 + bx + c, je bod V = [x V ;y V ], kde Kvadratická funkce Funkční předpis každé kvadratické funkce (kvadratický trojčlen) lze upravit na tvar. Hodnota m určuje posun grafu funkce y = ax 2 ve směru osy x, hodnota k posun ve směru osy y. -m k Ű Zpět na obsah

16 Vlastnosti kvadratické funkce - příklad: Kvadratická funkce y = x 2 y = x 2 - 2x - 3 V = [ 1; -4 ] V = [ 0; 0 ] V = [ 1; -4 ] y = x 2 - 2x - 3 = (x-1) Ű Zpět na obsah

17 Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax 2 + bx + c : Kvadratická funkce Pro a > 0 : D(f) = R *) H(f) =  je omezená zdola není omezená shora je rostoucí na  ; +  ) je klesající na (-   není prostá má ostré abs. minimum v x m = nemá maximum *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit U x y 0 V Ű Zpět na obsah

18 Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax 2 + bx + c : Kvadratická funkce Pro a < 0 : D(f) = R *) H(f) = (-  ; ´  je omezená shora není omezená zdola je rostoucí na (-   je klesající na   ) není prostá má ostré abs. maximum v x M = nemá minimum *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit U x y V Ű Zpět na obsah 0

19 Vlastnosti kvadratické funkce f: y = ax 2 + bx + c : Kvadratická funkce Při sestrojování grafu kvadratické funkce f: y = ax 2 + bx + c nám mohou pomoci další jeho body (pokud existují) - průsečíky se souřadnicovými osami: průsečík s osou y - bod [ 0 ; f(0) ] průsečíky s osou x - body [ x 1 ; 0 ], [ x 2 ; 0 ], kde x 1, x 2 jsou řešení kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0 x y 0 [ x 1 ; 0 ] [ x 2 ; 0 ] [ 0 ; f(0) ] Ű Zpět na obsah

20 Mocninnou funkcí s přirozeným exponentem n je každá funkce f: y = x n, n N, D(f) max = R. Grafem této mocninné funkce je pro n = 1 přímka (jde o nejjednodušší lineární funkci y = x), pro n >1 parabola n-tého stupně (pro n = 2 jde o nejjednodušší kvadratickou funkci y = x 2 ). Mocninná funkce Př.: y = x 3 y = x 4 y = 2x 5 y = -x 3 +2 Ű Zpět na obsah

21 Vlastnosti mocninné funkce f: y = x n, n  N : Mocninná funkce y = x 1 y = x 3 y = x 5 [-1;-1] [1;1] a) Pro n liché : D(f) = R *) H(f) = R není omezená shora není omezená zdola je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit U Ű Zpět na obsah

22 Vlastnosti mocninné funkce f: y = x n, n  N : Mocninná funkce b) Pro n sudé : D(f) = R *) H(f) = R je omezená zdola není omezená shora je klesající na (-  0  je rostoucí na  0;+  ) není prostá má ostré abs. minimum v x m = 0 nemá maximum je sudá *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit U y = x 2 y = x 4 y = x 6 [-1; 1] [1;1] [0;0] Ű Zpět na obsah

23 Mocninnou funkcí se záporným celočíselným exponentem n je každá funkce f: y = x n, n  Z -, D(f) max = R - {0}. Grafem této mocninné funkce je hyperbola s asymptotami splývajícími se souřadnicovými osamu x, y. Mocninná funkce Př.: y = x -1 y = x -2 y = 4x -3 Ű Zpět na obsah

24 Vlastnosti mocninné funkce f: y = x n, n  Z - Mocninná funkce a ) Pro n liché : D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená shora není omezená zdola je klesající v (-  ; 0) U (0;+  ) je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá y = x -1 y = x -3 y = x -5 [-1; -1] [1;1] [0;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U Ű Zpět na obsah

25 Vlastnosti mocninné funkce f: y = x n, n  Z - Mocninná funkce b ) Pro n sudé : D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená zdola není omezená shora je rostoucí v (-  ; 0) je klesající v (0;+  ) není prostá nemá maximum nemá minimum je sudá *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U y = x -2 y = x -4 y = x -6 [-1; 1] [1;1] [0;0] Ű Zpět na obsah

26 Speciálním případem mocninné funkce se záporným celým exponentem je funkce nepřímá úměrnost, tj. funkce f: y =, D(f) max = R- {0}, k R, k  0. Mocninná funkce Grafem nepřímé úměrnosti je rovnoosá hyperbola (souměrná posle os kvadrantů a podle počátku k.s.s.) s asymptotami v osách x, y. [-1; -k] [1;k] [0;0] *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R-{0}, pro D(f) R-{0} se mohou změnit U k x Pro k > 0: D(f) = R- {0} *) H(f) = R - {0} není omezená shora není omezená zdola je klesající v (-  ; 0) U (0;+  ) je prostá nemá maximum nemá minimum je lichá [k;1] [-k; -1] x 1,5 y = Ű Zpět na obsah

27 Mocninná funkce Pro posuny a změny tvaru mocninných funkcí platí stejná pravidla jako pro funkci kvadratickou. Graf funkce y = a(x-m) n + k vznikne posunutím grafu funkce y = ax n ve směru osy x o m jednotek (pro m > 0 doprava, pro m < 0 doleva) a ve směru osy y o k jednotek (pro k > 0 nahoru, pro k < 0 dolů). Střed popř. vrchol křivky je bod V = [ m ; k ]. x´ y´ 2 x2x2 2 (x-3) Ű Zpět na obsah

28 Exponenciální funkce se základem a je funkce f: y = a x, a  ),a  1, D(f) max = R. Grafem exponenciální funkce je křivka nazývaná exponenciální křivka (nebo exponenciála), která prochází body [0;1], [1;a], [-1; ] a která se asymptoticky blíží k ose x. Exponenciální funkce ( pro a = 1 by šlo o funkci konstatní y = 1 x = 1 ): Př.: y = 2 x, y =( ) x, y = 10 x Speciální případy: dekadická exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem a = 10, tj. funkce f: y = 10 x přirozená exponenciální funkce - exponenciální funkce se základem a = e, tj. funkce f: y = e x e - Eulerovo číslo, e = 2,718 1 a Ű Zpět na obsah 1 3

29 Vlastnosti exponenciální funkce f: y = a x, a  ),a  1: Exponenciální funkce *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit Pro 0 < a < 1 : D(f) = R *) H(f) = (0; +  ) je omezená zdola není omezená shora je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum y = a x 0 < a < 1 a 1 [1;a] [-1; ] Ű Zpět na obsah

30 Vlastnosti exponenciální funkce f: y = a x, a  ),a  1: Exponenciální funkce *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit U Pro a > 1 : D(f) = R *) H(f) = (0; +  ) je omezená zdola není omezená shora je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum y = a x a > 1 [1;a] a 1 [-1; ] Ű Zpět na obsah

31 Vlastnosti exponenciální funkce f: y = a x, a R +,a  1: Exponenciální funkce Graf funkce y = a x se pro a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím) a stává "strmějším". Graf funkce f: y = a x-m + k je posunutým grafem funkce f: y = a x. y = 3 x y = 2 x y = 4 x y = 2 x y = 2 x Ű Zpět na obsah y = 0,25 x y = 0,33 x y = 0,5 x

32 Logaritmická funkce se základem a je funkce f: y = log a x, a (0; +  ),a  1, D(f) max = (0; +  ). Logaritmická funkce Ű Zpět na obsah Logaritmická funkce se základem a je tzv. inverzní funkce k funkci exponenciální se základem a. Pro každé x (0;+  y R, a  ), a  1 platí:  log a x = y  a y = x. 1 a Grafem logaritmické funkce je křivka zvaná logaritmická křivka, která je osově symetrická podle osy I. a III. kvadrantu souř.soustavy s exponenciální křivkou se stejným základem a asymptoticky se blíží k souřadnicové ose y. Každá logaritmická křivka prochází body [1;0], [a;1], [ ;-1]. Speciální případy: dekadická logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = 10, tj. funkce f: y = log 10 x = log x přirozená logaritmická funkce - logaritmická funkce se základem a = e, tj. funkce f: y = ln x (e - Eulerovo číslo, e = 2,718)

33 Vlastnosti logaritmické funkce f: y = log a x, a (0; +  ),a  1 : Logaritmická funkce Ű Zpět na obsah *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max =  ), pro D(f) (0;+  ) se mohou změnit U Pro a > 1 : D(f) =  ) *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je rostoucí je prostá nemá maximum nemá minimum [1;0] [a;1] a 1 [ ;-1 ] y = log a x a > 1

34 Vlastnosti logaritmické funkce f: y = log a x, a (0; +  ),a  1 : Logaritmická funkce Ű Zpět na obsah *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max =  ), pro D(f) (0;+  ) se mohou změnit U Pro 0 < a < 1 : D(f) =  ) *) H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je klesající je prostá nemá maximum nemá minimum [1;0] [ ;-1] a 1 [ a ; 1 ] y = log a x 0 < a < 1

35 Vlastnosti logaritmické funkce f: y = log a x, a (0; +  ),a  1 : Logaritmická funkce Ű Zpět na obsah Graf funkce y = log a x se při a >1 s rostoucím (resp. pro a < 0 < 1 s klesajícím) a stává "pozvolnějším". y = log 4 x y = log 3 x y = log 2 x y = log 0,5 x y = log 1/3 x y = log 0,25 x Graf funkce f: y = log a (x-m) + k je posunutým grafem funkce f: y = log a x. y = log 2 (x-1)+2 y = log 2 x

36 0 1 x y x y 1 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah Každému reálnému číslu x lze přiřadit na jednotkové kružnici právě jeden bod K = [ x K ; y K ] tak, že délka oblouku JK je rovna x. (délka oblouku je měřena po jednotkové kružnici proti směru hodinových ručiček pro x > 0, po směru pro x < 0; měří se ve stejných jednotkách jaké jsou v k.s.s., J = [1;0]) x K J x K J yKyK xKxK xKxK yKyK Každému reálnému číslu x lze tedy takto jednoznačně přiřadit dvě reálná čísla x K ( x-ová souřadnice bodu K ) a y K (y-ová souřadnice bodu K). Zobrazení množiny R do jednotkové kružnice |JK| = x

37 0 1 x y x y 1 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah K J Každý bod K jednotkové kružnice je obrazem nekonečně mnoha reálných čísel v uvedeném zobrazení. Jejich velikost se liší o násobek hodnoty 2   délka jednostkové kružnice). yKyK Jestliže x = x 0 + k. 2 , kde k Z, x 0 0; 2 , je číslům x i x 0 přiřazen stejný bod K na jednotkové kružnici. x = x  K J yKyK x0x0 xKxK xKxK

38 0 1 x y x y 1 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah x K J Funkcí sinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslu x přiřazuje číslo y K (y-ová souřadnice bodu K). sin x yKyK x K y K = sin x x K J yKyK sin x přechod do programu Cabri Geometry II Plus Ü sinus_4.fig

39 0 1 x y x y 1 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah x K J Funkcí kosinus nazýváme funkci, která každému reálnému číslu x přiřazuje číslo x K (x-ová souřadnice bodu K). cos x x K x K = cos x x K J cos x xKxK xKxK

40 0 1 x y x y 1 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah x K J Velikost oblouku JK může vyjadřovat velikost úhlu J0K v obloukové míře - |JK| = | J0K | = x rad. Funkce sinus a kosinus lze tedy definovat i pro každý úhel (libovolný úhel  umístit v k.s.s. tak, aby bod 0 byl jeho vrcholem a polopřímky 0J a 0K jeho ramena,  proti směru,  > 0 po směru hodinových ručiček) sin  = sin x yKyK  J0K x K J yKyK sin  = sin x  |  | = | J0K| = x rad  K y K = sin  = sin x  cos  = cos x  K x K = cos  = cos x

41 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah Vlastnosti funkce f: y = sin x : 2  2 2   3 2  3  22 22  D(f) = R *) H(f) = -1;1 je omezená zdola je omezená shora je klesající pro x + 2k   ; + 2k  je rostoucí pro x  k   ; + 2k  je lichá není prostá má minimum v x m =  k   má maximum v x M =  k  je periodická s periodou  2  2  3 2  2  3 2  2  *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = 2 , často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; 2  ). U } je omezená ( k Z )

42 2  2 2   3 2  3  22 22  D(f) = R *) H(f) = -1;1 je omezená zdola je omezená shora je klesající pro x 0 + 2k   ;  + 2k  je rostoucí pro x   2k   ; 2   2k  je sudá není prostá má minimum v x m =  2k  má maximum v x M = 2k  je periodická s periodou 2  } je omezená Goniometrické funkce  Vlastnosti funkce f: y = cos x : *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max = R, pro D(f) R se mohou změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = 2 , často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0; 2  ). U Ű Zpět na obsah ( k Z )

43 Význačné hodnoty goniometrických funkcí sin x a cos y pro x 0;2  sin x cos x 22 2  X (°) X  6        4  3 2  5 3  7 4  11 6  Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah

44 y = sin x, D(f) = 0; 2  ) y = cos x, D(f) = 0; 2  ) Goniometrické funkce sin x cos x x y = sin x y = cos x 2  2  3 22  2  2  3 22 (0; ) 2  ( ; )  2  sin x cos x x 2  2  3 22 (0; ) 2  ( ; )  2  3 rost.kles. rost. Ű Zpět na obsah

45 Goniometrické funkce  Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Ű Zpět na obsah Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin x y = 2. sin x y = 0,5. sin x y = a. sin x ( resp.y = a. cos x )

46 Goniometrické funkce  Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Ű Zpět na obsah Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin x y = sin x + 1 y = sin x - 2 y = sin x + n (resp. y = cos x + n )

47 Goniometrické funkce  Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Ű Zpět na obsah Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin x y = sin( x - ) y = sin(x - m) (resp. y = cos(x - m) ) 3  3  y = cos x y = cos( x+ ) 4  4 

48 Goniometrické funkce  Vlastnosti goniometrických funkcí sinus a kosinus: Ű Zpět na obsah Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí sinus a kosinus platí stejná pravidla jako pro jiné funkce. y = sin x y = sin(2x) y = sin(k. x) (resp. y = cos(k. x) ), k  0 y = cos x y = cos( x) 1 2 Perioda funkce y = sin(kx) resp. y = cos(kx) je k 22 p =

49 0 1 x y 1 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah Funkce tangens se nazývá funkce daná rovnicí y = sin x cos x sin x cos x tg x = Je tedy f:, x  (2k+1). 2  Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny bodem J = [1;0]: K J xKxK K´ tg x t x D(f) = R - U {(2k+1). } k Z 2  D(f) = R - U {(2k+1). } k Z 2  tj.

50 0 1 x y 1 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah Funkci tangens lze také definovat pomocí jednotkové kružnice a její tečny bodem L = [0;1]: K J xKxK K´ x D(f) = R - U {2k. } k Z 2  tj. Funkce kotangens se nazývá funkce daná rovnicí y = sin x cos x sin x cos x cotg x =Je tedy f:, x  2k. 2  t L cotg x

51 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah  Vlastnosti funkce f: y = tg x : 2  2 2   3 2  3  22 22  H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je periodická s periodou  je rostoucí pro x (  k   ; + k  ) je lichá není prostá nemá minimum  nemá maximum 2  2  *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max =, pro D(f) D(f) max se moho u změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = , často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0;  ) nebo ; ). U ( k Z ) D(f) = R - U {(2k+1). } k Z 2  *) 2  2  D(f) = R - U {(2k+1). } k Z 2  y = tg x

52 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah  Vlastnosti funkce f: y = cotg x : 2  2 2   3 2  3  22 22  H(f) = R není omezená zdola není omezená shora je periodická s periodou  je klesající pro x ( 0 +  k  ;  + k  ) je lichá není prostá nemá minimum  nemá maximum *) uvedené vlastnosti platí pro D(f) max =, pro D(f) D(f) max se moho u změnit. Protože jde o funkci periodickou s periodou p = , často se její graf studuje pouze na tzv. první periodě, tj. na intervalu 0;  ). U ( k Z ) D(f) = R - U {2k. } k Z 2  *) D(f) = R - U {(2k. } k Z 2  y = cotg x

53 Goniometrické funkce Ű Zpět na obsah Pro posuny a změny tvaru grafů funkcí tangens a kotangens platí stejná pravidla jako pro funkce sinus a kosinus.

54 Zdroje: Doc. RNDr. Josef Polák, CSc. - Přehled středoškolské matematiky (Prometheus) Použitá literatura: Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, RNDr. Jana Řepová - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 3. (Prometheus) Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, RNDr. Jana Řepová, RNDr. Ladislav Skříček - Matematika pro SOŠ a studijní obory SOU 2. (Prometheus) ACTIVstudio PE - vlastník licence: SŠS Jihlava Cabri Geometry II plus - vlastník licence: SŠS Jihlava Použitý software: ACTIVstudio PE - vlastník licence: SŠS Jihlava TI Inter Active! - vlastník licence: SŠS Jihlava


Stáhnout ppt "Mgr. Vladimír Wasyliw - s využitím práce Mgr. Petra Šímy – SŠS Jihlava."

Podobné prezentace


Reklamy Google