Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Elementární funkce algebraické Základy infinitezimálního počtu.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Elementární funkce algebraické Základy infinitezimálního počtu."— Transkript prezentace:

1 Elementární funkce algebraické Základy infinitezimálního počtu

2 Elementární funkce Každá funkce, která vznikne pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení a skládání se nazývá elementární funkce. Klasifikace elementárních funkcí algebraické nealgebraické (transcendentní) racionální iracionální polynomickéracionální lomené elementární funkce

3 Algebraické funkce - racionální Základní pojmy Racionálními funkcemi nazýváme souhrnně polynomické funkce a racionální lomené funkce. Například pro: n = 0y = a 0  konstantní funkce n = 1y = a 1 x + a 0, a 1  0  lineární funkcelineární funkce n = 2y = a 2 x 2 + a 1 x + a 0, a 2  0  kvadratická funkcekvadratická funkce

4 Lineární funkce Připomeneme si co již víme o lineární funkci. Základní pojmy: Lineární funkce je každá funkce na množině R daná předpisem f(x)= a 1 x + a 0, kde a 1 ; a 0  R, grafem je přímkagrafem je přímka a 1  0 je koeficient lineárního členu a udává sklon grafu, a 1 = 0 funkce konstantní, y = a 0, graf rovnoběžný s osou x a 0 je absolutní člen a posouvá graf po ose y. častěji se setkáváme s předpisem funkce f: y = ax + b

5 Lineární funkce graf f(x) = x – 1, f(x) = 2 a 0 = -1 D f = R, H f = R D f = R, H f ={2}   Úhly souhlasné 2

6 Lineární funkce příklad Jsou dány funkce f: y = x – 2 a g: y = -2x + 1. Sestrojte grafy daných funkcí v téže soustavě souřadnic a z grafů určete: a) všechna x  R, pro která je f(x)  0; f(x)  -1; g(x)  0; g(x)  3, b) všechna x  R, pro která platí f(x)  g(x); f(x)  g(x), c) úhel sklonu grafů obou funkcí, zobraz postup řešenízobraz postup řešení d) graficky vyřešte soustavu rovnic y = x – 2 y = -2x + 1 zobraz postup řešenízobraz postup řešení

7 Lineární funkce příklad - řešení f(x)  0 pro x  2;+  )f(x)  -1 pro x  (-  ;1)g(x)  0 pro x  (0,5;+  )g(x)  3 pro x  (-  ;-1  f(x) = x - 2 g(x) =-2x + 1 f(x)  g(x) pro x   1;+  )f(x)  g(x) pro x  (-  ; 1) x 1 = 1; x 2 = 2 a f(x 1 ) = -1; f(x 2 ) = 0 x 1 = 1; x 2 = -1 a g(x 1 )= -1; g(x 2 ) = 3 a) všechna x  R, pro která je f(x)  0; f(x)  -1; g(x)  0; g(x)  3, b) všechna x  R, pro která platí f(x)  g(x); f(x)  g(x), c) úhel sklonu grafů obou funkcí, Zpět

8 Lineární funkce příklad - řešení f(x) = x - 2 g(x) = -2x + 1 y = x – 2 y = -2x + 1 x = 1 y = -1 [1;-1] Množina kořenů soustavy K={[1;-1]} d) graficky vyřešte soustavu rovnic Zpět Další

9 Lineární funkce cvičení Vyjádřete předpisem y = ax + b lineární funkci f, znáte-li: f(3) = -5; f(-1) = 4 Rozhodněte, zda je funkce f: y = ax + b rostoucí či klesající: f(1) = 1,5; f(-2) = -9 b = -3; f(2) = 5 f(3) = -0,5; f(-4) = 3

10 Kvadratická funkce Základní pojmy: Def.: Kvadratická funkce je každá funkce na množině R daná předpisem f(x)= ax 2 + bx + c, kde a  0; D f = R, grafem je parabola a – koeficient kvadratického členu b – koeficient lineárního členu c – absolutní člen Je-li b = 0, pak mluvíme o ryze kvadratické funkci f(x)= ax 2 + c Je-li a = 1, b = 0, c = 0, pak mluvíme o základní kvadratické funkci f(x)= x 2

11 Připomeneme si postup sestrojení grafu kvadratické funkce. 1.Určíme souřadnice vrcholu paraboly, 2.Vypočítáme průsečíky funkce (existují-li) s osou x a osou y 3.Určíme několik dalších bodů. Příklad: Sestrojte graf funkce dané předpisem f(x) = x 2 – 2x – 1 02 f(x)2 Graf kvadratické funkce ad 1) upravíme předpis funkce doplněním na druhou mocninu dvojčlenu: x 2 – 2x – 1 = (x-1) 2 – 2 získáváme souřadnice vrcholu V[1;-2] paraboly ad 2) průsečíky s osou x určíme rozkladem kvadratického trojčlenu: x 2 – 2x – 1 = [x-(1-  2)][x+(1+  2 )], získáváme souřadnice průsečíků P 1 [1+  2], P 2 [1-  2] paraboly ad 3) sestavíme tabulkua určíme další body grafu. [-1;2] V[1;-2] [0;-1] 1-  2 1+  2 [2;-1]

12 Kvadratická funkce příklad Funkční předpis kvadratických funkcí zapište rovnicí, víte-li, že platí: a)f(1) = -2, f(2) = 4, f(3) = 4; b)graf funkce prochází body K[0;-3], L[1;0], M[-1;-4]; zobraz postup řešení c)funkce f je sudá v R, hodnota minima je -8 a jeden z průsečíků grafu funkce s osou x má souřadnice [2;0]; zobraz postup řešení d)funkce f pro x=2 nabývá maxima, přičemž hodnota maxima je 4 a osu y protíná graf funkce f v bodě [0;1] zobraz postup řešení e)funkce f je v intervalu (-  ;3  rostoucí, v intervalu  3;  ) je klesající. Graf prochází počátkem soustavy souřadnic. Hodnota maxima je 18. zobraz postup řešení

13 Kvadratická funkce příklad - řešení a)f(1) = – 2, f(2) = 4, f(3) = 4 f(x) = ax 2 + bx + c –2 = a  b  1 + c 4 = a  b  2 + c 4 = a  b  3 + c Sestavíme tři rovnice o třech neznámých  c = – 2 – a – b 4 = 4a + 2b – 2 – a –b 4 = 9a + 3b – 2 – a –b 6 = 3a + b 6 = 8a + 2b  b = 6 – 3a 6 = 8a +12 – 6a a = –3 b = 15 c = – 14  f(x) = – 3x x –14 b) graf funkce prochází body K[0;-3], L[1;0], M[-1;-4] –3 = c 0 = a + b + c –4 = a – b + c 3 = a + b –1= a – b + a = 1 b = 2 c = – 3  f(x) = x 2 + 2x –3 Pak f(0) = -3, f(1) = 0, f(-1) = -4 Zpět

14 Kvadratická funkce příklad - řešení c) funkce f je sudá v R, hodnota minima je -8 a jeden z průsečíků grafu funkce s osou x má souřadnice [2;0]  c = – 8 0 = 4a + 2b – 8 0 = 4a – 2b – 8 a = 2 b = 0  f(x) = 2x 2 – 8 Sudá funkce:  x  D f : f(-x) =f(x), tedy druhý průsečík s osou x má souřadnice [-2; 0] a graf funkce je souměrný podle osy y. Ryze kvadratická funkce Zpět

15 Kvadratická funkce příklad - řešení d)funkce f pro x=2 nabývá maxima, přičemž hodnota maxima je 4 a osu y protíná graf funkce f v bodě [0;1] 4= 4a+2b+c 1 = c 1 = 16a + 4b +c Pak funkce prochází body [2; 4], [0;1] a graf funkce je souměrný podle přímky x=2  prochází bodem [4;1] 3 = 4a + 2b 1 = 16a + 4b c = 1 Zpět

16 Kvadratická funkce příklad - řešení e)funkce f je v intervalu (-  ;3  rostoucí, v intervalu  3;  ) je klesající. Graf prochází počátkem soustavy souřadnic. Hodnota maxima je 18. 0= c 18 =9a+3b+ c 0 = 36a + 6b +c a = -2 b =12 Pak funkce prochází body [3; 18], [0;0] a graf funkce je souměrný podle přímky x=3, tedy prochází bodem [6;0] 6 = 3a + b 0 = 6a + b c = 0  f(3) = 18, f(0) = 0, f(6) = 0 Opět sestavíme tři rovnice o třech neznámých ZpětDalší

17 Kvadratická funkce cvičení

18 Mocninná funkce Polynomické funkce, se kterými pracujeme se dají nazvat jako mocninné funkce, jak již víme, dělíme je na: 1.funkce s přirozeným exponentemf(x) = x n ; n  N 2.funkce s celým exponentemf(x) = x n ; n  Z Dále rozlišujeme, je-li exponent číslo sudé nebo liché. n  N, n – liché lichá funkce oborem hodnot je R je rostoucí nemá minimum ani maximum není omezená zdola ani shora n  N, n – sudé sudá funkce oborem hodnot je  0;+∞) je klesající v  -∞;0),rostoucí v  0;+∞) v bodě 0 má minimum, nemá maximum je omezená zdola f(x) = x 3 f(x) = x 4

19 Mocninná funkce funkce s celým exponentem f(x) = x n ; n  Z n  Z, n – liché lichá funkce oborem hodnot je R- {0} je klesající v (-∞;0)  (0; +∞) nemá minimum ani maximum není omezená zdola ani shora n  Z, n – sudé sudá funkce oborem hodnot je R + je rostoucí v  -∞;0),klesající v  0;+∞) nemá minimum ani nemá maximum je omezená zdola f(x) = x -3 f(x) = x -4

20 Mocninná funkce cvičení 1 Určete předpis funkce f: a) x 2 –2 a b c d b) x 2 -2x+4 c) x 2 +2x+4 d) x 2 +2 a) x 3 –2 a b c d b) (x 2 +4x+4) -1 c) (x-2) 3 d) x 2 -3 a) x -2 –2 a b c d b) (x-4) -4 c) (x-3) 2 d) (x-2) -2 Určete D f, H f funkce f: a)D f =R, H f = R + a b c d b)D f =R 0 +, H f = R + c)D f =R, H f = R 0 + d)D f =R, H f = R a)D f =R, H f = R a b c d b)D f =R +, H f = R c)D f =R, H f = R + d)D f =R 0 +, H f = R - a)D f =R, H f = R + a b c d b)D f =R-{2}, H f = R + c)D f =R, H f = R d)D f =R, H f = R-{2}

21 Mocninná funkce cvičení 2 Podle grafu funkce rozhodněte zda platí ( A-ano, N-ne): funkce je v (─ ∞; 2  klesající není omezená zdola má minimum funkce je prostá není omezená je lichá funkce je omezená zdola není sudá pro x=2 není definována funkce je v  2; ∞) rostoucí nemá maximum je prostá je klesající v celém D f v bodě [2;0] má minimum nabývá pouze záporné funkční hodnoty existuje k ní funkce inverzní v (2;∞) je klesající nabývá pouze kladné funkční hodnoty

22 Racionální lomené funkce

23 Lineární lomená funkce

24 Graf lineární lomené funkce 3. sestrojíme několik dalších bodů x-21-0,5 f(x)25 [-2;-1] [1;2] [-0,5;5]

25 Elementární funkce algebraické shrnutí V této kapitole jsme si připomenuli pojmy: Toto jsou základní algebraické funkce a jejich vlastnosti. Další typy funkcí si připomeneme v další kapitole.

26 Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia - Funkce, Doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc.


Stáhnout ppt "Elementární funkce algebraické Základy infinitezimálního počtu."

Podobné prezentace


Reklamy Google