Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Průběh funkce I Základy infinitezimálního počtu Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Průběh funkce I Základy infinitezimálního počtu Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF."— Transkript prezentace:

1 Průběh funkce I Základy infinitezimálního počtu Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF

2 Průběh funkce I - úvod Vyšetřit průběh funkce patří k základním úlohám infinitezimálního počtu. Nejdříve se seznámíme s teoretickým základem nutným pro jeho zkoumání. Věta Rolleova Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti: a)je spojitá v uzavřeném intervalu  a; b , b)v každém bodě otevřeného intervalu (a; b) má derivaci, c)f(a) = f(b). Potom existuje v otevřeném intervalu (a; b) aspoň jeden bod c, v němž f´(c) = 0. t f acb Na obrázku je nakreslen graf funkce f, která vyhovuje předpokladům Rolleovy věty. Graf funkce má v každém bodě tečnu. Z Rolleovy věty plyne, že aspoň jedna z tečen bude rovnoběžná s osou x. Směrnice této tečny je f´(c) = tg  = 0. T[c; f(c)]

3 Průběh funkce I - úvod Zobecnění Rolleovy věty je věta Lagrangeova, která umožňuje odhadnout přírůstek funkce na základě její derivace Věta Lagrangeova o střední hodnotě Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF t f acb T[c; f(c)] A B

4 Průběh funkce I Monotónnost funkce V kapitole základní vlastnosti funkce jsme si připomenuli pojmy funkce rostoucí, klesající a konstantní. Funkce rostoucí nebo klesající nazýváme jedním slovem funkce monotónní. Z předchozích vět vyplývá: Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF Platí-li f´(x) = 0 pro každé x  (a; b), potom je f funkce konstantní. Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a; b) kladnou derivaci, je v tomto intervalu rostoucí. Má-li funkce f v každém bodě intervalu (a; b) zápornou derivaci, je v tomto intervalu klesající.

5 Monotónnost funkce cvičení Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF

6 Průběh funkce I Extrémy funkce Označení extrémy funkce je souhrnné označení pro maximum a minimum funkce. Pod pojmem extrém funkce rozumíme největší nebo nejmenší hodnotu této funkce v definičním oboru nebo na nějakém uzavřeném intervalu. Tyto extrémy nazýváme lokální extrémy funkce. Obrácená věta k předchozí větě neplatí, protože je-li v bodě x 0 derivace f´(x 0 ) = 0, pak nemusí mít funkce v tomto bodě lokální extrém. Říkáme, že bod x 0 je „podezřelý z extrému“. Všechny tyto body „podezřelé z extrému“ nazýváme stacionární body Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF Funkce f má v bodě x 0 lokální maximum (minimum), existuje-li takové okolí bodu x 0, že pro všechna x z tohoto okolí platí: f(x)  f(x 0 ) (f(x)  f(x 0 )). Nutná podmínka existence lokálního extrému funkce. Má-li funkce f v bodě x 0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f´(x 0 ), pak platí: f´(x 0 ) = 0.

7 Průběh funkce I Extrémy funkce K určení lokálních extrémů jsou důležité následující věty. První věta o postačujících podmínkách pro lokální extrém. Připomeňme si, že lokální extrémy může mít funkce jen v těch bodech, kde je derivace rovna nule nebo neexistuje. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF Nechť f´(x 0 ) = 0. Jestliže existuje takové okolí U  (x 0 ), že v intervalech (x 0 -  ; x 0 ) a (x 0 ; x 0 +  ) má f´(x) různá znaménka, má funkce f v bodě x 0 ostrý lokální extrém. Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě x 0 lokální maximum, Mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě x 0 lokální minimum x0x0 x0x0 x0x0 x0x0 rostoucí funkce     klesající funkcelokální minimumlokální maximum znaménko derivace

8 Průběh funkce I Extrémy funkce Druhá věta o postačujících podmínkách pro lokální extrém. Je-li f´´(x 0 ) = 0, ke zjištění lokálních extrémů použijeme první větu o postačujících podmínkách pro lokální extrém, zjistíme znaménkové změny 1. derivace v okolí bodu x0.x0. Příklad: Vyšetřete lokální extrémy funkce Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF Nechť x 0 je stacionárním bodem funkce f. Existuje-li f´´(x 0 ), pak platí: a)Je-li f´´(x 0 ) > 0, má funkce f v bodě x 0 ostré lokální minimum, b)Je-li f´´(x 0 ) < 0, má funkce f v bodě x 0 ostré lokální maximum, c)Je-li f´´(x 0 ) = 0, může, ale nemusí mít funkce f v bodě x 0 lokální extrém. zobrazit postup řešení

9 Extrémy funkce příklad Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF Další

10 Extrémy funkce cvičení Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF

11 Průběh funkce I shrnutí Připomeneme si nové pojmy: V další kapitole se seznámíme s pojmem integrálního počtu – primitivní funkce Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF

12 Použitá literatura Přehled užité matematiky, Karel Rektorys a spolupracovníci Přehled středoškolské matematiky, Josef Polák Matematika pro gymnázia – Diferenciální a integrální počet, RNDr. Dag Hrubý, RNDr. Josef Kubát Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, RNDr. Jindra Petáková Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF


Stáhnout ppt "Průběh funkce I Základy infinitezimálního počtu Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF."

Podobné prezentace


Reklamy Google