Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."— Transkript prezentace:

1 Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-58 – DERIVACE FUNKCE XIV (konvexnost a konkávnost funkce) Anotace Definice funkce konvexní a konkávní v bodě i v intervalu. Použití při řešení úloh o průběhu funkcí. Animace jako důležitý prostředek pochopení lokálního významu znaménka druhé derivace. AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstup Žák rozumí definicím funkce konvexní a konkávní v bodě i v intervalu, je schopen řešit jednoduché úlohy na zjišťování konvexnosti či konkávnosti v kontextu úloh o průběhu funkce. Klíčová slovaFunkce konvexní (konkávní) v bodě, funkce konvexní (konkávní) v intervalu. Důkaz vět. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření

2  MOTIVACE KONVEXNOSTI A KONKÁVNOSTI FUNKCE V BODĚ x 0 Graf funkce f leží nad tečnou t.Graf funkce f leží pod tečnou t. Graf funkce f leží nad tečnou t v libovolném bodě.Graf funkce f leží pod tečnou t v libovolném bodě.

3  LOKÁLNÍ VÝZNAM ZNAMÉNKA DRUHÉ DERIVACE V BODĚ x 0  DEFINICE FUNKCE RYZE KONVEXNÍ V BODĚ x 0 Předpokládejme existenci derivaci f / (x) v bodě x 0. Existuje-li  > 0 tak, že pro všechna x  (x 0 –  ; x 0 )  (x 0 ; x 0 +  ) leží bod [x; f(x)] nad tečnou t, říkáme, že funkce f je ryze konvexní v bodě x 0. Pohybující se bod [x; f(x)] je vždy nad tečnou t (pokud je x  x 0 ). t: y = f(x 0 ) + f / (x 0 ). (x – x 0 ) leží-li bod [x; f(x)] nad tečnou t, potom platí f(x) > f(x 0 ) + f / (x 0 ). (x – x 0 ).

4  LOKÁLNÍ VÝZNAM ZNAMÉNKA DRUHÉ DERIVACE V BODĚ x 0  DEFINICE FUNKCE RYZE KONKÁVNÍ V BODĚ x 0 Předpokládejme existenci derivaci f / (x) v bodě x 0. Existuje-li  > 0 tak, že pro všechna x  (x 0 –  ; x 0 )  (x 0 ; x 0 +  ) leží bod [x; f(x)] pod tečnou t, říkáme, že funkce f je ryze konkávní v bodě x 0. Pohybující se bod [x; f(x)] je vždy pod tečnou t (pokud je x  x 0 ). t: y = f(x 0 ) + f / (x 0 ). (x – x 0 ) leží-li bod [x; f(x)] pod tečnou t, potom platí f(x) < f(x 0 ) + f / (x 0 ). (x – x 0 ).

5 VĚTA (lokální význam znaménka druhé derivace funkce f v bodě x 0 ): Je-li f // (x 0 ) > 0, potom je funkce f v bodě x 0 ryze konvexní. Důkaz věty: Máme dokázat, že je funkce f v bodě x 0 ryze konvexní. Máme tedy dokázat, že existuje  > 0 tak, že pro libovolné x, pro které platí 0 <  x – x 0  < , leží bod [x; f(x)] nad tečnou t (tečna k funkci f v bodě [x 0 ; f(x 0 )]). Tedy f(x) > f(x 0 ) + f / (x 0 ). (x – x 0 ). Z předpokladu f // (x 0 ) > 0 plyne, že je funkce y = f / (x) rostoucí v bodě x 0. Z toho plyne, že existuje  > 0 tak, že pro   (x 0 -  ; x 0 ) platí f / (  ) < f / (x 0 ). Pro   (x 0 ; x 0 +  ) platí f / (x 0 ) < f / (  ). Zvolme libovolně x  (x 0 -  ; x 0 ). Podle Lagrangeovy věty (viz materiál EU-8-54 – derivace funkce a monotónnost funkce) musí existovat číslo  (x <  < x 0 ) tak, že platí f / (  ) (x – x 0 ) = f(x) – f(x 0 ). Protože je funkce y = f / (x) rostoucí v bodě x 0, platí f / (  ) f / (x 0 ). (x – x 0 ). Použijeme červeně označenou rovnost, dostaneme: f(x) – f(x 0 ) > f / (x 0 ). (x – x 0 ), odtud dostáváme f(x) > f(x 0 ) + f / (x 0 ). (x – x 0 ). Zvolme libovolně x  (x 0 ; x 0 +  ). Musí existovat číslo  (x 0 <  < x) tak, že platí f / (  ) (x – x 0 ) = f(x) – f(x 0 ). Protože je funkce y = f / (x) rostoucí v bodě x 0, platí f / (x 0 ) < f / (  ). Pokud tuto nerovnost násobíme kladným číslem (x – x 0 ), dostaneme f / (x 0 ). (x – x 0 ) < f / (  ). (x – x 0 ). Použijeme červeně označenou rovnost, dostaneme: f(x) – f(x 0 ) > f / (x 0 ). (x – x 0 ), odtud dostáváme f(x) > f(x 0 ) + f / (x 0 ). (x – x 0 ). VĚTA (lokální význam znaménka druhé derivace funkce f v bodě x 0 ): Je-li f // (x 0 ) < 0, potom je funkce f v bodě x 0 ryze konkávní. Důkaz věty bude velmi podobný předešlému důkazu.

6  MOTIVACE RYZÍ KONVEXNOSTI FUNKCE V INTERVALU I = (a; b)  DEFINICE FUNKCE RYZE KONVEXNÍ V INTERVALU I = (a; b) Funkce f je ryze konvexní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x 1, x 2, x 3  (a; b) splňující nerovnosti x 1 < x 2 < x 3, leží bod P 2 [x 2 ; f(x 2 )] pod přímkou spojující body P 1 [x 1 ; f(x 1 )], P 3 [x 3 ; f(x 3 )]. Funkce f je ryze konvexní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x 1, x 2, x 3  (a; b) splňující nerovnosti x 1 < x 2 < x 3, platí nerovnost

7  MOTIVACE RYZÍ KONKÁVNOSTI FUNKCE V INTERVALU I = (a; b)  DEFINICE FUNKCE RYZE KONKÁVNÍ V INTERVALU I = (a; b) Funkce f je ryze konkávní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x 1, x 2, x 3  (a; b) splňující nerovnosti x 1 < x 2 < x 3, leží bod P 2 [x 2 ; f(x 2 )] nad přímkou spojující body P 1 [x 1 ; f(x 1 )], P 3 [x 3 ; f(x 3 )]. Funkce f je ryze konkávní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x 1, x 2, x 3  (a; b) splňující nerovnosti x 1 < x 2 < x 3, platí nerovnost

8  VĚTA (souvislost znaménka druhé derivace funkce f a konvexnosti funkce v intervalu) Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f // (x) > 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konvexní.  VĚTA (souvislost znaménka druhé derivace funkce f a konkávnosti funkce v intervalu) Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f // (x) < 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konkávní. Důkaz věty: Máme dokázat, že je funkce f v intervalu (a; b) ryze konvexní. Máme tedy dokázat, že pro každou trojici reálných čísel x 1, x 2, x 3  (a; b), x 1 < x 2 < x 3 platí nerovnost f(x 2 ) (x 3 –x 1 ) < f(x 1 ) (x 3 – x 2 ) + f(x 3 ) (x 2 – x 1 ). Z předpokladu f // (x 0 ) > 0 plyne, že je funkce y = f / (x) rostoucí v intervalu (a; b). To znamená, že pro libovolná dvě čísla ,   (a; b) platí, je-li  <   f / (  ) < f / (  ). Zvolme libovolně x 1, x 2, x 3  (a; b) tak, aby x 1 < x 2 < x 3. Podle Lagrangeovy věty (viz materiál EU-8-54 – derivace funkce a monotónnost funkce) musí existovat číslo   (x 1 ; x 2 ) tak, že platí f / (  ) (x 2 – x 1 ) = f(x 2 ) – f(x 1 ). Dále musí existovat číslo   (x 2 ; x 3 ), pro které platí f / (  ) (x 3 – x 2 ) = f(x 3 ) – f(x 2 ). Protože je funkce y = f / (x) rostoucí v intervalu (a; b) a  < , platí f / (  ) < f / (  ). Potom musí platit: Důkaz věty bude velmi podobný předešlému důkazu.

9  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Určete, zda je funkce f: y = x 2 – 2 x – 3 v bodě x 0 = 2 (x 0 = 0) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x 0, tečnu zobrazte. y / = 2 x – 2  y // = 2 y // (2) = 2 > 0  funkce f je v bodě x 0 = 2 ryze konvexní. y / (2) = 2 = k t ; T[2; – 3]  t: y + 3 = 2. (x – 2)  t: y – 2 x + 7 = 0 y // (0) = 2 > 0  funkce f je v bodě x 0 = 0 ryze konvexní. y / (0) = – 2 = k t ; T[0; – 3]  t: y + 3 = – 2 x  t: y + 2 x + 3 = 0 Průsečíky funkce s osami souřadnými: f(0) = – 3; f(x) = 0  x 2 – 2 x – 3 = 0  (x = – 1  x = 3) y / = 2 x – 2  y / = 0  x = 1 funkce f je klesající v intervalu (–  ; 1>, funkce f je rostoucí v intervalu <1; +  ) funkce f má v bodě x = 1 ostré lokální minimum, f(1) = – 4

10  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 Určete, zda je funkce f: y = sin x v bodě x 0 =  /6 (x 0 =  /2; x 0 = 3  /4) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f v intervalu, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x 0, tečnu zobrazte. y / = cos x  y // = – sin x funkce f je rostoucí v intervalu funkce f je klesající v intervalu funkce f má v bodě x =  /2 ostré lokální maximum, f(  /2) = 1 graf

11  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 3 Je dána funkce f. Určete a)intervaly monotónnosti, b)lokální extrémy, c)najděte rovnici tečny t k funkci f v bodě T[-1; ?], d)intervaly konvexnosti, konkávnosti. Načrtněte co nejpřesněji graf funkce včetně tečny t. y / = x x = x. (x + 2) y / = 0  ( x = 0  x = – 2) funkce f je rostoucí v intervalech (–  ; – 2>, <0; +  ) funkce f je klesající v intervalu funkce f má v bodě x = – 2 ostré lokální maximum, f(– 2) = 10/3 funkce f má v bodě x = 0 ostré lokální minimum, f(0) = 2 T[-1; 8/3 ]; k t = y / (-1) = – 1  t: 3 x + 3 y – 5 = 0 y // = 2 x + 2 = 2. (x + 1) funkce f je ryze konkávní v intervalu (–  ; – 1> funkce f je ryze konvexní v intervalu (– 1; +  )

12  NÁROČNĚJŠÍ ÚLOHY K PROCVIČENÍ – dokažte následující věty Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. Je-li f // (x 0 ) < 0, potom je funkce f v bodě x 0 ryze konkávní. Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f // (x) < 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konkávní.  ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete, zda je funkce f: y = – x 2 – 2 x + 3 v bodě x 0 = – 2 (x 0 = 0) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x 0, tečnu zobrazte. Určete, zda je funkce f: y = – sin x v bodě x 0 =  /6 (x 0 =  /2; x 0 = 3  /4) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f v intervalu, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x 0, tečnu zobrazte. Je dána funkce f. Určete a)intervaly monotónnosti, b)lokální extrémy, c)najděte rovnici tečny t k funkci f v bodě T[1; ?], d)intervaly konvexnosti, konkávnosti. Načrtněte co nejpřesněji graf funkce včetně tečny t.

13 zpět


Stáhnout ppt "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."

Podobné prezentace


Reklamy Google