Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."— Transkript prezentace:

1 Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-57 – DERIVACE FUNKCE XIII (globální i lokální extrémy funkce – úlohy na hledání extrémů) Anotace Globální extrémy funkce, jejich definice, hledání globálních extrémů funkce při řešení různých úloh (i slovních). AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstupŽák je schopen řešit jednoduché úlohy na vyhledávání globálních extrémů funkce. Klíčová slovaGlobální maximum, globální minimum, slovní úloha, Weierstrassova věta. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření

2  DEFINICE GLOBÁLNÍHO MAXIMA Funkce f má na množině M  D(f) globální maximum v bodě x 0 tehdy, když pro každé x  M platí: f(x)  f(x 0 ).  DEFINICE GLOBÁLNÍHO MINIMA Funkce f má na množině M  D(f) globální minimum v bodě x 0 tehdy, když pro každé x  M platí: f(x)  f(x 0 ).  ZAJÍMAVÁ WEIERSTRASSOVA VĚTA Je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu, potom funkce f nabývá v intervalu své největší a nejmenší hodnoty. To znamená, že  každá spojitá funkce v intervalu má jistě globální extrémy;  existují čísla x 1,x 2  taková, že pro všechna x  platí f(x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ) ;  každá spojitá funkce v intervalu je omezená shora i zdola (oboustranně).

3 GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE V UZAVŘENÉM INTERVALU (k hledání největší či nejmenší hodnoty funkce v intervalu či definičním oboru funkce vede řada technických, přírodovědných, ekonomických i společenských problémů) Postup při hledání globálních extrémů na intervalu,ab : i) na intervalu (,)ab nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, ii) k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodůpodezřelých, iii)pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované funkce a seřadíme je podle velikosti. iv)V bodě (bodech), v němž je funkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globálního maxi- ma, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globálního minima. Při hledání globálních extrémů na polouzavřených či otevřených intervalech, musíme věnovat zvýšenou pozornost krajním bodům Postup při hledání globálních extrémů na intervalu,ab : i) na intervalu (,)ab nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, ii) k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodůpodezřelých, iii)pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované funkce a seřadíme je podle velikosti. iv)V bodě (bodech), v němž je funkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globálního maxi- ma, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globálního minima. Při hledání globálních extrémů na polouzavřených či otevřených intervalech, musíme věnovat zvýšenou pozornost krajním bodům Postup při hledání globálních extrémů na intervalu,ab : i) na intervalu (,)ab nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, ii) k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodůpodezřelých, iii)pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované funkce a seřadíme je podle velikosti. iv)V bodě (bodech), v němž je funkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globálního maxi- ma, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globálního minima. Při hledání globálních extrémů na polouzavřených či otevřených intervalech, musíme věnovat zvýšenou pozornost krajním bodům Postup při hledání globálních extrémů na intervalu,ab : i) na intervalu (,)ab nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, ii) k nim přidáme krajní body intervalu a získáme tak množinu bodůpodezřelých, iii)pro všechny podezřelé body určíme funkční hodnoty studované funkce a seřadíme je podle velikosti. iv)V bodě (bodech), v němž je funkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globálního maxi- ma, v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, globál ního minima. Postup při hledání globálních extrémů funkce v intervalu : 1) v intervalu (a; b) nalezneme body v nichž funkce nabývá lokálních extrémů, 2) k nim přidáme krajní body intervalu, 3) pro všechny „podezřelé“ body určíme funkční hodnoty dané funkce, 4) z těchto čísel (viz bod 3) vybereme největší - v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota největší, nabývá funkce na daném intervalu globálního maxima, 5) z čísel (viz bod 3) vybereme nejmenší - v bodě (bodech), v němž je funkční hodnota nejmenší, nabývá funkce na daném intervalu globálního minima.

4  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Najděte absolutní extrémy funkce f: y = 2 x 3 – 6 x + 10 v intervalu =. y / = 6 x 2 – 6 y / = 0  6 x 2 – 6 = 0  6 (x 2 – 1) = 0  6 (x – 1) (x + 1) = 0  (x = 1  x = – 1) body podezřelé z lokálních extrémů jsou – 1, 1 y // = 12 x y // (– 1) = –12  funkce f má v bodě – 1 ostré lokální maximum; f(– 1) = 14 y // (1) = 12  funkce f má v bodě 1 ostré lokální minimum; f(1) = 6 Dále určíme hodnoty funkce f v krajních bodech intervalu. f(– 3) = – 26; f(3) = 46 Absolutní maximum funkce f v intervalu určíme výběrem největšího čísla z čísel 14; 6; – 26 a 46, což můžeme zapsat takto max (14; 6; – 26; 46) = 46 = f(3). Největší hodnoty (46) v intervalu nabývá funkce f v bodě 3. Absolutní minimum funkce f v intervalu určíme výběrem nejmenšího čísla z čísel 14; 6; – 26 a 46, což můžeme zapsat takto min (14; 6; – 26; 46) = – 26 = f(–3). Nejmenší hodnoty (– 26) v intervalu nabývá funkce f v bodě – 3.  ÚLOHA 1 (k samostatnému řešení) Najděte absolutní extrémy funkce f v intervalu =. řešení úlohy

5  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 (Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, D. Hrubý, J. Kubát, 1997, strana 111, úloha 4.22) Na přímce p: y = 3 x – 1 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2].  ÚLOHA 2 (k samostatnému řešení) řešení úlohy Na přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2]. Hledaný bod označme X, X  p, X [x; y]. Pro souřadnice bodu X musí platit rovnice y = 3 x – 1, tedy X [x; 3 x – 1]. Dále označme v =  AX . Při průchodu bodem x = – 0,2 se mění znaménko derivace z minus na plus, v je tedy minimální. Ilustrativní úlohu 2 řešte metodou analytické geometrie. (řešení)řešení

6  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 3 Z papíru tvaru čtverce o straně a vystřihneme ve všech rozích stejné čtverečky a složíme krabičku. Určete stranu vystřiženého čtverečku tak, aby měla krabička maximální objem.  ÚLOHA 3 (k samostatnému řešení) řešení úlohy Určete stranu čtverce, které musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 10 cm x 8 cm tak, aby po složení vznikla krabička maximálního objemu. Složená krabička bude mít hrany o rozměrech a – 2x, a – 2x, x. Objem složené krabičky označíme V. Při průchodu bodem x = a/6 se mění znaménko derivace z plus na minus, V je tedy maximální. Aby měla krabička o straně a maximální objem, musíme v rozích čtvercového papíru vystřihnout čtverečky o straně x.

7  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 4 Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemu tak, aby osa válce splývala s osou kužele. Určete rozměry válce.  ÚLOHA 4 (k samostatnému řešení) řešení úlohy Poloměr hledaného válce označíme x, jeho výšku y. Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka dostaneme: Objem vepsaného válce označíme V. Při průchodu bodem 4 se mění znaménko derivace z plus na minus, objem V vepsaného válce je tedy maximální. Rozměry válce jsou poloměr x = 4 cm, výška y = 1 cm. Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemu tak, aby osa válce byla kolmá na osu kužele. Určete rozměry válce.

8 MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 161, úlohy 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75. ISBN  ÚLOHY K PROCVIČENÍ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger. MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 111, úloha ISBN Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při objemu 2 litry měla tato nádoba minimální povrch. 2.Určete rozměry válcové nádoby bez víka tak, aby při objemu 2 litry měla tato nádoba minimální povrch. 3.Do koule o poloměru 3 cm vepište válec maximálního objemu. Určete jeho rozměry. 4.Do koule o poloměru 3 cm vepište kužel maximálního objemu. Určete poloměr podstavy a výšku kužele. 5.Kouli o poloměru 3 cm opište kužel minimálního objemu. Určete jeho rozměry. 6.Určete rozměry obdélníku tak, aby při daném obsahu 16 cm 2 měl minimální obvod. 7.Určete rozměry obdélníku tak, aby při daném obvodu 20 cm měl maximální obsah. 8.Do ostroúhlého trojúhelníku ABC, c = 8 cm, v c = 4 cm vepište obdélník KLMN maximálního obsahu tak, aby KL  AB. Určete jeho rozměry.

9 y / = x 2 + x – 2 y / = 0  x 2 + x – 2 = 0  (x + 2) (x – 1) = 0  (x = 1  x = – 2) body podezřelé z lokálních extrémů jsou – 2, 1 y // = 2 x + 1 y // (– 2) = – 3  funkce f má v bodě – 2 ostré lokální maximum; f(– 2) = 22/3 y // (1) = 3  funkce f má v bodě 1 ostré lokální minimum; f(1) = 17/6 Dále určíme hodnoty funkce f v krajních bodech intervalu. f(– 3) = 11/2; f(2) = 14/3 max (22/3; 17/6; 11/2; 14/3) = 22/3 = f(– 2) Největší hodnoty (22/3) v intervalu nabývá funkce f v bodě – 2. min (22/3; 17/6; 11/2; 14/3) = 17/6 = f(1) Nejmenší hodnoty (17/6) v intervalu nabývá funkce f v bodě 1. Najděte absolutní extrémy funkce f v intervalu =.  ÚLOHA 1 (řešení úlohy) návrat

10  ÚLOHA 2 (řešení úlohy) návrat Na přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2]. Hledaný bod označme X, X  p, X [x; y]. Pro souřadnice bodu X musí platit rovnice x + 3 y – 3 = 0, tedy Dále označme v =  AX . Při průchodu bodem x = 1,8 se mění znaménko derivace z minus na plus, v je tedy minimální.

11  ÚLOHA 3 (řešení úlohy) návrat Určete stranu čtverce, které musíme vyříznout ve všech rozích obdélníkového papíru o rozměrech 10 cm x 8 cm tak, aby po složení vznikla krabička maximálního objemu. Při průchodu bodem x 2 se mění znaménko derivace z plus na minus, objem V krabičky je tedy maximální. graf

12 Návrat na řešení úlohy

13  ÚLOHA 4 (řešení úlohy) návrat Do rotačního kužele o rozměrech r = 6 cm, v = 3 cm vepište válec maximálního objemu tak, aby osa válce byla kolmá na osu kužele. Určete rozměry válce. Poloměr hledaného válce označíme r, jeho výšku v. Z podobnosti zeleného a žlutého trojúhelníka dostaneme: Objem vepsaného válce označíme V. Pro r = 1 cm a v = 4 cm je objem válce maximální, V = 4 .

14  ÚLOHA 2 (řešení ilustrativní úlohy 2 metodou analytické geometrie) návrat Na přímce p: x + 3 y – 3 = 0 najděte bod, který má nejmenší vzdálenost od bodu A[1; – 2]. Hledaný bod označme X, X  p, X [x; y].


Stáhnout ppt "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."

Podobné prezentace


Reklamy Google