Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."— Transkript prezentace:

1 Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-52 – DERIVACE FUNKCE VIII (derivace složené funkce) Anotace Zopakování pojmu složené funkce, věta o derivování složené funkce, procvičení derivování složené funkce na příkladech. AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstup Žák chápe princip skládání funkcí a složenou funkci, dovede rozlišit (určit) vnitřní a vnější funkci, umí derivovat složené funkce. Klíčová slovaSložená funkce, vnitřní funkce, vnější funkce, derivace složené funkce. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření

2  PŘÍKLAD 1: Vytváření „nových“ funkcí skládáním elementárních funkcí.

3  PŘÍKLAD 2: Zopakování rovnosti (nerovnosti, různosti) funkcí f, g. Skládání funkcí není komutativní.

4  PŘÍKLAD 3: „Rozkládání“ složených funkcí na elementární funkce. Máme danou funkci chceme vypočítat hodnotu této funkce pro dané x  R. Výpočet hodnoty funkce můžeme vyjádřit takto: Pokud zvolíme x = 2 dostaneme: Podrobněji: Položíme-li a = g(x) [ tedy a = 3 x – 2 ] dostaneme: Danou (složenou) funkci jsme rozložili na dvě elementární funkce:

5  PŘÍKLAD 4: „Rozkládání“ složených funkcí v tabulce. Doplňte tabulku rozložením dané funkce na funkci vnitřní a vnější: y = f(g(x))a = g(x)y = f(a) y = (5x – 7) 2 y = sin(6x +5) y = cos(–3x + 8) y = sin 2 x y = tg 3 x y = cotg 5 x y = 2 7x–3 y = ln(9x+5) y = ln cosx y = ln 2 x

6  PŘÍKLAD 4: Správné doplnění tabulky. y = f(g(x))a = g(x)y = f(a) a = 3 x – 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7y = a 2 y = sin(6x + 5)a = 6 x + 5y = sin a y = cos(–3x + 8)a = –3x + 8y = cos a y = sin 2 xa = sin xy = a 2 y = tg 3 xa = tg xy = a 3 y = cotg 5 xa = cotg xy = a 5 y = 2 7x–3 a = 7 x – 3y = 2 a y = ln(9x+5)a = 9 x + 5y = ln a y = ln cosxa = cos xy = ln a y = ln 2 x a = 2 x y = ln a

7  PŘÍKLAD 5: Derivace elementárních funkcí – opakování. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a): y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ? a = 3 x – 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7y = a 2 y = (4x + 11) 117 a = 4x + 11y = a 117 y = sin(6x + 5)a = 6 x + 5y = sin a y = cos(–3x + 8)a = –3x + 8y = cos a y = sin 2 xa = sin xy = a 2 y = cos 3 xa = cos xy = a 3 y = tg 4 xa = tg xy = a 4 y = cotg 5 xa = cotg xy = a 5

8  PŘÍKLAD 5: Doplnění derivací elementárních funkcí v tabulce. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a): y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ? a = 3 x – 2a' = 3 y ' = – 5/a 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7a' = 5y = a 2 y ' = 2 a y = (4x + 11) 117 a = 4x + 11a' = 4y = a 117 y ' = 117 a 116 y = sin(6x + 5)a = 6 x + 5a' = 6y = sin a y ' = cos a y = cos(–3x + 8)a = –3x + 8a' = – 3y = cos a y ' = – sin a y = sin 2 xa = sin xa' = cos xy = a 2 y ' = 2 a y = cos 3 xa = cos xa' = – sin xy = a 3 y ' = 3 a 2 y = tg 4 xa = tg xa' = 1/cos 2 xy = a 4 y ' = 4 a 3 y = cotg 5 xa = cotg xa' = – 1/sin 2 xy = a 5 y ' = 5 a 4

9  PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ?y' (x) = ? a = 3 x – 2a' = 3y ' = – 5/a 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7a' = 5y = a 2 y ' = 2 a y = (4x + 11) 117 a = 4x + 11a' = 4y = a 117 y ' = 117 a 116 y = sin(6x + 5)a = 6 x + 5a' = 6y = sin ay ' = cos a y = cos(–3x + 8)a = –3x + 8a' = – 3y = cos ay ' = – sin a y = sin 2 xa = sin xa' = cos xy = a 2 y ' = 2 a y = cos 3 xa = cos xa' = – sin xy = a 3 y ' = 3 a 2 y = tg 4 xa = tg xa' = 1/cos 2 xy = a 4 y ' = 4 a 3 y = cotg 5 xa = cotg xa' = – 1/sin 2 xy = a 5 y ' = 5 a 4

10  PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ?y' (x) = ? a = 3x–2a' = 3y ' = – 5/a 2 y ' = – 5/(3x-2) 2 y = (5x – 7) 2 a = 5x–7a' = 5y = a 2 y ' = 2 ay ' = 2 (5x – 7) y = (4x + 11) 117 a = 4x+11a' = 4y = a 117 y ' = 117 a 116 y ' = 117 (4x+11) 116 y = sin(6x + 5)a = 6x+5a' = 6y = sin ay ' = cos ay'=cos(6x+5) y = cos(–3x + 8)a = –3x+8a' = – 3y = cos ay ' = – sin ay'=–sin(–3x+8) y = sin 2 xa = sin xa' = cos xy = a 2 y ' = 2 ay ' = 2 sinx y = cos 3 xa = cos xa' = – sin xy = a 3 y ' = 3 a 2 y ' = 3 cos 2 x y = tg 4 xa = tg xa' = 1/cos 2 xy = a 4 y ' = 4 a 3 y ' = 4 tg 3 x y = cotg 5 xa = cotg xa' = – 1/sin 2 xy = a 5 y ' = 5 a 4 y ' = 5 cotg 4 x

11  PŘÍKLAD 7: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0. 1.Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu).

12 y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ?y' (x) = ? a = 3x–2a' = 3y ' = – 5/a 2 y ' = – 5/(3x-2) 2 Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0. 2.Derivaci můžeme vypočítat efektivně (rychle a správně) (všimneme si souvislostí v předcházejícím výpočtu s výsledky v tabulce, pokusíme se formulovat „pravidlo“ pro výpočet derivace složené funkce – tedy matematickou větu).

13  PŘÍKLAD 8: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0  f(g(x)) = (5x – 7) 2 1.Derivaci můžeme vypočítat pomocí vět o derivování funkcí (v případě, že mocnitel bude např už nelze tento výpočet prakticky používat). 2.Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu). 3.Derivaci můžeme vypočítat pomocí výpočtů provedených v přecházející tabulce (nejrychlejší výpočet derivace). Zjednodušeně 

14  PŘÍKLAD 9: Rychlé výpočty derivace složené funkce z tabulky (zpaměti). Vypočítejte derivace složených funkcí z tabulky. y = f(g(x))a = g(x) a' = ? derivace vnitřní funkce y = f(a)y ' = ? y' (x) = ? derivace vnější funkce y = (5x – 7) 2 a = 5x–7a' = 5y = a 2 y ' = 2 ay ' = 2 (5x – 7) y = (4x + 11) 117 a = 4x+11a' = 4y = a 117 y ' = 117 a 116 y ' = 117 (4x+11) 116 y = sin(6x + 5)a = 6x+5a' = 6y = sin ay ' = cos ay'=cos(6x+5) y = cos(–3x + 8)a = –3x+8a' = – 3y = cos ay ' = – sin ay'=–sin(–3x+8) y = sin 2 xa = sin xa' = cos xy = a 2 y ' = 2 ay ' = 2 sinx y = cos 3 xa = cos xa' = – sin xy = a 3 y ' = 3 a 2 y ' = 3 cos 2 x y = tg 4 xa = tg xa' = 1/cos 2 xy = a 4 y ' = 4 a 3 y ' = 4 tg 3 x y = cotg 5 xa = cotg xa' = – 1/sin 2 xy = a 5 y ' = 5 a 4 y ' = 5 cotg 4 x

15  VĚTA O DERIVOVÁNÍ SLOŽENÉ FUNKCE Jestliže má funkce a = g(x) derivaci v bodě x 0 a jestliže má funkce y = f(a) derivaci v bodě a 0 = g(x 0 ), má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x 0 a platí [ f(g(x 0 )) ] / = f / (g(x 0 )) g / (x 0 ).  DŮKAZ VĚTY (užitím definice derivace) Derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce (lze také říci: „součinu derivace vnitřní funkce a derivace vnější funkce“).  PŘÍKLAD – derivujte funkci y = (x 5 +3x 2 +7) 9.

16  AUTOTEST – vypočítejte derivace složených funkcí. MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 156, úloha 22. ISBN p1)p2)p3) p4) p5)p6) p7) p8)p9) p10) p11)p12)

17  KONTROLA AUTOTESTU p1)p2) p3) p4) p5)p6) p7) p8) p9)p10) p11)p12) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.


Stáhnout ppt "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."

Podobné prezentace


Reklamy Google