Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."— Transkript prezentace:

1 Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-52 – DERIVACE FUNKCE VIII (derivace složené funkce) Anotace Zopakování pojmu složené funkce, věta o derivování složené funkce, procvičení derivování složené funkce na příkladech. AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstup Žák chápe princip skládání funkcí a složenou funkci, dovede rozlišit (určit) vnitřní a vnější funkci, umí derivovat složené funkce. Klíčová slovaSložená funkce, vnitřní funkce, vnější funkce, derivace složené funkce. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření11. 1. 2013

2  PŘÍKLAD 1: Vytváření „nových“ funkcí skládáním elementárních funkcí.

3  PŘÍKLAD 2: Zopakování rovnosti (nerovnosti, různosti) funkcí f, g. Skládání funkcí není komutativní.

4  PŘÍKLAD 3: „Rozkládání“ složených funkcí na elementární funkce. Máme danou funkci chceme vypočítat hodnotu této funkce pro dané x  R. Výpočet hodnoty funkce můžeme vyjádřit takto: Pokud zvolíme x = 2 dostaneme: Podrobněji: Položíme-li a = g(x) [ tedy a = 3 x – 2 ] dostaneme: Danou (složenou) funkci jsme rozložili na dvě elementární funkce:

5  PŘÍKLAD 4: „Rozkládání“ složených funkcí v tabulce. Doplňte tabulku rozložením dané funkce na funkci vnitřní a vnější: y = f(g(x))a = g(x)y = f(a) y = (5x – 7) 2 y = sin(6x +5) y = cos(–3x + 8) y = sin 2 x y = tg 3 x y = cotg 5 x y = 2 7x–3 y = ln(9x+5) y = ln cosx y = ln 2 x

6  PŘÍKLAD 4: Správné doplnění tabulky. y = f(g(x))a = g(x)y = f(a) a = 3 x – 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7y = a 2 y = sin(6x + 5)a = 6 x + 5y = sin a y = cos(–3x + 8)a = –3x + 8y = cos a y = sin 2 xa = sin xy = a 2 y = tg 3 xa = tg xy = a 3 y = cotg 5 xa = cotg xy = a 5 y = 2 7x–3 a = 7 x – 3y = 2 a y = ln(9x+5)a = 9 x + 5y = ln a y = ln cosxa = cos xy = ln a y = ln 2 x a = 2 x y = ln a

7  PŘÍKLAD 5: Derivace elementárních funkcí – opakování. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a): y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ? a = 3 x – 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7y = a 2 y = (4x + 11) 117 a = 4x + 11y = a 117 y = sin(6x + 5)a = 6 x + 5y = sin a y = cos(–3x + 8)a = –3x + 8y = cos a y = sin 2 xa = sin xy = a 2 y = cos 3 xa = cos xy = a 3 y = tg 4 xa = tg xy = a 4 y = cotg 5 xa = cotg xy = a 5

8  PŘÍKLAD 5: Doplnění derivací elementárních funkcí v tabulce. Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a): y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ? a = 3 x – 2a' = 3 y ' = – 5/a 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7a' = 5y = a 2 y ' = 2 a y = (4x + 11) 117 a = 4x + 11a' = 4y = a 117 y ' = 117 a 116 y = sin(6x + 5)a = 6 x + 5a' = 6y = sin a y ' = cos a y = cos(–3x + 8)a = –3x + 8a' = – 3y = cos a y ' = – sin a y = sin 2 xa = sin xa' = cos xy = a 2 y ' = 2 a y = cos 3 xa = cos xa' = – sin xy = a 3 y ' = 3 a 2 y = tg 4 xa = tg xa' = 1/cos 2 xy = a 4 y ' = 4 a 3 y = cotg 5 xa = cotg xa' = – 1/sin 2 xy = a 5 y ' = 5 a 4

9  PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ?y' (x) = ? a = 3 x – 2a' = 3y ' = – 5/a 2 y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7a' = 5y = a 2 y ' = 2 a y = (4x + 11) 117 a = 4x + 11a' = 4y = a 117 y ' = 117 a 116 y = sin(6x + 5)a = 6 x + 5a' = 6y = sin ay ' = cos a y = cos(–3x + 8)a = –3x + 8a' = – 3y = cos ay ' = – sin a y = sin 2 xa = sin xa' = cos xy = a 2 y ' = 2 a y = cos 3 xa = cos xa' = – sin xy = a 3 y ' = 3 a 2 y = tg 4 xa = tg xa' = 1/cos 2 xy = a 4 y ' = 4 a 3 y = cotg 5 xa = cotg xa' = – 1/sin 2 xy = a 5 y ' = 5 a 4

10  PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí. Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x: y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ?y' (x) = ? a = 3x–2a' = 3y ' = – 5/a 2 y ' = – 5/(3x-2) 2 y = (5x – 7) 2 a = 5x–7a' = 5y = a 2 y ' = 2 ay ' = 2 (5x – 7) y = (4x + 11) 117 a = 4x+11a' = 4y = a 117 y ' = 117 a 116 y ' = 117 (4x+11) 116 y = sin(6x + 5)a = 6x+5a' = 6y = sin ay ' = cos ay'=cos(6x+5) y = cos(–3x + 8)a = –3x+8a' = – 3y = cos ay ' = – sin ay'=–sin(–3x+8) y = sin 2 xa = sin xa' = cos xy = a 2 y ' = 2 ay ' = 2 sinx y = cos 3 xa = cos xa' = – sin xy = a 3 y ' = 3 a 2 y ' = 3 cos 2 x y = tg 4 xa = tg xa' = 1/cos 2 xy = a 4 y ' = 4 a 3 y ' = 4 tg 3 x y = cotg 5 xa = cotg xa' = – 1/sin 2 xy = a 5 y ' = 5 a 4 y ' = 5 cotg 4 x

11  PŘÍKLAD 7: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0. 1.Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu).

12 y = f(g(x))a = g(x)a' = ?y = f(a)y ' = ?y' (x) = ? a = 3x–2a' = 3y ' = – 5/a 2 y ' = – 5/(3x-2) 2 Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0. 2.Derivaci můžeme vypočítat efektivně (rychle a správně) (všimneme si souvislostí v předcházejícím výpočtu s výsledky v tabulce, pokusíme se formulovat „pravidlo“ pro výpočet derivace složené funkce – tedy matematickou větu).

13  PŘÍKLAD 8: Výpočet derivace složené funkce. Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x 0  f(g(x)) = (5x – 7) 2 1.Derivaci můžeme vypočítat pomocí vět o derivování funkcí (v případě, že mocnitel bude např. 3 457 už nelze tento výpočet prakticky používat). 2.Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu). 3.Derivaci můžeme vypočítat pomocí výpočtů provedených v přecházející tabulce (nejrychlejší výpočet derivace). Zjednodušeně 

14  PŘÍKLAD 9: Rychlé výpočty derivace složené funkce z tabulky (zpaměti). Vypočítejte derivace složených funkcí z tabulky. y = f(g(x))a = g(x) a' = ? derivace vnitřní funkce y = f(a)y ' = ? y' (x) = ? derivace vnější funkce y = (5x – 7) 2 a = 5x–7a' = 5y = a 2 y ' = 2 ay ' = 2 (5x – 7) y = (4x + 11) 117 a = 4x+11a' = 4y = a 117 y ' = 117 a 116 y ' = 117 (4x+11) 116 y = sin(6x + 5)a = 6x+5a' = 6y = sin ay ' = cos ay'=cos(6x+5) y = cos(–3x + 8)a = –3x+8a' = – 3y = cos ay ' = – sin ay'=–sin(–3x+8) y = sin 2 xa = sin xa' = cos xy = a 2 y ' = 2 ay ' = 2 sinx y = cos 3 xa = cos xa' = – sin xy = a 3 y ' = 3 a 2 y ' = 3 cos 2 x y = tg 4 xa = tg xa' = 1/cos 2 xy = a 4 y ' = 4 a 3 y ' = 4 tg 3 x y = cotg 5 xa = cotg xa' = – 1/sin 2 xy = a 5 y ' = 5 a 4 y ' = 5 cotg 4 x

15  VĚTA O DERIVOVÁNÍ SLOŽENÉ FUNKCE Jestliže má funkce a = g(x) derivaci v bodě x 0 a jestliže má funkce y = f(a) derivaci v bodě a 0 = g(x 0 ), má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x 0 a platí [ f(g(x 0 )) ] / = f / (g(x 0 )) g / (x 0 ).  DŮKAZ VĚTY (užitím definice derivace) Derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce (lze také říci: „součinu derivace vnitřní funkce a derivace vnější funkce“).  PŘÍKLAD – derivujte funkci y = (x 5 +3x 2 +7) 9.

16  AUTOTEST – vypočítejte derivace složených funkcí. MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 156, úloha 22. ISBN 80-7196-099-3. p1)p2)p3) p4) p5)p6) p7) p8)p9) p10) p11)p12)

17  KONTROLA AUTOTESTU p1)p2) p3) p4) p5)p6) p7) p8) p9)p10) p11)p12) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.


Stáhnout ppt "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."

Podobné prezentace


Reklamy Google