Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."— Transkript prezentace:

1 Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu:Inovace výuky Číslo a název šablony klíčové aktivity: EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Tematická oblast:Volitelný předmět matematika (matematický seminář) EU-8-59 – DERIVACE FUNKCE XV (konvexnost a konkávnost funkce, inflexní body) Anotace Animace a obrázky názorně ukazují problematiku inflexních bodů funkce a souvislost s konvexitou a konkavitou funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“. Zjišťování inflexních bodů funkce pomocí změny znaménka druhé derivace funkce v okolí bodu „podezřelého z inflexe“. AutorPaedDr. Milan Rieger JazykČeština Očekávaný výstup Žák chápe význam inflexních bodů funkce a tečny v inflexním bodě funkce jako důležitou a zpřesňující informaci a chování funkce v okolí inflexního bodu. Uvedené výpočty budou součástí vyšetřování průběhu funkce. Klíčová slovaDruhá derivace funkce, konvexnost (konkávnost) funkce v okolí bodu, inflexní bod. Druh učebního materiáluPracovní list / Animace / Obrázky / Testy Druh interaktivityAktivita / Výklad / Test / Kombinace Cílová skupinaŽák Stupeň a typ vzděláváníStřední vzdělávání Typická věková skupina17 – 19 let Datum vytvoření

2  INFLEXNÍ BOD – animace 1 znaménko 2. derivace +– FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH vlevo od bodu x 0  graf funkce leží „nad tečnou“  funkce je ryze konvexní  f // (x) > 0 vpravo od bodu x 0  graf funkce leží „pod tečnou“  funkce je ryze konkávní  f // (x) < 0

3  INFLEXNÍ BOD – animace 2 znaménko 2. derivace FUNKCE V BODĚ T MĚNÍ PODSTATNĚ SVŮJ PRŮBĚH vlevo od bodu x 0  graf funkce leží „pod tečnou“  funkce je ryze konkávní  f // (x) < 0 vpravo od bodu x 0  graf funkce leží „nad tečnou“  funkce je ryze konvexní  f // (x) > 0 –+

4 INFLEXNÍ BOD Ve kterých bodech může mít funkce inflexní bod? Funkce může mít inflexní bod v bodě x 0 v případě, že je druhá derivace funkce v bodě x 0 rovna nule. Body, ve kterých je druhá derivace funkce rovna nule jsou body „podezřelé z inflexe“.

5 p1) p3) p5) p2) p4) f: y = x 4 – 6 x x – 4 f: y = – x x x – 11 f: y = x 3 – 3 x 2 – 9 f: y = – x x f: y = x 4 – 12 x 2 – 5 x + 1  ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete body podezřelé z inflexe. p6) f: y = x 5 – 10 x x + 12 p7) f: y = 2 x 5 – 5 x 4 – 7 x – 8 p8) f: y = x 6 – 10 x x – 2 f: y = x 3 f: y = x 4 p9)p10) f: y = x 8 – 2 x 4 f: y = x 8 – 4 x 6 p11)p12)

6 VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence inflexního bodu): Má-li funkce f v bodě x 0 inflexní bod a existuje-li v tomto bodě druhá derivace f // (x 0 ), potom platí f // (x 0 ) = 0. Vzpomeňte si na mocninnou funkci se sudým přirozeným mocnitelem (např. f(x) = x 6 ) a hned se můžete k platnosti či neplatnosti této věty kvalifikovaně vyjádřit. f(x) = x 6  f / (x) = 6x 5  f // (x) = 30x 4  funkce f má druhou derivaci rovnou nule v bodě x 0 = 0 (to je bod „podezřelý z inflexe“), funkce f však v bodě x 0 = 0 inflexní bod nemá, protože je funkce f vlevo i vpravo od tohoto bodu ryze konvexní (nemění se znaménko druhé derivace vlevo ani vpravo od bodu x 0 ).  PROBLÉM K ŘEŠENÍ – formulujte větu obrácenou a rozhodněte, zda tato věta platí. Obrácená VĚTA: Je-li f // (x 0 ) = 0, potom má funkce f v bodě x 0 inflexní bod.

7 VĚTA: Má-li funkce f druhou derivaci v každém bodě  –okolí bodu x 0 a má-li druhá derivace funkce f // (x) v intervalech (x 0 –  ; x 0 ) a (x 0 ; x 0 +  ) různá znaménka, potom je bod x 0 inflexním bodem funkce.  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Určete inflexní bod dané funkce f. Potom najděte rovnici tečny k funkci f v bodě inflexe a načrtněte tečnu, bod inflexe a graf funkce v okolí inflexního bodu. funkce f má v bodě x 0 = - 0,5 inflexní bod, protože vlevo od bodu x 0 je znaménko druhé derivace záporné a vpravo od bodu x 0 je druhá derivace kladná

8 Určete inflexní body dané funkce f. Potom najděte rovnici tečen k funkci f v bodech inflexe a načrtněte tečny, body inflexe a graf funkce v okolí inflexních bodů.  ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2

9 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.


Stáhnout ppt "Škola:Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace Číslo projektu:CZ.1.07/1.5.00/34.0616 Název projektu:Inovace výuky Číslo."

Podobné prezentace


Reklamy Google