Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Zjištění průběhu funkce Základní pojmy funkce f(x) je rostoucí v intervalu i, jestliže platí, že když je x 2 > x 1 a zároveň platí, že y 2 > y 1. funkce.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Zjištění průběhu funkce Základní pojmy funkce f(x) je rostoucí v intervalu i, jestliže platí, že když je x 2 > x 1 a zároveň platí, že y 2 > y 1. funkce."— Transkript prezentace:

1 Zjištění průběhu funkce Základní pojmy funkce f(x) je rostoucí v intervalu i, jestliže platí, že když je x 2 > x 1 a zároveň platí, že y 2 > y 1. funkce f(x) je rostoucí pokud derivace funkce f´(x) je větší než nula. funkce f je klesající v intervalu i, jestliže platí, že když je x 2 > x 1 a zároveň platí, že y 2 < y 1. funkce f je klesající pokud derivace funkce f´(x) je menší než nula. funkce f je konvexní, jestliže za předpokladu x 1 < x 2 < x 3 platí Graf je nad tečnou funkce. funkce f je konkávní, jestliže za předpokladu x 1 < x 2 < x 3 platí y 2 – y 1 x 2 – x 1 y 3 – y 1 x 3 – x 1 <  y 2 – y 1 x 2 – x 1 y 3 – y 1 x 3 – x 1 Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci. Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní) t t Graf je pod tečnou funkce.

2 Zjištění průběhu funkce Extrémy funkce funkce f(x) má své extrémy Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci. Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní) ostré neostré Lokální (pouze ve vnitřních bodech Df ) absolutní minimum maximum Při definování extrémů funkce definujeme hodnotu y pro nějaké x. Má-li funkce v bodě A lokální extrém, pak nutně derivace funkce pro A bude rovna nule. (f ´x = 0) Pouze jeden extrém Ostré lokální minimum A y´ < 0y´ > 0 Ostré lokální maximum A y´ > 0y´ < 0 Pro zjištění absolutního extrému se dosazují hodnoty x z definičního oboru funkce. Absolutní (globální) extrém se zjistí porovnáním extrémů lokálních.

3 Zjištění průběhu funkce Postup 1)Zjištění definičního oboru funkce f(x) 2)Derivace funkce f(x)  f´(x) 3)Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. 4)Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce 5)Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. 6)Zapsání výsledku v podobě : f je rostoucí (klesající) v intervalu …, … 7)Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x)  f ´´(x) 8)Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df. 9)Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní. 10)Zápis výsledku Příklady použité v tomto materiálu byly převzaty z webových stránek

4 Zjištění průběhu funkce Příklad 1 Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, a v kterých rostoucích. 1) Zjištění definičního oboru funkce f(x) 2) Derivace funkce f(x)  f´(x) 3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. = 

5 Zjištění průběhu funkce Příklad 2 4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce. Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. +- f 1 8 f je rostoucí na, klesající na <1; ) 8 Pozn.: Už z grafického znázornění je zřejmé, že ostré absolutní maximum je v x = 1. Ostré absolutní minimum bychom zjistili porovnáním zbývajících lokálních extrémů, v našem případě s x = -1 a s x v nekonečnu. Jak se počítá s nekonečnem to nevím a tak mi zbývá už jen to x = -1. Příklad 1 Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, v kterých rostoucích, v kterých konkávní a v kterých konvexní. 1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)

6 Zjištění průběhu funkce Příklad 2 2) Derivace funkce f(x)  f´(x) 3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule. 2 4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce. Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající. +- f 0 8 e 2 f ´ f je rostoucí na (0; >, klesající na < ; ) 8 e 2 e 2

7 Zjištění průběhu funkce Příklad 2 5) Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x)  f ´´(x) e +- f 0 8 f ´´ 6) Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df). Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní. y = 4 ( 1 – ln 1) = 4 (1 – 0) = + 4 y = 4 (1 – ln e ) = 4 (1 – 2) = f je konvexní na (0;e >, konkávní na


Stáhnout ppt "Zjištění průběhu funkce Základní pojmy funkce f(x) je rostoucí v intervalu i, jestliže platí, že když je x 2 > x 1 a zároveň platí, že y 2 > y 1. funkce."

Podobné prezentace


Reklamy Google