Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 02 Opakování II. Matematika II. KIG / 1MAT2.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 02 Opakování II. Matematika II. KIG / 1MAT2."— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 02 Opakování II. Matematika II. KIG / 1MAT2

2 O čem budeme hovořit: Reálné funkce jako speciální zobrazení, definiční obory funkcí, monotonie a omezenost funkcí, sudost, lichost a periodičnost funkcí, elementární funkce, inverzní funkce, operace s funkcemi.

3 Reálné funkce (speciální zobrazení)

4 Co je to reálná funkce? Definice: Reálnou funkcí f nazýváme zobrazení z množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R: x  f(x). Chceme-li vyznačit i druhou proměnnou, budeme psát y = f(x). Příklady: Funkce-uvod.ggb

5 Definiční obory funkcí

6 Proč je důležité stanovit definiční obor? Definice Definiční obor je prvním oborem zobrazení f. Definičním oborem funkce f nazýváme tedy takovou podmnožinu reálných čísel D f, pro niž platí: x  D f  existuje číslo f(x). Druhý obor zobrazení f nazýváme oborem hodnot a značíme jej H f. Příklady:

7 Monotonie funkce

8 Rostoucí a neklesající funkce Intuitivně je zřejmé, co znamená, že funkční hodnoty funkce rostou, resp. neklesají. Definice: Funkce f je rostoucí právě tehdy, když (  x 1,x 2  D f ) x 1  x 2  f(x 1 )  f(x 2 ). Funkce f je neklesající právě tehdy, když (  x 1,x 2  D f ) x 1  x 2  f(x 1 )  f(x 2 ). Příklady:

9 Klesající a nerostoucí funkce Analogicky se definují následující pojmy: Definice: Funkce f je klesající právě tehdy, když (  x 1,x 2  D f ) x 1  x 2  f(x 1 ) > f(x 2 ). Funkce f je nerostoucí právě tehdy, když (  x 1,x 2  D f ) x 1  x 2  f(x 1 )  f(x 2 ). Jak se definuje konstantní funkce? Co znamená, že funkce není rostoucí (klesající, atd.) ?

10 Omezenost funkce

11 Funkce omezené shora či zdola Funkce je omezená shora, když existuje jakási „mez“, kterou žádná funkční hodnota nepřevýší. Podobně se vymezuje funkce omezená zdola. Definice: Funkce f je omezená shora právě tehdy, když (  K  R) (  x  D f ) f(x)  K Funkce f je omezená zdola právě tehdy, když (  L  R) (  x  D f ) f(x)  L

12 Omezené funkce Funkce je omezená právě tehdy, když je omezená shora a současně omezená zdola. Definice: Funkce f je omezená právě tehdy, když (  K,L  R (  x  D f ) L  f(x)  K Příklady: Co znamená, že funkce není omezená shora (omezená zdola, omezená) ?

13 Sudost a lichost funkce Periodicita funkce

14 Sudá funkce Definice Funkci f s definičním oborem D f budeme nazývat sudou právě tehdy, když platí: je-li x  D f, pak i - x  D f, a f( -x ) = f( x ). Graf sudé funkce je souměrný podle osy y. Příklady: Funkce f(x) = x 2, f(x) = x 4, f(x) = cos x, f(x) =  x , atd. jsou sudé.

15 Lichá funkce Definice Funkci f s definičním oborem D f budeme nazývat lichou právě tehdy, když platí: je-li x  D f, pak i - x  D f, a f( -x ) = - f( x ). Graf sudé funkce je souměrný podle počátku. Příklady: Funkce f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = sin x, f(x) = tg x, atd. jsou liché.

16 Periodická funkce Definice Funkci f s definičním oborem D f budeme nazývat periodickou právě tehdy, když platí: existuje číslo k  R takové, že je-li x  D f, pak i x + k  D f, a f( x+k ) = f( x ). Nejmenší z takových čísel k se nazývá perioda. Příklady: Funkce f(x) = sin x, f(x) = tg x, atd. jsou periodické.

17 Elementární funkce

18 Lineární funkce Definice: Lineární funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar: y = k. x + q, k, q  R. Grafem lineární funkce je přímka. Jaký je význam parametrů k, q? Lineární funkce.ggb

19 Kvadratické funkce Definice: Kvadratickou funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar y = a.x 2 + b.x + c, a, b, c  R, a  0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Kvadratické funkce.ggb

20 Polynomy Polynomem (mnohočlenem) nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar y = a n.x n + a n-1.x n-1 + a n-2.x n-2 + … + a 1.x + a 0, kde všechny koeficienty jsou reálná čísla a a n  0. Příklad: Funkce_příklady.ggb

21 Racionální funkce Racionální funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Příklady: Funkce_příklady.ggb

22 Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má tvar y = a x, a  0. Grafem exponenciální funkce je exponenciela. Příklady: Funkce_příklady.ggb

23 Goniometrické funkce Definice: Goniometrickou funkcí nazýváme zobrazení množiny reálných čísel R do množiny reálných čísel R, které má některý z těchto tvarů: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x. Příklady: Funkce_příklady.ggb

24 Inverzní funkce

25 Základní idea Ke každé prosté funkci existuje inverzní funkce. Sestrojíme ji tak, že zaměníme nezávisle a závisle proměnnou. Funkce Nez.prom.Záv.prom. …… Záv.prom.Nez.prom. Inverzní funkce

26 Logaritmické funkce Definice: Inverzní funkce k exponenciální funkci y = a x se nazývá logaritmická funkce a označuje y = log a x. Základ logaritmů a je kladné číslo různé od 1. Příklady: Logaritmy.ggb

27 Cyklometrické funkce Definice: Inverzní funkce ke goniometrickým funkcím se nazývají cyklometrické. Protože goniometrické funkce nejsou ve svých definičních oborech prosté, je třeba jejich definiční obor zúžit. Příklady: Cyklometrické funkce.ggb

28 Operace s funkcemi

29 Vytváření složitějších funkcí Z jednodušších funkcí vytváříme složitější funkce dvěma základními způsoby: 1) aritmetickými operacemi například (f+g) (x) = f(x) + g(x), atd. 2) skládáním například z funkcí y = g(x) a z = f(y), vytvoříme funkci z = f( g(x) ), apod. Složitější funkce.ggb

30 Změny grafu funkce Rozmyslete si, jak pomocí grafu funkce y = f(x), snadno získáme grafy těchto funkcí: y = f(x) + 2, y = f(x) + k, y = 2. f(x), y = k. f(x), y = f(x + 2), y = f(x + k), y = f(2.x), y = f(k.x), y = | f(x) |, atd.

31 Co je třeba znát a umět? Znát všechny zmíněné elementární funkce, znát jejich definiční obory a grafy, určovat jejich monotonii a omezenost, popřípadě jejich sudost, lichost či periodicitu. Rozumět vytváření nových funkcí aritmetickými operacemi a skládáním. U složitějších funkcí umět určit jejich definiční obor a základní vlastnosti. Znát vlivy lineárních transformací na graf.

32 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 02 Opakování II. Matematika II. KIG / 1MAT2."

Podobné prezentace


Reklamy Google