Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Přednáška 12 Diferenciální rovnice

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Přednáška 12 Diferenciální rovnice"— Transkript prezentace:

1 Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Přednáška 12 Diferenciální rovnice Matematika II. KIG / 1MAT2

2 O čem budeme hovořit: Které rovnice jsou „diferenciální“? Typy diferenciálních rovnic Separace proměnných Variace konstant Brouk na gumě Lineární rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty

3 Které rovnice jsou „diferenciální“?

4 S jakými rovnicemi jsme se již setkali? Známe rovnice, kde hledaným objektem je číslo (lineární a kvadratické, iracionální, logaritmické a exponenciální, goniometrické, atd.). Při řešení soustav lineárních rovnic jsme zmiňovali maticovou rovnici, kde neznámou byl vektor - matice typu (n,1). Podobně můžeme sestavovat další typy rovnic pro objekty libovolné algebraické struktury (na objektech musí být definovány relace a operace).

5 Jak vypadají diferenciální rovnice? Hledaným objektem u diferenciálních rovnic je funkce (v našem případě u tzv. obyčejných diferenciálních rovnic reálná funkce y = f(x) jedné reálné proměnné). Pro diferenciální rovnice je typické, že kromě neznámé y se v rovnici vyskytují i derivace, tedy y´, y´´, y (3), y (4), atd. Diferenciální rovnice má tedy obecný tvar F ( y (n), y (n-1), …, y´´, y´, y, x ) = 0

6 Typy diferenciálních rovnic

7 Řád diferenciální rovnice Řádem diferenciální rovnice budeme nazývat řád nejvyšší derivace neznámé funkce y, která se v rovnici vyskytuje. Příklady: ln x. y (3) + 3. y´ - sin x = 0DR třetího řádu ( y´´) 2. sin (y´) + y = 2 x DR druhého řádu F ( y´, y, x ) = 0 DR prvního řádu

8 Lineární diferenciální rovnice Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu má tvar a n (x). y (n) + … + a 1 (x). y´+ a 0 (x). y = b(x). Je-li pravá strana rovnice nulová funkce, nazývá se tato rovnice homogenní. Jsou-li koeficienty na levé straně rovnice konstantní funkce (reálná čísla), nazývá se rovnice s konstantními koeficienty.

9 Příklad diferenciální rovnice Uvažujme systém parabol, které jsou popsány rovnicí s parametrem C y = x 2 – C. x. Jak tyto paraboly popsat diferenciální rovnicí? Systém parabol popisuje lineární diferenciální rovnice prvního řádu: x. y´ - y = x 2 Paraboly.fig

10 Separace proměnných

11 Jak postupovat při separaci? Některé jednoduché diferenciální rovnice můžeme upravit na tvar rovnosti diferenciálů funkcí proměnné y a proměnné x. Pak stačí provést integraci obou stran rovnosti. Příklad:Řešme rovnici

12 Obecné a partikulární řešení Integrační konstanta způsobí, že diferenciální rovnici vyhovuje nekonečně mnoho konkrétních funkcí. Často hledáme jen jednu z těchto funkcí, která vyhovuje tzv. počáteční podmínce. Příklad:Nalezněme funkci, která je řešením rovnicex 2. y´- y 2 = 1 a prochází bodem [1;1].

13 Variace konstant

14 Jak postupovat při variaci konstant? U některých diferenciálních rovnic je vhodné nejprve vyřešit příslušnou homogenní rovnici, a pak předpokládat řešení, kde „integrační konstanta je funkcí proměnné x“. Příklad:Řešme rovnici Příslušná homogenní rovnice: Její řešení je:

15 Z konstanty se stane funkce! A nyní řešení nehomogenní rovnice budeme předpokládat ve tvaru: Pak získáme, že: Integrací per partes obdržíme: Závěr: obecné řešení původní rovnice je

16 Příklad navazující na motivaci Systém parabol y = x 2 – C. x jsme popsali diferenciální rovnicí x. y´ - y = x 2. Jak postupovat obráceně - tedy jak tuto rovnici vyřešit? Příslušná homogenní rovnice: Její řešení separací: Předpoklad variace: Obecné řešení rovnice:

17 Brouk na gumě

18 Zadání úlohy Jeden konec vodorovného gumového vlákna délky d = 1 m je pevný a druhý konec se v čase t = 0 sekund začne pohybovat rychlostí c = 1 m/s. Na pevném konci vlákna sedí brouk, který v čase t = 0 sekund začne lézt po vlákně rychlostí v = 1 dm/s. Doleze někdy brouk na vzdalující se konec vlákna?

19 Matematická formulace úlohy V čase t je rychlost brouka rovna součtu jeho vlastní rychlosti v a „unášecí rychlosti“ způsobené natahováním vlákna: To je nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu pro neznámou funkci s(t) : Vyřešme ji:

20 Obecné řešení diferenciální rovnice Příslušná homogenní rovnice je: Separací proměnných získáme: Obecné řešení tedy je: Předpoklad pro variaci: Funkce K(t) má tvar:

21 Partikulární řešení Integrační konstanta L v obecném řešení Partikulární řešení, popisující závislost dráhy uražené broukem na čase, tedy je: Odtud vypočítáme: musí vyhovovat okrajové podmínce s(0) = 0. Proč?

22 Doleze brouk na konec vlákna anebo ne? Musela by být splněna podmínka: Pro hodnoty ze zadání úlohy můžeme vypočítat: Odtud vypočítáme čas t, v kterém brouk dorazí na konec vlákna: To nastane právě tehdy, když: brouk - graf.xls

23 Lineární rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty

24 Jak řešit tyto rovnice? Soustředíme se na homogenní rovnice: a 2. y ´´ + a 1. y´+ a 0. y = 0. Jejich řešení budeme předpokládat ve tvaru Derivováním a dosazením získáme pro neznámou a tzv. charakteristickou rovnici. Její kořeny určují dvě základní řešení y 1 a y 2. Obecná řešení homogenní rovnice vytvářejí vektorový prostor dimenze 2 s bází y 1 a y 2.

25 Příklad Řešme diferenciální rovnici: Obecné řešení homogenní rovnice je pak jejich lineární kombinací: Charakteristická rovnice je: Řešeními jsou tedy funkce:

26 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Přednáška 12 Diferenciální rovnice"

Podobné prezentace


Reklamy Google