Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Komplexní čísla.  Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část.  Pokud je reálná část.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Komplexní čísla.  Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část.  Pokud je reálná část."— Transkript prezentace:

1 Komplexní čísla.  Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část.  Pokud je reálná část nulová, jedná se o ryze imaginární komplexní číslo.  Samotná čísla x, y jsou reálná. Množina komplexních čísel se značí C. Algebraický tvar komplexního čísla. Komplexní číslo z = [x, y]  C je v algebraickém tvaru, jestliže píšeme z = x + iy. Při tom i je imaginární jednotka. Platí i 2 = -1, tedy lze definovat i . Příklad. Řešme rovnici x = 0. Protože diskriminant D = -4 < 0, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel. Lze však psát x 2 = - 1 = i 2. Řešení rovnice v oboru komplexních čísel existuje, x =  i. Příklad. Řešme rovnici x 2 + x + 1 = 0. Protože diskriminant D = -3 < 0, rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel. Hledáme tedy řešení v oboru komplexních čísel.

2 Mějme rovnici ax 2 + bx + c = 0, a, b, c  R, kde diskriminant D = b 2 – 4ac < 0. Pak. Tedy x 1, x 2 jsou komplexní čísla, která se liší znaménkem své imaginární části:,. Komplexní čísla z 1 = x + iy, z 2 = x – iy se nazývají komplexně sdružená. Řešením kvadratické rovnice v C je tedy dvojice komplexně sdružených čísel. Příklad – pokračování. Řešení rovnice x 2 + x + 1 = 0 v C jsou. Poznámka. Mezi R 2 a C existuje prosté zobrazení jedné struktury na druhou (izomorfismus), které zachovává vlastnosti obou struktur. Stejně jako v R 2 i v C platí, že  lze definovat algebraické operace s komplexními čísly  lze definovat rovnost mezi komplexními čísly  lze definovat „velikost“ komplexního čísla  neexistuje uspořádání komplexních čísel

3 Geometrické znázornění komplexních čísel. Vzhledem k izomorfismu R 2 a C lze komplexní číslo znázornit v rovině. Na osu x vynášíme reálné části a na osu y imaginární části komplexního čísla. Komplexní rovina se nazývá také Gaussova nebo Argandova rovina. Rovnost komplexních čísel. Komplexní čísla z 1 = x 1 + y 1, z 2 = x 2 + y 2 se rovnají právě, když x 1 = x 2, y 1 = y 2. Součet (rozdíl) komplexních čísel. Jestliže a, pak. Násobení komplexních čísel. Jestliže a, pak. Poznámka. Absolutní hodnota komplexního čísla. Absolutní hodnota („velikost“) komplexního čísla z = x + iy je rovna. Absolutní hodnota je reálné nezáporné číslo, je rovna nule právě, když x = 0 a y = 0, tj. z = 0.

4 Důkaz. Pomocné tvrzení. Ke každému z  C, z  0, existuje z /  C tak, že z.z / = 1. Důkaz. Nechť z = x + iy, hledané číslo z / = a+ib, x  0, y  0. Dělení komplexních čísel. 1.Součin čísla z  C a komplexně sdruženého čísla  C je číslo reálné. 2.Součin čísla z  C a komplexně sdruženého čísla  C je číslo nezáporné. Součin je roven 0 právě, když z = 0. Pomocné tvrzení. Rovnici vynásobíme komplexně sdruženým číslem k z.

5 Dělení komplexních čísel. Nechť z = x+iy  C, z  0, r = a + ib  C. Pak. Pomocné tvrzení. Nechť z = x+iy  C, z  0, r = a + ib  C. Pak. Důkaz. Poznámka.  Nechť z = x+iy  C. Z předchozího plyne, že.  Nechť z 1, z 2  C. Pak   pro z 2  0 platí  komplexní číslo takové, že se nazývá komplexní jednotka.

6 Příklad. Dokažte, že Příklad. Sledujte následující úpravy:

7 Příklad. Řešme v C rovnici. Zapište v algebraickém tvaru. Pro která komplexní čísla c = a+ib, z = x+iy je podíl c / z : 1.reálné číslo 2.imaginární číslo (= imaginární část různá od nuly) 3.ryze imaginární číslo ( = reálná část rovna 0) 1. bx =ay 2. bx  ay 3. ax = -by

8 Goniometrický tvar komplexního čísla. Vzhledem k izomorfismu R 2 a C lze komplexní číslo znázornit v rovině. Na osu x vynášíme reálné části a na osu y imaginární části komplexního čísla. Komplexní rovina se nazývá také Gaussova nebo Argandova rovina. Nechť z = x + iy je komplexní číslo. V Gaussově rovině ho znázorníme jako bod [x, y]. Vzdálenost tohoto bodu od bodu [0, 0] je rovna, což je podle definice. Příklad. Znázorněte v Gaussově rovině všechna komplexní z čísla, pro něž. Nerovnice lze přepsat do tvaru. V Gaussově rovině všechna z vyhovující oběma nerovnostem Leží v mezikruží definované kružnicemi s poloměry 1/2 a, se středy v počátku. Při tom body ležící na kružnici s poloměrem 1/2 nerovnostem nevyhovují. Příklad. Znázorněte v Gaussově rovině všechna komplexní z čísla, pro něž. z  0 a dále výraz na levé straně nerovnosti lze upravit Všechna z tedy leží uvnitř kružnice se středem v bodě [-1,0] a s poloměrem 2. Při tom bod [0,0] jsme předem vyloučili.

9 Komplexní číslo z = x + iy lze psát. Při tom komplexnímu číslu odpovídá v Gaussově rovině bod na jednotkové kružnici. Tento bod odpovídá bodu [cos , sin  ], kde  je orientovaný úhel, který svírá průvodič bodu s osou x. Lze tedy psát = r (cos  + i sin  ). Při tom r =, cos  =, sin  =. Tvaru z = r (cos  + i sin  ) se říká goniometrický tvar komplexního čísla z. Příklad. Vyjádřete v goniometrickém tvaru číslo z = -1 + i., cos  = -1/2, sin  =. Podle znaménka funkcí cos a sin je  v 2. kvadrantu,  = 2  /3. z = 2(cos 2  /3 + i sin 2  /3). Příklad. V algebraickém tvaru vyjádřete číslo.,, z = - i/2.

10 Tvrzení. Nechť z k = r k (cos  k + i sin  k ), k = 1, 2, …, n. Pak z 1. z 2. … z n = r 1.r 2. … r n (cos(  1 +  2 + … +  n ) + i sin (  1 +  2 + … +  n ). Důkaz. Matematickou indukcí. n = 1  z 1 = r 1 (cos  1 + i sin  1 ), tudíž formule je splněna triviálně s jedním činitelem. Nechť formule platí pro k činitelů. Číslo vzniklé součinem označím q = a(cos  + i sin  ), kde a = r 1.r 2. … r k,  =  1 +  2 + … +  k. To je však formule z tvrzení, kterou jsme měli dokázat. Tvrzení. Nechť z k = r k (cos  k + i sin  k ), k = 1, 2. Nechť z 2  0. Pak. Důkaz.

11 Moivreova věta. Pro každé přirozené číslo n a libovolné reálné číslo  platí (cos  + i sin  ) n = cos n  + i sin n . Důkaz. Je důsledkem již dokázaného tvrzení o součinu komplexních čísel. Příklad. (cos(  /3) + i sin(  /3)) 62 = cos (62  /3) + i sin(62  /3) = cos 2  /3 + i sin 2  /3 =. (1-i) 100 =.

12 Řešení některých rovnic v C. Kvadratická rovnice s reálnými koeficienty, ax 2 + bx + c = 0. Výraz D = b 2 – 4ac se nazývá diskriminant: • D  0 , 1 nebo 2 reálné kořeny • D < 0 , 2 komplexně sdružené kořeny Binomická rovnice, x n – a = 0, a  C, n > 1. Nechť,. Z Moivreovy věty vyplývá, že Odtud a. Binomická rovnice, x n – = 0 má řešení tvaru

13 Poznámka. Vzhledem k periodicitě funkcí cosinus a sinus je x n = x 0. Lze to dokázat dosazením. Příklad. V C řešte rovnici x = 0. Podle předchozího můžeme psát, neboli Poznámka. Platí tedy: V C řešte rovnici x 6 -1 = 0.

14 Příklad. V C řešte rovnici x 6 -1 = 0. úhly v pravidelném šestiúhelníku Kvadratická rovnice s komplexními koeficienty, ax 2 + bx + c = 0, a  0. x 6 – 1 = (x + 1)(x - 1)(x 2 + x + 1)(x 2 – x + 1) Podobně jako v předchozím lze rovnici upravit: Označíme-li y = 2ax + b a D = b 2 - 4ac, pak rovnici přepíšeme do tvaru binomické rovnice y 2 – D = 0. Předpokládáme-li, že, pak pro kořeny y k této binomické rovnice platí

15 Zpětným dosazením za y dostáváme Kvadratická rovnice ax2 + bx + c = 0 s komplexními koeficienty má v oboru komplexních čísel právě dva kořeny tvaru, kde  je argument diskriminantu D pro D  0. Je-li D = 0, je  libovolné reálné číslo.


Stáhnout ppt "Komplexní čísla.  Komplexní číslo je uspořádaná dvojice [x, y], kde číslo x představuje reálnou část a číslo y imaginární část.  Pokud je reálná část."

Podobné prezentace


Reklamy Google