Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra."— Transkript prezentace:

1 Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra

2 Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména pak matematiky) a pro popis operací s těmito objekty chceme tento nástroj budovat postupně od nejjednodušších objektů (univerzálních) po úzce specializované objekty

3 Teoretická informatika 3 Základní pojmy Každý objekt je reprezentován –datovým nosičem – množina popisující data, se kterými pracujeme –operacemi – nejjednoduššími transformacemi, které nad daty můžeme provádět Binární operace na množině je zobrazení A  A  A, obvykle použijeme infixový tvar pro zápis operace a  b

4 Teoretická informatika 4 Grupoid Nejuniverzálnějším objektem je grupoid (A,  ), což je datový nosič A s jednou operací  Jedinou vlastností je fakt, že užitím operace na libovolné dva prvky z A dostaneme opět prvek z A. Tedy množina A je vzhledem k operaci  uzavřená. Zavádíme pojem komutativní grupoid  a,b  A: a  b = b  a

5 Teoretická informatika 5 Pologrupa Pro asociativní operaci platí  a,b,c  A: (a  b)  c = a  (b  c) Pologrupa (A,  ) je grupoid s asociativní operací POZOR! Vlastnosti grupoidu zůstávají Opět můžeme hovořit o komutativní pologrupě, pokud je operace navíc komutativní Opakovanou aplikací operace na tentýž prvek získáme mocninu –v monoidu (A,  ) označíme a n = a  a ...  a (n-krát) pro lib. n  N

6 Teoretická informatika 6 Neutrální prvek Levý neutrální prvek je takové e  A, které splní  a  A: e  a = a Analogicky pravý neutrální prvek je takové e  A, kde  a  A: a  e = a Levých neutrálních prvků může být více, pokud nejsou žádné pravé (a naopak). Obsahuje-li pologrupa levý a pravý neutrální prvek, pak se musí jednat o tentýž prvek, který se nazývá neutrální prvek –důkaz: e l = e l  e p = e p

7 Teoretická informatika 7 Monoid Monoid (A,  ) je pologrupa s neutrálním prvkem Monoid je tedy množina s operací, kde platí uzavřenost, asociativní zákon a existuje neutrální prvek (oboustranný). V případě komutativní operace hovoříme o komutativním monoidu.

8 Teoretická informatika 8 Inverzní prvek Mějme monoid (A,  ) s neutrálním prvkem e Pak b  A je levý (resp. pravý) inverzní prvek k a  A, pokud platí b  a = e (resp. a  b = e) Inverzní prvek je pak takový prvek, který splní a  b = b  a = e Inverzní prvek k prvku a značíme a -1

9 Teoretická informatika 9 Grupa Je dán monoid (A,  ), kde je a  A, e neutrální prvek, l levý inverzní prvek k a a p pravý inverzní prvek k a. Pak platí: p = e  p = (l  a)  p = l  (a  p) = l  e = l –Z uvedeného plyne, že l = p V monoidu tedy neexistuje nic jako levý a pravý inverzní prvek! Grupa (A,  ) je monoid, kde ke každému prvku existuje prvek inverzní Opět hovoříme také o komutativní grupě

10 Teoretická informatika 10 Řád prvku a řád grupy Řád prvku a grupy (G,  ) je nejmenší přirozené číslo n takové, že a n = e. Pokud takové n neexistuje, pak a má řád 0. Řádem grupy se nazývá mohutnost, tj. počet prvků její nosné množiny.

11 Teoretická informatika Zbytkové třídy Pro dané číslo n  N definujeme na množině Z relaci ρ takto: a ρ b  a ≡ b (mod n)  n | a-b –Tedy v relaci jsou spolu právě taková čísla a a b, která dávají po dělení n stejný zbytek Relace ρ je relací ekvivalence na množině Z. Této relaci přísluší rozklad Z/ρ –značí se Z n –jednotlivé prvky (třídy) rozkladu se nazývají zbytkové třídy a značí se [a] n tedy [a] n = {a + kn | k  Z} strana 11

12 Teoretická informatika Operace se zbytkovými třídami Na množině zbytkových tříd modulo n lze definovat operace + a * takto: –[a] n + [b] n = [a+b] n –[a] n  [b] n = [a  b] n Operace jsou korektně definovány pomocí reprezentantů Modulární aritmetika; aplikace v kryptografii Množina zbytkových tříd je uzavřená vzhledem k operacím sčítání a násobení strana 12

13 Teoretická informatika Grupy zbytkových tříd Algebraická struktura (Z n,+) je komutativní grupa pro libovolné n –operace je uzavřená, komutativní a asociativní –existuje neutrální prvek e = [0] n –ke každému prvku [a] n existuje inverzní prvek [-a] n Algebraická struktura (Z n,  ) je komutativní monoid pro libovolné n –operace je uzavřená, komutativní a asociativní –existuje neutrální prvek e = [1] n –inverzní prvky obecně existovat nemusí strana 13

14 Teoretická informatika Invertibilní prvky Prvky, k nimž existuje inverze Třída [a] n má inverzi  NSD(a,n)=1 –plyne z Bezoutovy rovnosti Vypustíme-li všechny třídy soudělné s modulem (včetně nulové), získáme grupu zbytkových tříd – značíme (Z n *,  ) strana 14

15 Teoretická informatika 15 Tradiční matematické příklady (N, +)komutativní pologrupa (N 0, +)komutativní monoid (N,  )komutativní monoid (Z, +)komutativní grupa (Z,  )komutativní monoid (Q, +)komutativní grupa (Q,  )komutativní monoid (Q-{0},  )komutativní grupa (Z n, +)komutativní grupa (Z n,  )komutativní monoid (Z n *,  )komutativní grupa

16 Teoretická informatika 16 Vlastnosti struktur V pologrupách nezáleží na uzávorkování V komutativní grupoidech nezáleží na pořadí V pologrupách definujeme mocninu a n jako aplikaci operace na n činitelů a Mocnina se zápornými n se definuje jako inverze na mocninu V monoidu existuje také a 0 = e V grupě je inverzí k prvku a  b prvek b -1  a -1 Lze dokázat (v monoidu) platnost a m  a n = a m+n, (a m ) n = a m  n

17 Teoretická informatika Příklady 17 Na konečné množině A = #, $,%} je možno zadat operaci * tabulkou. –Rozhodněte, zda je operace * komutativní a asociativní –Existuje v grupoidu (A,*) neutrální prvek? –Pokud ano, existuje ke každému prvku inverzní prvek? Ukažte, že ({a,b} +, ·) je pologrupa, ale není monoid. Určete řád prvku 5 v grupě (Z 7, +) Určete řád prvku 3 v grupě (Z 5 *, ·) Určete vlastnosti struktur ({0,1},+) a ({0,1},·)

18 Teoretická informatika 18 Podstruktury Nechť (A,*) je grupoid / pologrupa / monoid / grupa a nechť B  A. Jestliže je i (B,*) grupoid / pologrupa / monoid / grupa, nazýváme jej / ji podgrupoid / podpologrupa / podmonoid / podgrupa. Například (S 0, +) je podmonoidem monoidu (N 0, +), kde S značí množinu všech sudých přirozených čísel.

19 Teoretická informatika 19 Podgrupy (H,  ) je podgrupou grupy (G,  ) právě tehdy, když: – H  G – e  H – a  H  a -1  H – a,b  H  a  b  H Pomocí množiny M  G můžeme generovat podgrupu (M,  ) grupy (G,  ) – hovoříme o podgrupě generované množinou M Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá cyklická


Stáhnout ppt "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra."

Podobné prezentace


Reklamy Google