Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teoretické základy informatiky Tomáš Foltýnek Deduktivní soustava výrokové logiky.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teoretické základy informatiky Tomáš Foltýnek Deduktivní soustava výrokové logiky."— Transkript prezentace:

1 Teoretické základy informatiky Tomáš Foltýnek Deduktivní soustava výrokové logiky

2 Teoretické základy informatiky Opakování z minulé přednášky I. •Co je to výrok? •Z čeho se skládá formální jazyk výrokové logiky? •Jak je definována výroková formule? •Co je to podformule výrokové formule? •Co je to pravdivostní hodnota výroku? •Jak vypadá pravdivostní tabulka negace, konjunkce, dijunkce, implikace a ekvivalence? •Co je to tautologie a kontradikce? •Jaké znáte tautologie a kontradikce? •Jaký je rozdíl mezi obměnou a obrácením implikace? •Které z logických spojek jsou komutativní a asociativní? •Co to znamená, že dva výroky jsou logicky ekvivalentní? •Jak se negují složené výroky? strana 2

3 Teoretické základy informatiky Opakování z minulé přednášky II. •Co je to úplný systém logických spojek? •Které spojky tvoří úplný systém logických spojek? •jak je definována Shefferova a Piercova spojka? •Co je to infixový, prefixový a postfixový zápis? •Jak vyhodnotit výraz v postfixu? •Jak převést výraz z infixu do prefixu a do postfixu? •Jak převést výraz z postfixu do infixu? •Co je to disjunktivní a konjunktivní normální forma? •K čemu se používá DNF a KNF? •Jaký je algoritmus převodu do DNF? •Jaký je algoritmus převodu do KNF? strana 3

4 Teoretické základy informatiky Deduktivní soustava výrokové logiky •Správnost a nesprávnost úsudků •Jak rozhodnout, zda je úsudek správný? •Jak poznat, zda z daných předpokladů vyplývá daný závěr? strana 4

5 Teoretické základy informatiky Formální definice úsudku I. Nechť P 1, P 2, … P m jsou výrokové formule v proměnných x 1, x 2, … x k. Nechť rovněž Z je výroková formule. Říkáme, že z formulí P 1, P 2, … P m vyplývá závěr Z a píšeme P 1, P 2, … P m ├ Z právě tehdy, když pro libovolné pravdivostní hodnoty proměnných x 1, x 2, … x k platí, že nabývá-li pravdivostní funkce formulí P 1, P 2, … P m současně hodnoty 1, pak nabývá i pravdivostní funkce formule Z hodnoty 1. strana 5

6 Teoretické základy informatiky Formální definice úsudku II. •P 1, P 2, … P m ├ Z právě tehdy, když •(P 1  P 2  …  P m ) ├ Z •P ├ Z právě tehdy, když ├ (P  Z), tj. když implikace P  Z je tautologie strana 6

7 Teoretické základy informatiky Ověření správnosti úsudku Úsudek P 1, P 2, … P m ├ Z je správný, jestliže formule (P 1  P 2  …  P m )  Z je tautologie. Úsudek je tedy správný, jestliže implikace důsledku z konjunkce premis je tautologie. strana 7

8 Teoretické základy informatiky Příklad: Ověření správnosti úsudku •Předpoklady: –Jestliže prší a mrzne, vzniká náledí –Jestliže vzniká náledí, v této zatáčce se vždy někdo vybourá –V této zatáčce se nikdo nevyboural •Závěr: –Usuzujeme, že nepršelo. •Formalizujeme předpoklady a závěr –(p  m)  n; n  b;  b ├  p •Ověříme, zda je tautologií formule –(((p  m)  n)  (n  b)  (  b))   p strana 8

9 Teoretické základy informatiky Pravidlo odloučení (modus ponens) •Nechť X a Y jsou formule. •Potom platí (X, X  Y) ├ Y. •Tedy z platnosti formulí X a X  Y můžeme odvodit platnost formule Y. •Důkaz plyne z pravdivostní tabulky formule (X  (X  Y))  Y strana 9

10 Teoretické základy informatiky Příklad: Ověření správnosti úsudků •Předpoklady: –Jestliže Jarda nepřišel ke snídani, je nemocný –Jarda přišel ke snídani •Co z toho plyne? –Jarda je unavený –Jarda je doma –Jarda přišel ke snídani –Jarda je nemocný –Jarda není nemocný strana 10

11 Teoretické základy informatiky Substituční pravidlo pro proměnnou •Buď X formule a q její proměnná. •Jestliže do X za q dosadíme formuli A, pak formuli vzniklou touto substitucí označíme S(A/q, X) •Pak platí X, A  q ├ S(A/q, X) strana 11

12 Teoretické základy informatiky Substituční pravidlo pro proměnnou v tautologii •Buď T tautologie a q její proměnná. •Jestliže do T za q dosadíme formuli A, pak formuli vzniklou touto substitucí označíme S(A/q, T) •Pak platí T ├ S(A/q, T) strana 12

13 Teoretické základy informatiky Substituční pravidlo pro formuli •Buď X formule a B její podformule. •Jestliže do X za B dosadíme formuli A, pak formuli vzniklou touto substitucí označíme S(A/B, X) •Pak platí X, A  B ├ S(A/B, X) strana 13

14 Teoretické základy informatiky Odvození formule •Formule Z je důsledkem formulí P 1, P 2, … P m právě tehdy, když existuje posloupnost formulí X 1, X 2, … X n taková, že X n = Z a pro každé i platí: –X i = P j pro vhodné j –X i = S(A/t, T) nebo X i = S(A/B, T) •kde T je libovolná tautologie –X i je důsledkem aplikace pravidla modus ponens na některé z předchozích formulí •Tato posloupnost formulí se nazývá odvození formule Z z formulí P 1, P 2, … P m. strana 14

15 Teoretické základy informatiky Příklad odvození •Dokažte odvozením, že platí (a  b), (a  c), (b  d)├ (c  d) •Odvození: –a  c (P 2 ) –c  (c  d) (disjunkce je implikována…) –a  (c  d)(tranzitivita implikace) –  (c  d)   a(obměna implikace) –b  d (P 3 ) –d  (c  d) (disjunkce je implikována…) –b  (c  d)(tranzitivita implikace) –  (c  d)   b(obměna implikace) –  (c  d)  (  a  b)(důsledek výše uvedeného) –(  a  b)   (a  b)(pravidla pro negování) –  (c  d)   (a  b)(tranzitivita implikace) –(a  b)  (c  d)(obměna implikace) –(c  d)(modus ponens) strana 15

16 Teoretické základy informatiky Další vlastnosti úsudků •Jestliže ├ a, pak b├ a pro lib. b –Tautologie je důsledkem libovolné formule •Jestliže ├ a, a├ b, pak také ├ b –Důsledkem tautologie je opět tautologie •Nechť P,Q jsou množiny formulí, a, b formule: –Jestliže P ├ a, Q ├ b, pak P  Q ├ a  b –Jestliže P ├ a  b, pak P ├ a, P├ b –Jestliže (P, a) ├ b, pak P ├ a  b –… strana 16


Stáhnout ppt "Teoretické základy informatiky Tomáš Foltýnek Deduktivní soustava výrokové logiky."

Podobné prezentace


Reklamy Google