Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno."— Transkript prezentace:

1 Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

2 Teoretická informatika Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský součin? Co je to relace? Jaké vlastnosti mohou mít relace na množině? Co je to zobrazení? Jaké může mít vlastnosti? Formulujte alespoň 3 axiomy teorie množin strana 2

3 Teoretická informatika Teorie čísel Odvětví matematiky zabývající se čísly –Definice číselných množin –Definice operací na číselných množinách –Vlastnosti (zejm. dělitelnost) –Souvislost s algebrou Číselné množiny N – přirozená číslaZ – celá čísla Q – racionální číslaI – iracionální čísla R – reálná číslaC – komplexní čísla strana 3

4 Teoretická informatika Přirozená čísla (N) Množina spolu se zobrazením succ Peanovy axiomy –(  !x)(  y)(x  succ(y)) … toto číslo značíme 0 –(  x,y)(succ(x) = succ(y)  x = y) –(  x)(x+0 = x) –(  x,y)(x+succ(y) = succ(x+y)) –(  x)(x*0 = 0) –(  x,y)(x*succ(y) = x*y + x) –Je-li U  N taková, že 0  U a (  x)(x  U  succ(x)  U), potom U = N. strana 4

5 Teoretická informatika Přirozená čísla a nula Axiomatická definice vyžaduje, aby 0  N Všeobecně platí, že 0  N –zejména z historických důvodů Nadále tedy nulu nebudeme považovat za přirozené číslo –rozlišujeme tedy N a N 0. Pouze pro potřeby axiomatické výstavby nulu do N zahrneme. strana 5

6 Teoretická informatika Celá čísla (Z) K množině N „připojíme“ všechny rozdíly přirozených čísel, které v ní dosud nejsou Na množině N  N zavedeme relaci  –(a,b)  (c,d)  a+d = b+c –Tato relace je ekvivalencí Množinu celých čísel definujeme jako rozklad příslušný této ekvivalenci Z = N  N/  Teprve nyní lze zavést operaci rozdílu! strana 6

7 Teoretická informatika Racionální čísla (Q) Racionální čísla lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel –na přirozených ani celých číslech podíl nelze definovat Konstrukce založená na kartézském součinu Z  (Z-{0}) Na něm definujeme relaci  –(a,b)  (c,d)  a*d = b*c –Místo (a,b) píšeme a/b Q = Z  (Z-{0})/  Operace jsou definovány –a/b + c/d = (a*d+c*b)/(b*d) –a/b * c/d = (a*c)/(b*d) strana 7

8 Teoretická informatika Reálná čísla (R) Na množině Q definujeme řez jako dvojici množin A, B  Q, značíme (A/B), které jsou neprázdné, disjunktní a platí (  a  A, b  B)(a5}) –A neobsahuje největší číslo, B obsahuje nejmenší číslo např. ({x  Q|x< 5 }/{x  Q|x  5}) –A neobsahuje největší číslo, B neobsahuje nejmenší číslo např. ({x  Q|x 2  2 }/{x  Q|x 2 >2}) Množina reálných čísel je množina všech řezů na Q R = {(A/B)} strana 8

9 Teoretická informatika Komplexní čísla (C) Motivace k zavedení C: Výpočet odmocnin ze záporných čísel C = R  R Místo (a,b) píšeme a+bi Operace: –(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i –(a+bi) * (c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i Imaginární jednotka i –(0+1i) * (0+1i) = -1+0i strana 9

10 Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Nekonečné množiny 

11 Teoretická informatika O pojmu nekonečno Bouřlivý historický vývoj –Potenciální x aktuální nekonečno Zenon z Eleje a jeho paradox o Achillovi a želvě Aproximativní výpočty – Eudoxos, Archimédes Integrální počet – Newton, Leibniz strana 11

12 Teoretická informatika Kardinalita U konečných množin máme počet prvků U nekonečných množin používáme pojem mohutnost (též kardinalita) Kdy jsou dvě množiny stejně mohutné? –Když mezi nimi existuje bijekce Množiny, které mají stejnou mohutnost jako N, se nazývají spočetné –Spočetné jsou tedy ty množiny, jejichž prvky lze uspořádat do posloupnosti Ostatní nekonečné množiny jsou nespočetné strana 12

13 Teoretická informatika Spočetné množiny Označme S množinu všech sudých čísel –S = {2, 4,6, …} Zobrazení f: N  S, f(n) = 2*n je bijekce N na S. Množina S je tedy spočetná. –Sudých čísel je tedy stejný počet jako všech přirozených čísel Celek je stejně velký jako jeho část! Podobně ukážeme, že Z je spočetná množina –Jak definovat bijekci mezi N a Z? strana 13

14 Teoretická informatika Spočetnost racionálních čísel Stejný problém jako spočetnost N  N Dvojice N čísel uspořádáme do posloupnosti podle obrázku Důsledek: N n je spočetná pro každé přirozené n NNNN 123…n… 1(1,1)(1,2)(1,3)…(1,n)… 2(2,1)(2,2)(2,3)…(2,n)… 3(3,1)(3,2)(3,3)…(3,n)… ………………… m(m,1)(m,2)(m,3)…(m,n)… ………………… strana 14

15 Teoretická informatika Nespočetnost reálných čísel Reálná čísla tvoří nespočetnou množinu –Nelze je uspořádat do posloupnosti –Důkaz G. Cantora (1891) –Metoda diagonalizace Ukážeme dokonce, že reálná čísla v intervalu <0,1) tvoří nespočetnou množinu strana 15

16 Teoretická informatika Cantorův důkaz I. Důkaz sporem R čísla z (0,1) – nekonečná posloupnost nekonečných posloupností číslic desetinných částí Zapíšeme do matice M Pokud takto skutečně vyjádříme všechna čísla, dokážeme spočetnost Vezmeme posloupnost číslic na úhlopříčce a zkonstruujeme číslo d –d i = 2, pokud m i,i  2, d i = 3, pokud m i,i =2 strana 16

17 Teoretická informatika Cantorův důkaz II. Zkonstruovali jsme reálné číslo d. To však v matici evidentně není, protože n-tá posloupnost má v n-tém sloupci jinou číslici Našli jsme tedy nové reálné číslo Reálná čísla tedy nelze bezezbytku seřadit do nekonečné posloupnosti Reálná čísla jsou tedy nespočetná strana 17

18 Teoretická informatika Kardinální čísla I. Mohutnost množiny označuje kardinální číslo Mohutnost spočetné množiny (N) je  o –čteme „alef nula“ Mohutnost R je dána jako mohutnost množiny všech podmnožin spočetné množiny, nazývá se mohutnost kontinua a značí se c –2  o ≤ c strana 18

19 Teoretická informatika Kardinální čísla II. Cantorův důkaz ukazuje, že  o  < 2  o Aritmetika kard. čísel 2  o  2  o = 2  o Z Cantorova důkazu (věty) plyne neexistence největšího kardinálního čísla –Potenční množina má vždy větší mohutnost Kardinální čísla netvoří množinu –díky axiomu sjednocení by existovalo největší kardinální číslo strana 19

20 Teoretická informatika Kardinální čísla III. Neexistuje množina všech množin –její potenční množina by byla nejvýše tak velká jako ona sama Známá kardinální čísla jsou konečná (přirozená čísla) a nekonečná (nejmenší je  o, větší je např. c) Nevíme, zda je c nejmenší nespočetné kardinální číslo –nerozhodnutelný problém teorie množin strana 20


Stáhnout ppt "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno."

Podobné prezentace


Reklamy Google