Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Funkce Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Definice 3. Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Funkce Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Definice 3. Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot."— Transkript prezentace:

1 Funkce Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Definice 3. Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot nazveme množiny: K úplnému zadání funkce je třeba stanovit jak funkční předpis, tak de- finiční obor. Funkční předpis (který prvek z A se zobrazí na který prvek z B) se obvy- kle zadává pomocí nějakého vzorce. Úplné zadání funkce je například Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Funkce Funkce, které mají shodné funkční předpisy, ale různé definiční obory, jsou různé! Různá zobrazení, liší se v definičních oborech

3 Graf funkce Graf funkce je zobrazení množiny dvojic čísel do pravoúhlého souřadné- ho systému. 1 1 definiční obor obor hodnot Každý bod v rovině odpovídá jedné dvojici ( x, y ).

4 Graf funkce Protože funkční hodnota funk- ce f(x) se obvykle značí pís- menem y, označujeme svislou osu také písmenem y. Pouze v případě, kdy funkční hodno- ta má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem pří- slušné fyzikální veličiny. Protože argument funkce f (x) se obvykle značí písmenem x, označujeme svislou osu také písmenem x. Pouze v přípa- dě, kdy argument má nějaký fyzikální rozměr, značíme osu písmenem příslušné fyzikální veličiny. y x argument funkční hodnota

5 Graf funkce Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- stavuje funkci. Funkce zaznamenatelné do grafu Funkce, kterou nelze znamenat do grafu? Dirichletova funkce

6 Graf funkce Ne každou funkci lze zobrazit do grafu a ne každá křivka v rovině před- stavuje funkci. Toto není graf funkce – téměř každému číslu z definičního oboru přiřazuje dvě čísla z oboru hodnot, což je v rozporu s definicí zobrazení. 0 1

7 Operace s funkcemi Funkce f a g jsou si rovny právě tehdy, když prvky přiřazují stejně. Je nutný nejen shodný předpis, ale i stejný definiční obor. Definice 15. Buďte f a g funkce, H g je podmnožinou D f Složenou funkci f o g definujeme jako novou funkci předpisem Analogicky definujeme rozdíl, násobek a podíl funkcí. Definice 16. Buďte f a g funkce, D fg = D f ∩ D g neprázdná množina. Součet funkcí f + g definujeme jako novou funkci předpisem Funkci f nazýváme vnější, funkci g vnitřní.

8 Složené funkce Příklady na složené funkce :

9 Složené funkce Příklady na složené funkce :

10 Vlastnosti funkcí Definice 16. Nechť funkce f s definičním oborem D f má následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme lichá. Funkci nazveme sudá, platí-li pro ni Lichá funkce : f(x) = x 3 Sudá funkce : f(x) = x 2 -1

11 Vlastnosti funkcí Definice 17. Nechť funkce f s definičním oborem D f má následující vlastnost: Takovou funkci nazýváme periodická. Číslo p nazýváme perioda funkce f. Pokud je v množině všech čísel p, která vyhovují definici, nejmenší prvek, nazýváme jej základní perioda funkce f. Periodická funkce : f(x) = x-[x] p je libovolné číslo z N, základní perioda je 1 Periodická funkce : f(x) = sin(x) p je libovolný celý násobek 2π, základní perioda je 2π -π-π-2ππ2π2π 1

12 Vlastnosti funkcí Definice 18. Nechť f je daná funkce, M podmnožina D f. Funkce se nazývá zdola omezená na množině M, platí-li Funkci nazveme shora omezená, platí-li Funkce omezená shora i zdola -2π -4π 2π2π4π4π Funkce omezená zdolaFunkce omezená shora

13 Vlastnosti funkcí f (x) = x 2 -1 omezená zdola na M = D f f (x) = x 2 -1 omezená shora na M = +1 f (x) = x 2 -1 omezená shora na M = +1

14 Vlastnosti funkcí f (x) = 1/x omezená zdola na M = (0,+∞) +1 f (x) = 1/x omezená shora na M = (+∞,0) +1 f (-x) = 1/x není omezená zdola ani shora na žádné množině, která obsahuje nulu! +1

15 Vlastnosti funkcí Definice 18. Nechť f je daná funkce, M podmnožina D f. Říkáme, že funkce má na množině M v bodě a M maximum, platí li Funkce má na množině M v bodě a M minimum, platí li f (x) = x 2 -1 má minimum v a = 0 na M = D f f (x) = -x 2 +5x-1 má maximum v a = 2.5 M = D f

16 Vlastnosti funkcí max min max min max min max

17 Vlastnosti funkcí Definice 19. Nechť f je daná funkce s definičním oborem D f. Říkáme, že funkce má v bodě a lokální maximum (resp. lokální minimum), existuje-li množina tak, že funkce f má v bodě a na množině M maximum (resp. minimum). max min

18 Vlastnosti funkcí Definice 20. Nechť f je daná funkce, M podmnožina D f. Říkáme, že funkce je na množině M rostoucí, (respektive klesající, ostře rostoucí, ostře klesající ), platí li respektive f (x 1 ) ≥ f (x 2 ), f (x 1 ) f (x 2 ). ostře rostoucí rostoucí klesající ostře klesající

19 Vlastnosti funkcí Definice 4. Nechť f je daná funkce s definičním oborem D f. Říkáme, že funkce je prostá, platí li prostá funkce NE – prostá funkce

20 Vlastnosti funkcí Definice 21. Buď f je prostá funkce, D f a H f její definiční obor a obor hodnot. Funkci nazveme funkcí inverzní k f. prohodit osy

21 Vlastnosti funkcí Graf inverzní funkce je s grafem původní funkce symetrický podle osy kvadrantů 1 a 3. Funkce inverzní (k funkci prosté) je prostá. Inverzní funkci k ne-prosté funkci lze utvořit pouze na vybrané podmnožině definičního oboru, na kterém prostá je. Funkci inverzní z funkčního předpisu vytvoříme tak, že vyjádříme x pomocí y a pak obě písmena zaměníme.

22 Vlastnosti funkcí 1 1 y = 2x + 1 y = ½x + ½

23 Posuny grafů funkcí y x y0y0 y0y0 y0y0 Graf funkce lze snadno posunout podél osy y o libovolnou hodnotu y 0 změ- nou funkčního předpisu z na

24 Posuny grafů funkcí y x Graf funkce lze snadno posunout podél osy x o libovolnou hodnotu x 0 změ- nou funkčního předpisu z na x0x0 x0x0 x0x0

25 Posuny grafů funkcí y x Graf funkce lze snadno převrátit podél osy x změ- nou funkčního předpisu z na

26 Posuny grafů funkcí y x Graf funkce lze snadno převrátit podél osy y změ- nou funkčního předpisu z na Pozn.: na sudou funkci tato operace nebude mít vliv.

27 Shrnutí Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé Funkci určuje D f a přiřazení (funkční předpis) Některé funkce lze zaznamenat do grafu Funkce lze sčítat, odčítat, násobit, dělit a skládat Definujeme funkci sudou a lichou Definujeme funkci periodickou Definujeme funkci (shora, zdola) omezenou Na funkcích jsou definována (lokální) extrémy – (lokální) minima a maxima Definujeme funkce (ostře) monotónní – (ostře) klesající nebo rostoucí Definujeme funkci inverzní Graf funkce lze snadno posunout či převrátit


Stáhnout ppt "Funkce Funkce je zobrazení z jedné číselné množiny do druhé, nejčastěji Definice 3. Buď A a B množiny, f zobrazení. Potom definiční obor a obor hodnot."

Podobné prezentace


Reklamy Google