Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 01 Opakování I. Matematika II. KIG / 1MAT2.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 01 Opakování I. Matematika II. KIG / 1MAT2."— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 01 Opakování I. Matematika II. KIG / 1MAT2

2 O čem budeme hovořit: Číselné obory, posloupnosti jako speciální zobrazení, rekurentní a explicitní definice, monotonie a omezenost posloupnosti, aritmetické a geometrické posloupnosti.

3 Číselné obory

4 Postupné rozšiřování číselných oborů N … přirozená čísla Q … racionální čísla Z … celá čísla I … iracionální čísla D … desetinná čísla R = Q  I … reálná čísla N D Q I Z

5 Desetinná, racionální a iracionální čísla Každé desetinné číslo lze vyjádřit ve tvaru desetinného zlomku: Každé racionální číslo lze vyjádřit ve tvaru zlomku: Žádné iracionální číslo nelze vyjádřit ve tvaru zlomku.

6 Desetinné rozvoje čísel Desetinná čísla mají ukončený desetinný rozvoj. Racionální čísla, která nejsou desetinná mají nekonečný periodický rozvoj. Iracionální čísla mají nekonečný neperiodický rozvoj.

7 Dlouhé periody Jak vypočítat periodu, když její délka převyšuje počet desetinných míst, které počítač zobrazuje? 1 : 7 = 0,142857…. 2 : 7 = 0,285714… Dlouhé periody.xls

8 Posloupnosti (speciální zobrazení) Rekurentní a explicitní definice

9 Co je to posloupnost? Definice: Posloupností {a n } nazýváme zobrazení množiny přirozených čísel N do množiny reálných čísel R: n  a n Příklady: Posloupnosti.xls

10 Záclonová čísla Záclony věšíme na háčky postupně tak, že zachycujeme středy vytvářejících se oblouků. Několik prvních záclonových čísel je: 3, 5, 9, 17, 33, atd. Z n = 2 n + 1 Dokážete vymyslet, jak lze pro libovolné přirozené číslo n vypočítat n-té záclonové číslo Z n ?

11 Jak vznikají Fibonacciho čísla ? Fibonacciho čísla lze postupně vypočítávat podle této definice: Tato čísla F n mají mnoho zajímavých vlastností. Jak ale vypočítat například padesáté číslo F 50 ? Jaký je tedy začátek posloupnosti? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … atd.

12 Vzorec pro Fibonacciho čísla Fibonacciho čísla můžeme vypočítávat podle tohoto vzorce: Fibonacci.xls Čísla  a  jsou kořeny kvadratické rovnice x 2 – x – 1 =0.

13 Rekurentní a explicitní definice Rekurentní definice zadává první člen posloupnosti (nebo několik prvních členů) a pravidlo (vzorec), které určuje, jak z předcházejících členů vypočítat člen za nimi následující. Explicitní definicí rozumíme vzorec typu a n = …, který umožňuje pro zvolený index n přímo vypočítat n-tý člen posloupnosti. Problém často bývá převést rekurentní definici na explicitní a naopak.

14 Monotonie posloupností

15 Rostoucí a neklesající posloupnosti Intuitivně je zřejmé, co znamená, že členy posloupnosti rostou, resp. neklesají. Definice: Posloupnost {a n } je rostoucí právě tehdy, když (  n) a n  a n+1 Posloupnost {a n } je neklesající právě tehdy, když (  n) a n  a n+1 Příklady:

16 Klesající a nerostoucí posloupnosti Analogicky se definují následující pojmy: Definice: Posloupnost {a n } je klesající právě tehdy, když (  n) a n > a n+1 Posloupnost {a n } je nerostoucí právě tehdy, když (  n) a n  a n+1 Jak se definuje konstantní posloupnost? Co znamená, že posloupnost není rostoucí (klesající, atd.) ?

17 Omezenost posloupností

18 Posloupnosti omezené shora či zdola Posloupnost je omezená shora, když existuje jakási „mez“, kterou žádný člen posloupnosti nepřevýší. Podobně se vymezuje posloupnost omezená zdola. Definice: Posloupnost {a n } je omezená shora právě tehdy, když(  K  R )(  n) a n  K Posloupnost {a n } je omezená zdola právě tehdy, když(  L  R )(  n) a n  L

19 Omezené posloupnosti Posloupnost je omezená právě tehdy, když je omezená shora a současně omezená zdola. Definice: Posloupnost {a n } je omezená právě tehdy, když (  K,L  R )(  n) L  a n  K Příklady: Co znamená, že posloupnost není omezená shora (omezená zdola, omezená) ?

20 Aritmetické a geometrické posloupnosti

21 Aritmetická posloupnost Aritmetická posloupnost je určena prvním členem a 1 a tzv. diferencí d, přičemž pro všechna n platí a n+1 = a n + d Na čem závisí monotonie aritmetické posloupnosti? Může být aritmetická posloupnost zdola omezená, resp. shora omezená, resp. omezená? Explicitní vyjádření: a n = a 1 + (n – 1).d

22 Geometrická posloupnost Geometrická posloupnost je určena prvním členem a 1 a tzv. kvocientem q, přičemž pro všechna n platí a n+1 = a n. q Na čem závisí monotonie geometrické posloupnosti? Může být geometrická posloupnost zdola omezená, resp. shora omezená, resp. omezená? Explicitní vyjádření: a n = a 1. q (n – 1)

23 Problémy Jakou posloupností popíšeme závislost ceny na počtu zakoupených kusů? Jakou posloupností popíšeme závislost uložené částky na počtu úročených let? Jak vypočítat součet prvních n členů u obou posloupností? Může být posloupnost současně aritmetická i geometrická?

24 Co je třeba znát a umět? Vlastnosti číselných oborů, rekurentní a explicitní popis posloupností, monotonii posloupností, omezenost posloupností, vlastnosti aritmetických a geometrických posloupností.

25 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 01 Opakování I. Matematika II. KIG / 1MAT2."

Podobné prezentace


Reklamy Google