Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Posloupnosti Posloupnost – v běžném životě zaznamenáváme údaje v určitých časových okamžicích. Registrační přístroje dodávají sérii čísel. Čísla závisí.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Posloupnosti Posloupnost – v běžném životě zaznamenáváme údaje v určitých časových okamžicích. Registrační přístroje dodávají sérii čísel. Čísla závisí."— Transkript prezentace:

1 Posloupnosti Posloupnost – v běžném životě zaznamenáváme údaje v určitých časových okamžicích. Registrační přístroje dodávají sérii čísel. Čísla závisí na okamžiku, kdy byla zaznamenána – tj. závisí na pořadí. Může- me je zapisovat do tabulky, nebo např. : Kde ti jsou časové okamžiky, kdy byly údaje a zaznamenány. Jsou-li časové intervaly mezi měřeními stejné (nebo na jejich velikosti nezáleží), můžeme zápis zkrátit na Podobných situací se v praxi vyskytuje mnoho (měření teploty, zazname- návání výše vkladu na účtu každý den apod.). Potřeba matematického aparátu pro práci s podobnými údaji je více než zřejmá. Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Posloupnosti Definice 8. Zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny A f : N → A nazýváme posloupností. Pokud je A číselná množina, nazýváme podle ní posloupnost celou, racionální, reálnou nebo komplexní. Místo f (n) obvykle píšeme a n. Celou posloupnost zapisujeme obvykle nebo zkráceně Tento zápis značí, že indexy n postupně probíhají všechna přirozená čísla (od jedničky do nekonečna). Místo n lze samozřejmě použít i li- bovolné jiné písmeno. Lze samozřejmě zavést i konečnou posloupnost jako zobrazení

3 Posloupnosti Například přiřadíme-li každému přirozenému číslu jeho převrácenou hodnotu, získáme posloupnost Definice 10. Říkáme, že posloupnost a n je rostoucí, ostře rostoucí, klesající, ostře klesající, pokud pro všechna přirozená n platí a n ≤ a n+1, resp. a n a n+1. Všechny tyto typy posloupností se souhrnně nazývají monotónní. V literatuře se uvádějí i názvy neklesající, rostoucí, nerostoucí, klesající. Definice 9. Říkáme, že posloupnost a n je konstantní,pokud pro všechna přirozená n platí a n = a n+1.

4 Monotónní posloupnosti Posloupnosti lze zaznamenat i do grafu. Na vodorovnou osu obvykle vy- nášíme přirozená čísla (N), na osu svislou pak prvky množiny A (hodnoty). V následujícím grafu jsou zaneseny příklady monotónních posloupností: Ostře klesající Ostře rostoucí

5 Monotónní posloupnosti Posloupnosti lze zaznamenat i do grafu. Na vodorovnou osu obvykle vy- nášíme přirozená čísla (N), na osu svislou pak prvky množiny A (hodnoty). V následujícím grafu jsou zaneseny příklady monotónních posloupností: Klesající Rostoucí Konstantní

6 Monotónní posloupnosti Příklad Zjistěte, zda posloupnost je monotónní a pokud ano, jakého typu. Je nutno zjistit, jaký vztah mezi sebou mají členy a n a a n+1 pro libovolné přirozené n. Porov- náme tedy dva sousední členy (pro libovolné n): Jednoduchým výpočtem jsme zjistili, že pro libovolné n platí a n < a n+1, což znamená, že posloupnost je ostře rostoucí:

7 Monotónní posloupnosti Příklad Zjistěte, zda následující posloupnosti jsou monotónní a pokud ano, jakého typu:

8 Omezené posloupnosti Definice 11. Posloupnost nazýváme omezenou, jestliže tedy, pokud lze všechny její členy uzavřít mezi nějaké dvě konstanty. Posloupnost toto nesplňující naz. neomezená. Posloupnosti splňující jen jednu z nerovností naz. omezené zdola resp. shora

9 Omezené posloupnosti Příklad Zjistěte, zda je následující posloupnost omezená: Je nutno zjistit, zda je možné libovolný člen a n uzavřít mezi –K a K. Zkoumáme horní a dolní „uzávěru“ zvlášť : Platí pro libovolné kladné K a přirozené n. Zde není problém. Lze zvolit takové kladné K, aby nerovnice byla splněna pro každé n? Nelze! Rovnici lze splnit pouze pro konečný počet přirozených čísel. Posloupnost proto není omezená.

10 Omezené posloupnosti Příklad Zjistěte, zda následující posloupnosti jsou omezené:

11 Operace s posloupnostmi Definice 12. Buďte a n, b n číselné posloupnosti. Potom součet, rozdíl, náso- bek a podíl a n a b n nazveme posloupnosti utvořené následovně: Jsou-li posloupnosti a n, b n rostoucí (klesající), pak i jejich součet je ros- toucí (klesající). DÚ Dokažte předchozí tvrzení. Rozmyslete si, zda podobné tvrzení platí i pro rozdíl, součin a podíl posloupností.

12 Rekurentně zadané posloupnosti Určit posloupnost znamená určit její libovolný člen a n. To lze udělat v zá- sadě dvěmi způsoby. Buďto člen explicitně předepsat (a n =n 2 -2n+1), nebo zkonstruovat n-tý člen za pomoci již známých předchozích členů. Např.: Ekvivalence zápisů první posloupnosti je zřejmá, ekvivalenci zápi- sů druhé posloupnosti dokážeme matematickou indukcí: Pro první člen ekvivalence platí, předpokládáme-li, že platí pro n-tý člen, prokažme platnost i pro (n+1)-tý člen:

13 Rekurentně zadané posloupnosti Příklad Kolik nejméně tahů je třeba vykonat pro přerovnání Hanoiských věží s n disky? Označme M n nejmenší možný počet tahů pro n disků. Zřejmě M 1 = 1. To není zajímavé, prozkoumejme případ, kdy n > 1. Abychom mohli přemístit největší disk na další kolík, je třeba nejprve přemístit n – 1 disků na jiný kolík. K tomu potřebujeme M n-1 tahů. Pak jeden tah spotřebujeme na pohyb největšího disku a následuje dalších M n-1 tahů, kdy přemísťujeme menší disky zpět na největší. Dohromady tedy 2M n tahů. Ale již jsme ukázali, že a tedy platí, že M n = 2 n -1.

14 Aritmetická posloupnost Definice 13. Buď (a n ) n=1 ∞ číselná posloupnost reálných čísel, pro kterou platí Pak se (a n ) n=1 ∞ nazývá aritmetická a číslo d diference této posloupnosti. Všechny členy aritmetické posloupnosti jsou určeny prvním členem a dife- rencí pomocí vztahu a n = a 1 + (n-1) x d. Známe-li libovolný člen posloupnosti (r-tý), pak každý jiný (s-tý) lze vypočí- tat vztahem a s = a r + (s-r) x d.

15 Aritmetická posloupnost Karl Friedrich Gauss Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti lze vypočítat pomocí vzorce Příklad Určete všechny aritmetické posloupnosti (a n ) n=1 ∞ takové, že pro součet prvních n členů platí S n = 7n 2 – 3n. Pro n = 1 je s 1 = a 1 dle vztahu pro součet prvních n členů a dle zadaného vztahu s n = 4. Tedy a 1 = 4. Pro n = 2 je S 2 = a 1 + a 2, dle zadaného vztahu s 2 = 22, tj. 4 + a 2 = 22 čili a 2 = 18. Proto d = a 2 – a 1 = 14. Hledaná řada je

16 Geometrická posloupnost Definice 14. Buď (a n ) n=1 ∞ číselná posloupnost reálných čísel, pro kterou platí Pak se (a n ) n=1 ∞ nazývá geometrická a číslo q kvocient této posloupnosti. Všechny členy geometrické posloupnosti jsou určeny prvním členem a kvocientem pomocí vztahu a n+1 = q n x a 1. Součet prvních n členů geom. posloupnosti (q ≠ 1) spočítáme dle vzorce DÚ Dokažte mat. indukcí

17 Zkrácené psaní součtů a součinů Pro přehlednost a zkrácení zápisu se většinou používají symboly tato velká řecká písmena (sigma, pí) se v daném výrazu čtou jako suma a produkt. S jejich pomocí se zkracují zápisy součtů a součinů následovně: horní mez dolní mez horní mez dolní mez sčítací index součinový index

18 Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklady na zápis sum a produktů

19 Zkrácené zápisy součtů a součinů Občas bude nutné sčítat od jiného indexu než od 1, proto lze trochu obecněji psát Dále se formálně definuje, že v případě, kdy horní mez sumy/produktu je menší než dolní (p > n), pak

20 Zkrácené zápisy součtů a součinů V dolní mezi lze udat dodatečné podmínky, například Sčítací resp. součinový index lze posunout, což znamená operaci

21 Zkrácené zápisy součtů a součinů Dále platí: Prohození pořadí sčítání odpředu dozadu Asociativní zákon Distributivní zákon

22 Zkrácené zápisy součtů a součinů Dále platí: roznásobení konstanta dovnitř Závorka je zbytečná Asociativní zákon

23 Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklady posunutí sčítacích indexů (a mezí): DÚ Poslední krok dokaže matematickou indukcí

24 Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklad Určete pro libovolné n hodnotu součtu Jak na toto snadno přijít? Dosaďme k = 0 Dosaďme k = -2

25 Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklad Určete pro libovolné n hodnotu součtu

26 Zkrácené zápisy součtů a součinů Příklad Buď q libovolné reálné, n libovolné přirozené číslo. Ukažte, že platí Odtud po dosazení Z tohoto vzorce je ihned zřejmý součet prvních n členů geometrické posloupnosti.

27 Shrnutí Posloupnost je zobrazení z přirozených čísel do množiny A Posloupnost může být rostoucí, ostře rostoucí, klesající, ostře klesající nebo konstantní – zkráceně monotónní Posloupnost může být omezená nebo neomezená Posloupnosti lze sčítat, odčítat, násobit a dělit po členech Posloupnost lze zadat buď explicitně nebo rekurentně Zvláštní případy posloupností jsou aritmetická a geometrická Součty a součiny lze zkráceně zapisovat pomocí symbolů Σ a π


Stáhnout ppt "Posloupnosti Posloupnost – v běžném životě zaznamenáváme údaje v určitých časových okamžicích. Registrační přístroje dodávají sérii čísel. Čísla závisí."

Podobné prezentace


Reklamy Google