Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Přednáška 10 Určitý integrál Matematika.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Přednáška 10 Určitý integrál Matematika."— Transkript prezentace:

1 Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Přednáška 10 Určitý integrál Matematika II. KIG / 1MAT2

2 O čem budeme hovořit: • Obsah plochy pod grafem funkce • Definice Newtonova určitého integrálu • Vlastnosti určitého integrálu • Nevlastní integrály

3 Obsah plochy pod grafem funkce

4 Jak vypočítat plochu pod grafem funkce? Základní idea je jednoduchá: zjistíme, jakou vlastnost má obsah pod grafem funkce, považujeme-li ho za funkci horní meze. Tuto funkci označme symbolem F(x).

5 Jaký je význam této formule? To ale znamená, že funkce F(x) je primitivní funkcí k funkci f(x), tedy platí: Obsah P plochy pod grafem funkce f(x) je pak rozdíl funkčních hodnot funkce F(x), tedy platí:

6 Definice Newtonova určitého integrálu

7 Definice Nechť funkce f(x) je spojitá na uzavřeném intervalu a má v otevřeném intervalu (a, b) primitivní funkci (neurčitý integrál) F(x). Pak budeme „určitým integrálem funkce f(x) od a do b“ nazývat číslo

8 Příklady Proč při výpočtu určitého integrálu nezáleží na výběru primitivní funkce funkce F(x)?

9 Pozor na takovéto situace! Proč je následující výpočet nesprávný? Jak interpretovat velikosti ploch v tomto příkladu?

10 Vlastnosti určitého integrálu

11 Linearita určitého integrálu Má-li funkce v intervalu určitý integrál, budeme říkat, že je integrovatelná. Ve všech následujících větách se předpokládá, že funkce jsou v příslušných intervalech integrovatelné.

12 Záměna mezí Zaměníme-li v určitém integrálu horní a dolní mez, integrál „změní znaménko“. Důsledek:

13 Aditivita integrálu vzhledem k mezím Je-li číslo c z otevřeného intervalu (a, b), pak platí: Příklad:

14 Nerovnosti mezi integrály Platí-li pro funkce f(x)  g(x) v intervalu, pak pro integrály platí: Důsledkem je pak tvrzení: Integrál z nezáporné funkce je nezáporný.

15 Střední hodnota funkce na intervalu Střední hodnotou spojité funkce f(x) na uzavřeném intervalu nazýváme takové číslo c, pro které platí:

16 Příklad Rychlost volného pádu je dána vztahem v = g.t. Střední hodnotu rychlosti (průměrnou rychlost) na časovém intervalu vypočteme takto:

17 Nevlastní integrály

18 Základní představy Jak se bude chovat integrál, když budeme měnit jeho horní mez?

19 Nevlastní integrály 1. druhu Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu < a, +  ) a má v intervalu (a, +  ) primitivní funkci. Pak nevlastním integrálem prvního druhu budeme nazývat limitu: Jestliže je limita vlastní (je to reálné číslo), říkáme, že integrál konverguje, jestliže je limita nevlastní či neexistuje, říkáme, že integrál diverguje.

20 Poznámka Analogicky můžeme definovat: Nevlastní integrál „od -  do +  “ pak můžeme chápat jako součet dvou již definovaných integrálů:

21 Nevlastní integrály 2. druhu Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu < a, b ), má v intervalu (a, b ) primitivní funkci a platí Podobně definujeme analogické integrály. Pak nevlastním integrálem druhého druhu budeme nazývat limitu:

22 Příklady integrál konverguje integrál diverguje

23 Co je třeba znát a umět? • Formuli pro výpočet určitého integrálu, • význam určitého integrálu, • nevlastní integrály.

24 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředí Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Přednáška 10 Určitý integrál Matematika."

Podobné prezentace


Reklamy Google