Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace © 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. ZS – 2010/2011 reg-3 - l 10. 3.1.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace © 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. ZS – 2010/2011 reg-3 - l 10. 3.1."— Transkript prezentace:

1 Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace © Ing. Václav Rada, CSc. ZS – 2010/2011 reg-3 - l

2 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY TEORIE ŘÍZENÍ … „druhá část“ tématu předmětu pokračuje …. © VR - ZS 2010/2011 A … oblastí matematických „pomůcek“ nezbytných k řešení příslušných problémů.

3 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A Principem je náhrada zápisu časové derivace funkce jedné pro- měnné v diferenciálních rovnicích pomocí operátoru D a to ve tvaru, který není součinem: f´ = D f (t) kde D... je lineární diferenciální operátor. Formálně tato úprava vypadá následovně …

4 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A Pro diferenciální rovnici (zachycující časově proměnnou skuteč- nost systému prezentované jednoduchou rovnicí) ve tvaru: y“ + a * y´ + b * y = f nebo d 2 y / dt 2 + a * dy / dt + b * y = f (t)

5 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A bude zápis pomocí operátoru D ve tvaru: (D 2 + a * D + b ) * y = f a řešení nespočívá ve vydělení funkce mnohočlenem v závorce.

6 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A Pokud budou derivace nahrazeny součtem nekonečně mnoha tlumených funkcí – exponenciálních ve tvaru: f (t) = ∫ F (p) * e at * dp kde a... konstanta pak operátor D bude představovat násobení konstantou a.

7 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A Pak lze také vyjádřit derivace časové funkce pomocí integrálu závislého na parametru p vztahem: f (t) = ∫ F (p) * e -pt * dp a tedy následnou derivací za integrálem přejde do tvaru: f´(t) = D f (t) = ∫ p * F (p) * e -pt * dt.

8 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A Za podmínek, že bude pro funkci f (t) platit (musí splnit tyto podmínky): f (t) … je jednoznačná a pro t < 0 identicky nulová (v čase před t = 0 jakoby neexistovala) f (t)... je v každém konečném intervalu po částech hladká (spojitá) f (t)... je exponenciálního tvaru, tzn., že existuje takové číslo (hranice konvergence) c > 0 pro které platí: e -pt * f (t) < M kde M... je konečná kladná konstanta a dále, že následujíc integrál existuje pro všechna p, pro které platí: Re p > c.

9 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A Za uvedených podmínek platnosti a existence lze všechny funkce významné v technické praxi vyjádřit ve tvaru: f (t) = ∫ F (p) * e -pt * dt přičemž tento tvar lze zapsat i pomocí tzv. Laplaceova obrazu funkce: F (p) = L [ f (t) ] = ∫ f (t) * e -pt * dt = f (t) * e -pt * dt.

10 Za splnění výše uvedených podmínek platí, že Laplaceova transformace splňující uvedené podmínky je jednojednoznačná a že každé funkci f(t) náleží jediný obraz F(p) a naopak. F(p) f(t) Laplaceova transformace je tedy přiřazením obrazu F(p) každé funkci f(t). Aplikace je možná pouze pro určité systémy a za určitých pod- mínek (přesně definovaných). Pro běžnou praxi jsou knižní formou k dispozici tabulky vzájemného převodu různých funkcí originálu f(t) a jeho Laplaceova obrazu F(p). T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A

11 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 Definice Laplaceova obrazu funkce Nechť funkce f (t) je takovou komplexní funkcí jedné reálné proměnné t, že integrál na pravé straně konverguje alespoň pro jedno komplexní číslo p. Pak funkce f (t) je nazývána předmětem nebo originálem a funkce F (p) je definována rovnicí: F (p) = f (t) * e -pt * dt a je nazývána Laplaceovým obrazem originálu funkce f (t).

12 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A Důležité vlastnosti - funkcí a jejich obrazů patří: linearita transformace – pro: f (t) = a 1 * f 1 (t) + a 2 * f 2 (t) + a 3 * f 3 (t) a n * f n (t) existují jednotlivé obrazy a tedy i: F(p) = a 1 * F 1 (p) + a 2 * F 2 (p) + a 3 * F 3 (p) a n * F n (p) a platí to i obráceně pro zpětnou Laplaceovu transformaci.

13 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A Obraz funkce násobené konstantou – pro: f 1 (t) = c * f (t) pro obraz F(p) bude platit: F 1 (p) = L [ c * f (t) ] = c * F(p)

14 Obraz posunuté funkce – pro: f 1 (t) = 0 kdyžt 0, pak bude: f 1 (t) = f (t – d ) pro t ≥ d to znamená, že funkce f 1 (t) je posunuta o čas d vpravo (směrem rostoucího času) a …. T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 A

15 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 …. její obraz bude: F 1 (p) = L [ f (t – d) ] = f (t - d) * e -pt * dt = = e -pd * f (u) * e -pu * du neboli F 1 (p) = e -pd * F (p) pro posun vlevo platí: F 2 (p) = e pd * F (p) - e -pd * f (t) * e -pt * dt

16 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 Obraz derivace funkce – pro: F (k) (p) = L [df (k) (t) / dt k ] = p k * F (p) - p i * f (k-i-1) (+0) Věta o počáteční hodnotě – pro: f (+0) = f (t) = p * F (p) Věta o konečné hodnotě – pro: f (∞) = f (t) = p * F (p)

17 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 Obraz integrálu funkce f (t) pro obraz F (p) – pak pro zpětnou transformaci bude platit: L [f (t) * dt ] = F (p) / p konvoluce obrazů – pro F 1 (p) a F 2 (p), které jsou obrazy funkcí f 1 (t) a f 2 (t) platí: F (p) = L [ f 1 (t) * f 2 (t) ] = F 1 (p) * F 2 (p) (kde !!! znak * znamená konvoluci).

18 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 Zpětná Laplaceova transformace je definována vztahem: f (t) = (1 / 2*π*j) * F (p) * e pt * dp = Res [ F (p i ) * e pit ] kde p = p i... jsou póly funkce F (p) Res [ F (p i ) * e pit... je residuum pólu p i. Integrace musí být provedena v komplexní rovině a integrační cesta G musí obcházet (obepínat) všechny póly.

19 T- MaR KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY Laplaceova transformace © VR - ZS 2009/2010 Je-li funkce F (p) racionální, ryze lomená, pak platí její rozklad na podíl mnohočlenů v čitateli a ve jmenovateli – pro m ≤ n : F (p) = = a k tomu je časová funkce (lze ji určit L´Hopitalovým pravidlem) jako rozvojový vzorec: f (t) = * e pit

20 T- MaR © VR - ZS 2010/2011 … a to by bylo zatím vše KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY

21 T- MaR © VR - ZS 2010/2011 Témata KYBERNETIKA – TEORIE A PRINCIPY


Stáhnout ppt "Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace © 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. ZS – 2010/2011 reg-3 - l 10. 3.1."

Podobné prezentace


Reklamy Google