Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

MATEMATIKA I. Literatura. Klíč a kolektiv: Matematika I pro strukturované studium Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky pro strukturované.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "MATEMATIKA I. Literatura. Klíč a kolektiv: Matematika I pro strukturované studium Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky pro strukturované."— Transkript prezentace:

1 MATEMATIKA I

2 Literatura. Klíč a kolektiv: Matematika I pro strukturované studium Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky pro strukturované studium Na opakování střední školy: Klíč, Hapalová: Úvod do studia matematiky na VŠCHT

3 Úvodní poznámky Definice – zavádí nové pojmy Věta – říká, jaké vlastnosti zavedené pojmy mají a jak spolu souvisí. Jazyk matematiky používá definice a věty. Logické operátory: Formulace definic a vět jsou složené výroky. Vznikají z jednoduchých výroků pomocí logických operátorů. Měla by být vždy dokázána, to ale budeme zřídka dělat

4 Číselné množiny Přirozená čísla … 1, 2, 3, 4, atd., označují se N Celá čísla … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, atd., označují se Z Racionální čísla … zlomky, když provedeme dělení, dostaneme desetinný rozvoj buď ukončený nebo periodický, označují se Q Obecný tvar Iracionální čísla … odmocnina ze dvou, pí, logaritmy …když je vyjádříme desetinným číslem, dostaneme neukončený a neperiodický rozvoj, označují se I Reálná čísla, označujeme je R, Komplexní čísla, označují se C, jsou tvaru z=a+ib, kde i je imaginární jednotka,

5 Omezené a neomezené množiny Číselná osa – obraz reálných čísel, každému bodu odpovídá jedno reálné číslo. nevlastní reálná čísla, pouze symboly … Intervaly: uzavřené, otevřené, polouzavřené:, (a, b), Intervaly omezené …, (a, b), 0 pro každé reálné číslo pak platí a neomezené: omezený shoraomezený zdola

6 D: Číselná množina je omezená, když je podmnožinou nějakého omezeného intervalu. Je omezená zdola, jestliže existuje takové číslo K, že pro všechny její prvky platí x>K. Je omezená shora, jestliže je poslední nerovnost opačná. Př.:je omezená je omezená zdola je omezená shora je podmnožinou (0, 7) K=0 K=3

7 Funkce D: Je-li M podmnožina reálných čísel, pak reálná funkce jedné reálné proměnné je předpis f, který každému x z M přiřadí právě jedno reálné číslo y. Píšeme y=f(x). x … nezávislá proměnná y … závislá proměnná Předpis f je možno zadat různě, pro nás to bude hlavně nějaký analytický výraz – vzorec. Na jménu proměnných nezáleží, f(x) = x - 1 je stejná funkce jako f(t) = t - 1.

8 Obor hodnot je ta podmnožina reálných čísel na níž se definiční obor zobrazí, označuje se H(f). Je to tedy množina: Je vždy na ose y!! Graf funkce je podmnožina roviny … obvykle křivka, která vznikne z bodů (x, f(x)). Tedy: Definiční obor funkce je ta množina M, pro nás konkrétně množina těch x, pro něž má vzorec smysl, označuje se D(f). Konkrétně: ve jmenovateli zlomku nesmí být nula, druhá odmocnina a logaritmus jsou definovány jen pro kladná x atd.

9 0 y x D(f) x f(x) graf f H(f) Kolmý průmět grafu na osu x je vždy definiční obor D(f) Kolmý průmět grafu na osu y je vždy obor hodnot H(f) Cíl dalšího snažení – vyšetřit co nejvíce vlastností funkce a nakreslit její graf.

10 Elementární funkce Jsou to funkce, z nichž se všechny ostatní tvoří: 1)konstantní funkce – f(x) = k, k je konstanta. D(f)=R, H(f)={k} x y k Její graf je přímka, rovnoběžná s osou x. Př.: f(x) = 2 f(x) = -1

11 2) lineární funkce –f(x) = ax + b, a,b jsou konstanty, D(f)=R, H(f)=R číslo b je úsek, který přímka vytíná na ose y, tj. hodnota funkce pro x=0. Číslo a je tzv. směrnice, což je tangenta směrového úhlu přímky. Její graf je přímka. Pro a=0 je to předchozí funkce. x y 0 b a= tg

12 kreslení přímky: ze dvou bodů pomocí směrnice Př.: y=3x x=0 y=-1x=1 y=2 2 y=3x tg =3

13 mocninná funkce – Její vlastnosti závisí na exponentu n … ať je n jakékoliv, je definována pro x >0. Záporné a lomené exponenty Př.:

14 Vzorce pro práci s mocninami: Př.: Zjednodušme:

15 Je třeba znát tvary mocninné funkce pro některá speciální n: obecně n sudéobecně, n liché x y 0 x y 0 parabola

16 x y 0 x y 0 obecně, p liché obecně, p sudé

17 obecně, n je lichéobecně, n je sudé x y 0 x y 0 rovnoosá hyperbola

18 Načrtněme grafy následujících funkcí:

19 logaritmická a exponenciální funkce Jejich vzájemný vztah, tj. definice logaritmu: logaritmická funkce x y a>1 a<1 a a

20 Pro a=10 … dekadický logaritmus … značí se log x Základní vlastnosti logaritmů: Př.: Pro a=e=2,817… (Eulerovo číslo) … přirozený logaritmus, značí se ln x

21 exponenciální funkce x y 0 1 a>1 a<1

22 Příklady: Každou exponenciální funkci je možno převést na přirozený základ takto: Proč? zlogaritmujeme rovnici přirozeným logaritmem použijeme vlastnost logaritmů co se týče mocnin odlogaritmujeme přirozeným logaritmem

23 goniometrické funkce ostrého úhlu V pravoúhlém trojúhelníku je: Uvažujeme-li orientovaný úhel, měříme ho v obloukové míře. c a b Její jednotka je jeden radián, je to úhel, k němuž přísluší oblouk délky 1. Vztah mezi stupni a radiány se vypočte trojčlenkou z úvahy: 1 + -

24 f(x)=sin x, D(f)=R, H(f)=, perioda je Jsou periodické. f(x)=cos x, D(f)=R, H(f)=, perioda je f(x)=tg x, f(x)=cotg x, Základní goniometrické vzorce, které se budou používat: Goniometrické funkce orientovaného úhlu.

25 absolutní hodnota Je definována takto: |x|= x když je x nezáporné - x když je x záporné a proto je vždy nezáporná! x y 0

26 signum neboli znaménkof(x)= sgn x, Je definována takto: sgn x= 1 pro x kladné 0 pro x=0 -1 pro x záporné D(f)=R, H(f)={-1, 0, 1} x 0 y 1

27 Operace s funkcemi Z elementárních funkcí se tvoří složitější výrazy sčítáním a odčítáním, násobením, dělením a skládáním. Mějme dvě funkce f a g s definičními obory D(f) a D(g). Potom: Součet (nebo rozdíl) funkcí f a g je funkce h=f+(nebo -)g, definovaná rovnicí h(x)=f(x)+(nebo -)g(x) Součin funkcí f a g je funkce k=f.g, definovaná rovnicí k(x)=f(x).g(x) Podíl funkcí f a g je funkce l=f/g, definovaná vztahem l(x)=f(x)/g(x) pro všechna x, pro něž se funkce g(x) nerovná nule.

28 Skládání funkcí, ozn. f o g, v podstatě znamená, že do funkce f dosadíme za její proměnnou jinou funkci g. Přesněji: Složená funkce s=f o g je definována vztahem s(x)=g(f(x)) Skládat lze libovolně mnoho funkcí. Neplatí tedy jasně f o g = g o f..

29

30 Je také třeba umět obrácený proces – poznat, ze kterých funkcí je ta daná složená. funkce je složená takto: 2-x funkce je složená takto: Aby byl logaritmus definován, musí být jeho argument kladný. Třetí odmocnina je kladná jen pro kladná x, čili D(f)=(0, ). Aby byla druhá odmocnina definována, musí být její argument nezáporný, tedy

31 funkce je složená takto: 1-2Bsin x funkce je složená takto:sin B 3x funkce je složená takto: 6x

32 Základní vlastnosti funkcí a) Osová a středová symetrie podle počátku– funkce sudé a liché Aby mohla být funkce sudá nebo lichá, musí mít především definiční obor D(f) souměrný podle počátku. Potom: D: Funkce je sudá, je-li její graf souměrný podle osy y. Funkce je lichá, je-li její graf souměrný podle počátku. y x 0 y x 0 sudá lichá

33 V: Funkce je sudá, právě když pro všechna x z D(f) platí f( - x)=f(x). Funkce je lichá, právě když pro všechna x z D(f) platí f( - x)= - f(x). y x 0 y x 0 -x x x Poznáme je podle grafu nebo ověříme podmínky.

34 D(f)=R sudá D(f)=R lichá D(f)=(0, ) … není souměrný podle počátku, nemůže být sudá ani lichá D(f)=R lichá

35 b)Monotonní funkce – jsou to rostoucí, neklesající, nerostoucí a klesající funkce. Rostoucí a klesající jsou tzv. ryze monotonní. D: Funkce je na množině M rostoucí, jestliže pro všechny dvojice x

36 Funkce je na množině M klesající, jestliže pro všechny dvojice x f(y). Funkce je nerostoucí, jestliže poslední nerovnost je neostrá (jsou to jakési schody dolů). y x 0 x y f(x) f(y) klesající y x 0 nerostoucí Monotonní funkce budeme poznávat z jejich grafu..

37 rostoucí klesající rostoucí klesající

38 c) Omezené funkce D: Funkce je omezená, je-li její obor hodnot H(f) omezená množina. Funkce je zdola resp. shora omezená, jestliže její obor hodnot H(f) je zdola resp shora omezená množina. y x 0 omezená y x 0 zdola y x 0 omezená shora H(f)

39 Omezenost funkce znamená, že její hodnoty nejdou do nekonečna. Omezenost zdola znamená, že její hodnoty nejsou záporné, v absolutní hodnotě nekonečné. Omezenost shora naopak že její hodnoty nejsou nekonečně veliké kladné. Př.: sin x, cos x, sgn x Př.: Není-li funkce nějak omezená, je neomezená. Př.:

40 Chovají se podobně jako sinus – na jistém úseku, který má délku periody, mají určitý průběh, a pak se pořád opakují. D: Funkce je periodická, existuje-li číslo nenulové číslo p (perioda) tak, že platí: Podobně jako sinus, který má všechny periody tvaru i obecně je perioda každé číslo Nejmenší z takových čísel p, existuje-li, se nazývá primitivní perioda. d) periodické funkce

41 Př.: Nakresleme funkci, která je definována všude, je periodická a má periodu 2 a v intervalu <0,2) má tvar f(x) = 1 - x. x y p 1 ´-1

42 Výpočet periody je složitá věc. V některých případech je možné použít následující větu: V: Má-li funkce f periodu p a g je taková funkce, že jde s f složit, pak funkce h(x)=g(f(x)) má také periodu p. Je-li a číslo různé od nuly, má funkce k(x)=f(a.x) periodu. Př.: Funkce f(x) = log(sin x) má stejně jako sinus periodu dvě pí. Př.: Funkce f(x) = cos 2x má periodu pouze pí (a = 2).

43 Prosté a inverzní funkce Funkce je prostá, jestliže má v různých bodech různé hodnoty. D: Funkce je prostá na množině M, jestliže pro každé dvojice čísel z množiny M platí: Poznáme ji tak, že každá rovnoběžka s osou y protíná její graf jen v jednom bodě. y x 0 y x 0 prostá není prostá

44 Prostotu funkce budeme konstatovat buď z obrázku, nebo pomocí následující věty: V: Funkce složená z prostých funkcí je prostá. Př.: x-1 je složená ze dvou prostých, je prostá D(f)=R 1+B je složená ze tří prostých, je prostá

45 D(f)=R – (-2) Není to složená funkce, je to podíl dvou elementárních … nemůžeme použít větu … museli bychom použít definici nebo nakreslit obrázek….

46 Je-li funkce f(x) prostá, je přiřazeno různým x různé y=f(x) to znamená, že i každému y přísluší jen jedno x, které se na něj zobrazí, tedy ten obrácený postup je také funkce – tak zvaná inverzní, označuje se,protože zobrazuje právě obráceně než funkce původní. 0 x D(f) x y=f(x) H(f) y y

47 D: Je-li funkce f na svém D(f) prostá, existuje k ní funkce inverzní, která se označuje a je definovaná vztahem Jestliže funkce f (x) zobrazuje svůj D(f) na H(f), inverzní funkce, protože funguje obráceně, zobrazuje H(f) na D(f) tj. jak jsme viděli, Konkrétně ji najdeme tak, že z rovnice y=f(x) vypočítáme to x, když to jde…. předchozí vztahy mezi definičními obory nám umožní vybrat tu pravou, když jich vyjde víc… je třeba umět základní inverzní vztahy

48 Takto vypočtená inverzní funkce má nezávisle proměnnou na ose y a graf stejný jako původní funkce f, jen se na něj je třeba dívat ze strany, od osy y. Aby mohla operovat s ostatními funkcemi, musí mít nezávisle proměnnou také na ose x. Přejmenujeme proto její proměnné – místo x píšeme y a opačně. Tím jakoby přehodíme osy – osu x dáme místo osy y a obráceně, čili se celá rovina otočí kolem osy 1. a 3. kvadrantu. Místo píšeme tedy Tato funkce, která má stejný vzorec ale proměnná se ale jmenuje x, má definiční obor na ose x a obor hodnot na ose y… Její graf je s grafem původní funkce kvůli přejmenování proměnných souměrný podle osy 1. a 3. kvadrantu.

49 Jednoduchý ilustrační příklad: Př.: Mějme funkci. Je prostá z obrázku, inverzní funkce existuje… a je to tedy ta, která má hodnoty záporné, tj. Z rovnice vypočteme x: Vypočtěme k ní inverzní funkci. x y 0D(f) H(f) vyšly dvě funkce Která z nich je ta naše?Protože je

50 Graf funkce je stejný jako graf f(x). je souměrný s grafem f(x) podle osy 1. a 3. kvadrantu. x y 0D(f) H(f) Přejmenujeme-li proměnné, graf funkce f(x)

51 Známé inverzní vztahy pro některé elementární funkce: Př.: Mějme funkci. Ad a) Aby byla druhá odmocnina definována, musí být její argument nezáporný, tedy Ad b) Funkce je složená takto: 3+x Tvoří ji tři prosté funkce, je tedy prostá. a) najděme její definiční obor b) zjistěme, jestli je prostá c) vypočtěme k ní inverzní funkci

52 Ad c) Musíme z rovnice vypočítat x. Tedy: Umocníme na druhou Po záměně proměnných

53 Př.: Mějme funkci. Ad a) Aby byl logaritmus definován, musí být jeho argument kladný, tedy Ad b) Funkce je složená takto: Tvoří ji tři prosté funkce, je tedy prostá.. a) najděme její definiční obor b) zjistěme, jestli je prostá c) vypočtěme k ní inverzní funkci

54 Ad c) Musíme z rovnice vypočítat x. Tedy: Po záměně proměnných odlogaritmujeme:

55 9. Cyklometrické funkce Jsou inverzní ke goniometrickým, které jsou periodické, tedy nejsou prosté…. a) arcsin x … arkussinus je inverzní k sinu v intervalu Je definována takto: Vlastnosti: Funkce je lichá a rostoucí. Hodnota arcsin y je prakticky řešení rovnice sin x=y nejblíže počátku. je protože sin x zobrazuje, vždy je zvolen vhodný interval, kde ta každá z nich prostá je.

56 sin x arcsin x Hodnoty počítáme ze vztahu tedy:

57 b) arccos x …. arkuskosinus, je inverzní ke kosinu v intervalu Je definována takto: Vlastnosti: Funkce není ani sudá, ani lichá a je klesající. Hodnota arccos y je zase řešení rovnice y=cos x, které je v intervalu Vztah mezi acsin x a arccos x je: je. Protože cos x zobrazuje interval, Plyne z tohoto vztahu pro sinus a cosinus:

58

59 c)arctg x … arkustangens … je inverzní k tangentě v intervalu Je definován takto: Vlastnosti: je. protože tg x zobrazuje,

60 Je to funkce lichá a rostoucí. Hodnota arctg y je řešení rovnice y=tg x nejblíže počátku.

61 d)arccotg x.. arkuskotangens … je inverzní ke kotangentě v intervalu. Je definována takto: Vlastnosti: je. protože cotg x zobrazuje,

62 Není ani sudá ani lichá, je klesající a pořád kladná. Hodnota arccotg y je řešení rovnice y=cotg x v intervalu. Vztah mezi arctg x a arccotg x je opět

63 Příklady: najděme definiční obor, rozhodněme, zda je funkce prostá a vypočtěme inverzní funkci. Je složená ze tří prostých funkcí je tedy prostá… uděláme inverzi po záměně proměnných

64 Je složená ze tří prostých funkcí je tedy prostá… uděláme inverzi po záměně proměnných

65 Je složená ze tří prostých funkcí je tedy prostá… uděláme inverzi po záměně proměnných

66 Je složená ze tří prostých funkcí je tedy prostá… uděláme inverzi po záměně proměnných

67 Posloupnosti D.: Jestliže přiřadíme každému přirozenému číslu n reálné číslo, potom čísla tvoří posloupnost. ….n-tý člen posloupnosti, n … index členu Zápis symbolem Je to vlastně funkce, jejíž definiční obor jsou všechna přirozená čísla a obor hodnot je množina čísel. N-tý člen je vlastně funkční předpis této funkce,

68 Jako funkce má posloupnost některé funkční vlastnosti – může být rostoucí, klesající, omezená, periodická. Př.:je posloupnost klesající a omezená. je posloupnost rostoucí a zdola omezená. je posloupnost periodická s periodou 2 a omezená.

69 Aritmetická posloupnost: Př.: Geometrická posloupnost Př.:


Stáhnout ppt "MATEMATIKA I. Literatura. Klíč a kolektiv: Matematika I pro strukturované studium Heřmánek a kolektiv: Sbírka příkladů z matematiky pro strukturované."

Podobné prezentace


Reklamy Google