Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Rovnice roviny Normálový tvar rovnice roviny Nechť je dána rovina α procházející bodem M = [x M, y M, z M ] rovnoběžně se dvěma lineárně nezávislými (nejsou.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Rovnice roviny Normálový tvar rovnice roviny Nechť je dána rovina α procházející bodem M = [x M, y M, z M ] rovnoběžně se dvěma lineárně nezávislými (nejsou."— Transkript prezentace:

1 Rovnice roviny Normálový tvar rovnice roviny Nechť je dána rovina α procházející bodem M = [x M, y M, z M ] rovnoběžně se dvěma lineárně nezávislými (nejsou navzájem rovnoběžné a jsou oba nenulové) vektory u, v. Pak nenulový vektor n kolmý k rovině α je určen vektorovým součinem vektorů u, v, tj. n = u  v. Vektor n nazýváme normálovým vektorem roviny α. Je-li bod X libovolný bod roviny α, pak platí, že vektory n a MX jsou na sebe kolmé, tj. platí MX · n = 0, Uvedená rovnice je normálovým tvarem rovnice roviny .

2 Obecná rovnice roviny Dosadíme-li do normálového tvaru rovnice roviny souřadnice bodů M = [x M, y M, z M ], X = [x, y, z] a souřadnice normálového vektoru n = (a, b, c), pak dostáváme MX · n = 0, (X – M) · n = 0, (x - x M, y - y M, z - z M ) · (a, b, c) = 0, ax + by + cz – (ax M + by M + cz M ) = 0. Označíme-li d = – (ax M + by M + cz M ), získáváme obvyklý tvar obecné rovnice roviny, tj. ax + by + cz + d = 0. Nezapomeňme připomenout, že musí platit (a, b, c) ≠ (0, 0, 0).

3 Úsekový tvar rovnice roviny Je-li d ≠ 0, tj. neprochází-li rovina počátkem soustavy souřadnic, pak ji lze určit pomocí úseků, které vytíná na souřadnicových osách (této skutečnosti jsme použili při konstrukci stop roviny v Mongeově promítání). Úsekový tvar rovnice roviny odvodíme z obecného tvaru rovnice roviny. Dle stanoveného předpokladu je d ≠ 0, proto můžeme obecný tvar rovnice roviny vydělit číslem d. Potom píšeme ax + by + cz + d = 0, Je-li dále a · b · c ≠ 0, můžeme psát Poté následným dosazením dostáváme rovnici roviny v úsekovém tvaru v níž čísla A, B, C určují úseky, v nichž rovina protíná souřadnicové osy.

4 Je-li některé číslo z trojice a, b, c rovno nule, pak je rovina rovnoběžná s příslušnou souřadnicovou osou. Např. je-li b = 0 a současně a · c ≠ 0, je daná rovina rovnoběžná s osou y a její úsekový tvar rovnice je Vektorová rovnice roviny Nechť je dána rovina, která prochází bodem M = [x M, y M, z M ] a která je rovnoběžná se dvěma lineárně nezávislými vektory u = (u 1, u 2, u 3 ) a v = (v 1, v 2, v 3 ). Pak libovolný bod X = [x, y, z] roviny vytvoří s bodem M vektor MX, který je lineární kombinací vektorů u, v. Můžeme tedy psát, že MX = X – M = t  u + s  v, kde t, s jsou reálná čísla. Uvedená rovnice je vektorovou rovnicí roviny.

5 Parametrické rovnice roviny Vyjádříme-li z vektorové rovnice roviny bod X, pak platí, že X = M + t u + s v, t, s  R. Dosazením souřadnic vektorů u, v a také souřadnic bodu M dostáváme, že pro souřadnice libovolného bodu X roviny platí x = x M + t u 1 + s v 1, t, s  R. y = y M + t u 2 + s v 2 z = z M + t u 3 + s v 3 Poznámka: Vyloučením reálných parametrů t, s z parametrického vyjádření roviny dostaneme obecný tvar rovnice roviny. Příklad 2.18: Rovina  je dána třemi nekolineárními body A = [2, 1, 2], B = [3, 2, 1] a C = [-5, 1, -3]. Zapište normálový, obecný, úsekový, vektorový a parametrický tvar její rovnice. AB = B – A = (3 – 2, 2 – 1, 1 – 2) = (1, 1, – 1) AC = C – A = (– 5 – 2, 1 – 1, – 3 – 2) = (– 7, 0, – 5)

6

7 Rovnice přímky Vektorová rovnice přímky Uvažujme přímku p procházející bodem A = [x A, y A, z A ] rovnoběžně s nenulovým vektorem a = (a 1, a 2, a 3 ). Vektor a nazýváme směrovým vektorem přímky p. Libovolný bod X= [x, y, z] ležící na přímce p určí společně s bodem A vektor AX, který musí být násobkem vektoru a. Proto můžeme psát AX = t · a, kde t je reálné číslo, tzv. parametr bodu X. Parametrické vyjádření přímky Přepíšeme-li vektorovou rovnici přímky pomocí bodů A, X, dostáváme X - A = t · a, t  R, X = A + t · a, t  R. Dosazením souřadnic bodů A, X a vektoru a do uvedené rovnice dostaneme trojici tzv. parametrických rovnic přímky x = x A + t · a 1, t  R y = y A + t · a 2 z = z A + t · a 3.

8 Poznámka: Různé body přímky p jsou od sebe odlišeny jinou hodnotou parametru t  R. Poznámka: Směrový vektor přímky p není určen jednoznačně. Je-li vektor a směrovým vektorem přímky, pak je jím i vektor s = k · a, kde k ≠ 0 a k  R. Kanonický tvar rovnice přímky Jsou-li všechny tři souřadnice směrového vektoru přímky nenulová čísla, můžeme z trojice parametrických rovnic přímky vyjádřit parametr t  R, čímž získáme kanonický tvar rovnice přímky Poznámka: Tento systém rovnic je ekvivalentní parametrickým rovnicím přímky.

9 Přímka jako průsečnice rovin Přímka p může být také určena jako průsečnice dvou rovin , . Potom její rovnice je určena soustavou obecných rovnic rovin , , tj.  : a  x + b  y + c  z + d = 0,  : a  x + b  y + c  z + d = 0. Uvedená soustava dvou rovnic pro tři neznámé má nekonečně mnoho řešení (ale jen v případě, že roviny nejsou rovnoběžné). Řešení soustavy rovnic závisí na jednom parametru. Odtud pak dostáváme parametrické vyjádření přímky. Poznámka: Směrový vektor a přímky p je kolmý na normálové vektory rovin , , proto může být určen jako jejich vektorový součin a = n   n  = = n 1  n 2.

10 Příklad 2.19: Přímka p je dána svými dvěma body A = [1, -2, -1] a B = [4, -3, 2]. Napište vektorový, parametrický a kanonický tvar její rovnice.

11 Polohové úlohy Vzájemná poloha dvou přímek Nechť jsou ve trojrozměrném euklidovském prostoru E 3 dány dvě přímky p, q. Každou z přímek p, q určíme bodem a směrovým vektorem. Potom rovnice daných přímek jsou tvaru p: X = P + t u, t  R, q: Y = Q + r v, r  R. Vzájemnou polohu přímek p, q lze posoudit na základě vlastností vektorů u, v a PQ. Klasifikace vzájemné polohy přímek p, q je přehledně zapsána v následujícím schématu.

12 Vzájemná poloha dvou přímek u, v kolineární vektory u, PQ kolineární vektory totožné přímky u, PQ nekolineární vektory různé rovnoběžky u, v nekolineární vektory u, v a PQ lineárně závislé různoběžky u, v a PQ lineárně nezávislé mimoběžky

13 Vzájemná poloha dvou rovin Nechť jsou ve trojrozměrném euklidovském prostoru E 3 dány dvě roviny , . Každou z rovin ,  určíme bodem a normálovým vektorem. Potom rovnice daných rovin v normálovém tvaru jsou  : AX · n  = 0,  : BY · n  = 0. Vzájemnou polohu rovin ,  lze posoudit na základě vlastností vektorů n , n  a AB, kde AB = B – A, přitom bod A je bod určující rovinu  a bod B je bod určující rovinu . Klasifikace vzájemné polohy dvou rovin ,  je přehledně zapsána v následujícím schématu.

14 Vzájemná poloha dvou rovin n , n  kolineární vektory n  ·AB = 0 totožné roviny n  ·AB ≠ 0 různé rovnoběžné roviny n , n  nekolineární vektory různoběžné roviny

15 Vzájemná poloha přímky a roviny Nechť je ve trojrozměrném euklidovském prostoru E 3 přímka p dána vektorovou rovnicí p: X = A + t u, t  R, a rovina  normálovým tvarem rovnice roviny, tj.  : BX · n  = 0. O vzájemné poloze přímky p a roviny  lze rozhodnout na základě skalárního součinu u · n  směrového vektoru u přímky p a normálového vektoru n  roviny  a případně i vektoru AB „příčky“ AB. Klasifikace vzájemné polohy přímky a roviny je uvedena v následujícím diagramu.

16 Vzájemná poloha přímky a roviny u · n  = 0 AB · n  = 0 přímka p leží v rovině  AB · n  ≠ 0 přímka p je rovnoběžná s rovinou  a neleží v ní u · n  ≠ 0 přímka p a rovina  jsou různoběžné

17 Příklad 2.20: Určete obecnou rovnici roviny , která je kolmá k přímce p: x = t, t  R, a y = 5 – 4t z = 5 – t prochází bodem A = [-2, -7, -13]. Příklad 2.21: Určete souřadnice průsečíku přímky p: x = 3 – t, t  R, s rovinou y = 4t z = t  : 5x + y – z + 8 = 0.

18

19 Metrické úlohy Vzdálenost dvou bodů A, B Vzdálenost dvou bodů A, B v trojrozměrném euklidovském prostoru E 3 je určena velikostí vektoru AB, tj. platí pro ni vzorec kde A [x A, y A, z A ] a B [x B, y B, z B ]. Vzdálenost bodu A od přímky q Vzdálenost bodu od přímky je možné vypočítat dvěma různými způsoby: a) Bodem A proložíme rovinu ρ kolmou na přímku q a určíme průsečík M přímky q s rovinou ρ (analogickým způsobem jsme v Mongeově promítání řešili základní úlohu „najít vzdálenost bodu od přímky“). Pro hledanou vzdálenost bodu A od přímky q pak platí d (A, q) = |AM|.

20 b) Vzdálenost bodu A od přímky q lze vypočítat také pomocí vektorového počtu, resp. pomocí geometrických vlastností vektorového součinu. Předpokládejme, že přímka q je určena bodem B a směrovým vektorem u. Body A, B určí vektor AB. Vektory AB a u jsou nekolineární a tedy určují rovnoběžník ABCD. Plocha rovnoběžníku ABCD o stranách AB a u je Odtud pro vzdálenost bodu A od přímky q dostáváme vztah Vzdálenost bodu A od roviny  Konstruktivní postup řešení úlohy (viz řešení úlohy v Mongeově promítání) vede k určení paty Q kolmice k vedené z bodu A k rovině . Analogickým způsobem budeme postupovat i při výpočtu vzdálenosti bodu A od roviny .

21 Tj. bodem A [x A, y A, z A ] vedeme kolmici k k rovině . Směrovým vektorem u kolmice k je normálový vektor n  roviny , tedy u = n . Pak parametrické rovnice kolmice k jsou tvaru x = x A + t a y = y A + t b z = z A + t c, kde t  R a kde a, b, c jsou souřadnice normálového vektoru n  roviny . Určíme průsečík Q [x Q, y Q, z Q ] kolmice k s rovinou  dosazením z parametrického vyjádření přímky do obecné rovnice roviny, tj. Bodu Q odpovídá parametr t 0 a tak jej vyjádříme z uvedené rovnice a dostáváme pro něj vztah

22 Vzdálenost bodu A od roviny  je určena vzdáleností bodů A, Q. Proto určíme souřadnice vektoru AQ, tj. odtud

23 Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek p a q Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek p a q můžeme určit jako vzdálenost zvoleného bodu na jedné z daných přímek od druhé přímky. Tj. úlohu můžeme převést na vypočtení vzdálenosti bodu od přímky a odtud platí, že d (p, q) = d (A, q). Vzdálenost přímky p od rovnoběžné roviny  se rovná vzdálenosti zvoleného bodu přímky p od dané roviny . Tj. úlohu můžeme převést na vypočtení vzdálenosti bodu od roviny a odtud platí, že d (p,  ) = d (A,  ).

24 Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin ,  Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin ,  se rovná vzdálenosti zvoleného bodu v jedné rovině od druhé roviny. Tj. úlohu můžeme převést na vypočtení vzdálenosti bodu od roviny a odtud platí, že d ( ,  ) = d (A,  ). Jsou-li obě roviny ,  dány obecnými rovnicemi, upravíme je tak, aby obě měly stejný normálový vektor, tedy Zvolíme-li v rovině  bod Q [x 0, y 0, z 0 ], musí pro jeho souřadnice platit Použitím vzorce pro vzdálenost bodu Q od roviny  dostaneme

25 Příklad 2.22: Určete vzdálenost bodu A = [1, 0, 0] od přímky p: x = 2 – t, t  R. y = t z = 0 1. způsob: A = [1, 0, 0] B = [2, 0, 0] AB = B – A = (1, 0, 0) u = (-1, 1, 0)

26 2. způsob: a) Daným bodem A = [1, 0, 0] proložíme rovinu α kolmou k přímce p: b) Vypočteme souřadnice průsečíku P přímky p s rovinou α: c) Vypočteme velikost úsečky AP:

27 Příklad 2.23: Určete vzdálenost bodu M = [3, -1, 3] od roviny  : 3x – 4z + 5 = 0.

28 Odchylka dvou přímek Velikost úhlu φ, který svírají směrové vektory u, v přímek p, q, určíme z definice skalárního součinu. Volíme-li pro přímky 0° ≤ φ ≤ 90 °, resp. 0 ≤ φ ≤  /2, musíme se omezit na absolutní hodnotu skalárního součinu, tj. Odchylka dvou rovin Odchylka φ dvou rovin ,  je určena odchylkou jejich normál. Platí tedy Odchylky přímek a rovin

29 Odchylka přímky a roviny Odchylka φ přímky p od roviny  je úhel, který svírá přímka p a její pravoúhlý průmět p 0 do roviny . Odchylka přímky od roviny je dána vzorcem kde n α je normálový vektor roviny , u je směrový vektor přímky p a  je úhel, který svírá normálový vektor n α roviny  a směrový vektor u přímky p. Přitom platí, že

30 Příklad 2.24: Určete odchylku dvou rovin  : 2x – y + z - 1 = 0 a  : x + y + 2z + 3 = 0.

31  Daniela Bímová Obrázky v programu Cabri 3D byly sestrojeny za podpory projektu FRVŠ 400/2012


Stáhnout ppt "Rovnice roviny Normálový tvar rovnice roviny Nechť je dána rovina α procházející bodem M = [x M, y M, z M ] rovnoběžně se dvěma lineárně nezávislými (nejsou."

Podobné prezentace


Reklamy Google