Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Průsečík přímky a roviny Rovina či přímka ve speciálních polohách vzhledem k průmětnám 1. Rovina je kolmá k jedné z průměten (promítací rovina) Je-li rovina.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Průsečík přímky a roviny Rovina či přímka ve speciálních polohách vzhledem k průmětnám 1. Rovina je kolmá k jedné z průměten (promítací rovina) Je-li rovina."— Transkript prezentace:

1 Průsečík přímky a roviny Rovina či přímka ve speciálních polohách vzhledem k průmětnám 1. Rovina je kolmá k jedné z průměten (promítací rovina) Je-li rovina  kolmá k půdorysně (nárysně), leží první (druhé) průměty všech jejích bodů na její půdorysné (nárysné) stopě. Potom první (druhý) průmět R 1 (R 2 ) průsečíku R přímky a s rovinou  je průsečíkem prvního (druhého) průmětu a 1 (a 2 ) dané přímky a a půdorysné (nárysné) stopy roviny . Druhý (první) průmět R 2 (R 1 ) průsečíku R leží na ordinále procházející průmětem R 1 (R 2 ) a na druhém (prvním) průmětu a 2 (a 1 ) dané přímky a.

2 2. Rovina je rovnoběžná s jednou z průměten (promítací rovina) Je-li rovina  rovnoběžná s půdorysnou (nárysnou), leží druhé (první) průměty všech jejích bodů na její nárysné (půdorysné) stopě. Potom druhý (první) průmět R 2 (R 1 ) průsečíku R přímky a s rovinou  je průsečíkem druhého (prvního) průmětu a 2 (a 1 ) dané přímky a a nárysné (půdorysné) stopy roviny . První (druhý) průmět R 1 (R 2 ) průsečíku R leží na ordinále procházející průmětem R 2 (R 1 ) a na prvním (druhém) průmětu a 1 (a 2 ) dané přímky a.

3 3. Přímka je kolmá k jedné z průměten (promítací přímka) Je-li přímka a kolmá k půdorysně (nárysně), leží první (druhé) průměty všech jejích bodů v jejím prvním (druhém) průmětu. A to z toho důvodu, že přímka a je promítací přímka a ta se ve svém prvním (druhém) průmětu zobrazí do jediného bodu. Ten musí být tedy i obrazem průsečíku R (pokud existuje) přímky a s rovinou . Odtud označme R 1  a 1 (R 2  a 2 ). Druhý (První) průmět R 2 (R 1 ) průsečíku R sestrojíme užitím např. jedné z hlavních přímek. Zvolíme-li horizontální hlavní přímku, pak její první (druhý) průmět je rovnoběžný s půdorysnou stopou p 1  roviny  (se základnicí y 12 ) a prochází bodem R 1 (R 2 ). Průsečíkem prvního (druhého) průmětu h 1 (h 2 ) horizontální přímky h se základnicí y 12 (s nárysnou stopou n 2  ) je první (druhý) průmět N 1 (N 2 ) nárysného stopníku N. Chybějící průmět N 2 (N 1 ) nárysného stopníku sestrojíme jako průsečík ordinály procházející bodem N 1 (N 2 ) a nárysné stopy n 2  roviny  (základnice y 12 ). Dále zkonstruujeme druhý (první) průmět h 2 (h 1 ) horizontální přímky h jako rovnoběžku se základnicí y 12 (s půdorysnou stopou p 1  ). Hledaný průmět R 2 (R 1 ) je průsečíkem druhých (prvních) průmětů a 2, h 2 (a 1, h 1 ) přímek a, h.

4

5 Rovina i přímka jsou v obecné poloze vzhledem k průmětnám Hledáme-li průsečík dané přímky a a obecné roviny , užíváme tzv. krycí přímky. Přitom krycí přímkou rozumíme přímku k ležící v dané rovině , jejíž jeden průmět splývá s průmětem dané přímky a. Po zavedení krycí přímky máme dvě přímky – přímku k ležící v dané rovině  a přímku a různoběžnou s rovinou . Jejich průsečík R je právě bodem, ve kterém přímka a protíná rovinu .

6 Nalezení průsečíku přímky a roviny Zvolme krycí přímku k tak, že a 1  k 1. Potom můžeme najít první průměty stopníků přímky k (neboť přímka k leží v rovině  ), a to následujícím způsobem N 1  k 1  y 12, P 1  k 1  p 1 . Potom dohledáme jejich druhé průměty. Na ordinále procházející průmětem N 1 a na nárysné stopě n 2  roviny  leží druhý průmět N 2 nárysného stopníku N. na ordinále procházející průmětem P 1 a na základnici y 12 leží druhý průmět P 2 půdorysného stopníku P. Druhé průměty stopníků leží na druhém průmětu k 2 krycí přímky k. Je-li sestrojen druhý průmět k 2 krycí přímky k, je také nalezen druhý průmět R 2 průsečíku R přímky a s rovinou  jako průsečík druhých průmětů a 2 a k 2, přímek a a k. První průmět R 1 průsečíku R leží na ordinále procházející bodem R 2 a na prvním průmětu a 1 přímky a. R je bod, ve kterém přímka a protíná rovinu .

7

8 Příklad 10: Sestrojte průsečík přímky b s danou rovinou .

9 Promítání dvojice rovin Dvě roviny ve trojrozměrném euklidovském prostoru mohou být rovnoběžné nebo různoběžné. Dvě rovnoběžné roviny Ze stereometrie víme, že jsou-li dvě rovnoběžné roviny α // β proťaty třetí rovinou γ, která je s nimi různoběžná, pak je třetí rovina γ protíná ve dvou rovnoběžných průsečnicích. Představíme-li si, že v Mongeově promítání je třetí rovinou γ jedna z průměten, pak půdorysna (nárysna) protíná rovnoběžné roviny α // β v půdorysných (nárysných) stopách (pokud existují), které jsou navzájem rovnoběžné.

10 Příklad 11: Daným bodem A veďte rovinu α, která je rovnoběžná s rovinou β (p β, n β ).

11 Dvě různoběžné roviny Nejsou-li dvě roviny α, β v trojrozměrném euklidovském prostoru rovnoběžné, protínají se ve společné průsečnici. Nalezení průsečnice dvou různoběžných rovin Průsečnice r dvou různoběžných rovin α, β leží v obou rovinách a je určena dvěma různými body, které leží současně v obou rovinách. Jejími stopníky jsou body, ve kterých se protínají stopy obou různoběžných rovin α, β, tj. P  p α ∩ p β, N  n α ∩ n β (pokud tyto průsečíky existují).

12 Příklad 12: Sestrojte průsečnici r dvou různoběžných rovin α, β.

13 Rovinný řez hranolů a jehlanů Rovinným řezem hranolu rovinou, která není rovnoběžná s žádnou hranou hranolu, je n-úhelník, jehož jednotlivé strany jsou průsečnicemi stěn hranolu s rovinou řezu. Rovinným řezem jehlanu rovinou, která neprochází vrcholem jehlanu, ani není rovnoběžná s rovinou řídicího n-úhelníku jehlanu, je n-úhelník, jehož jednotlivé vrcholy jsou průsečíky hran daného jehlanu s rovinou řezu. V Mongeově promítání rozlišujeme 2 případy konstrukcí řezu těles. Ty jsou závislé na zvolené rovině řezu. Rovina řezu může být 1. promítací, 2. obecná.

14 Řez tělesa promítací rovinou V případě, kdy je za rovinu řezu zadána promítací rovina, zobrazí se jeden pohled na řez jako úsečka. Např. v úloze, ve které hledáme řez tělesa půdorysně promítací rovinou, je prvním průmětem řezu úsečka sestrojená jako „průsečnice“ půdorysné stopy půdorysně promítací roviny a prvního průmětu tělesa. Vrcholy druhého průmětu řezu leží na ordinálách a na příslušných hranách tělesa. Viz příklad 13.

15 Příklad 13: Zobrazte průměty kosého čtyřbokého hranolu ABCDEFGH se čtvercovou podstavou ABCD ležící v nárysně, je-li dáno: vrcholy B [0, -62, 57], D [0, -23, 28] podstavy ABCD a vrchol F [62, 5, 57] podstavy EFGH. Sestrojte řez kosého hranolu promítací rovinou  (12, 14, +∞). Poznámka: Základnici volte uprostřed listu papíru a počátek 105 mm od levého okraje listu papíru. (Nad základnicí i pod základnicí zabírá obrázek ca. 9 cm).

16

17 Řez tělesa obecnou rovinou V případě, kdy sestrojujeme řez tělesa obecnou rovinou, užíváme k nalezení průmětů prvního bodu řezu krycí přímky. Tj. zvolíme jednu (vhodnou) hranu tělesa, zakryjeme ji krycí přímkou a pomocí úlohy „nalezení průsečíku přímky s rovinou“ sestrojíme bod řezu na zvolené hraně. Zbývající body řezu na dalších hranách tělesa sestrojíme za pomoci tzv. osové afinity (u hranolů) či perspektivní kolineace (u jehlanů) s osou afinity v půdorysné stopě. Chybějící druhé průměty bodů řezu doplníme v rovině řezu např. pomocí hlavních přímek. Nakonec určíme viditelnost stran řezu.

18 Kolineace v E 3 Definice 1: Nechť ρ a ρ 1 jsou dvě různé vlastní roviny a nechť S je takový bod trojrozměrného eukleidovského prostoru E 3, který neleží ani v rovině ρ, ani v rovině ρ 1. Pak zobrazení f : ρ → ρ 1, ve kterém je obrazem libovolného bodu A  ρ, kde A ≠ S, bod A 1 definovaný vztahem A 1 = SA ∩ ρ 1, se nazývá kolineace mezi rovinami ρ a ρ 1. Poznámka: Body A, A 1 nazýváme kolineárně sdružené body. Středu promítání S říkáme střed kolineace, přímce o = ρ ∩ ρ 1 osa kolineace. Střed i osa kolineace mohou být vlastní i nevlastní.

19 Definice 2: Perspektivní kolineace mezi rovinami ρ a ρ 1 je kolineace s vlastní osou o a s vlastním středem S. Definice 3: Osová afinita mezi rovinami ρ a ρ 1 je kolineace s vlastní osou o a s nevlastním středem S ∞.

20 Středovou (perspektivní) kolineaci lze s výhodou užít při konstrukci řezu jehlanu rovinou ρ’, která není vrcholová, ani rovnoběžná s rovinou ρ řídicího n-úhelníku. Ve středové kolineaci určené hlavním vrcholem jehlanu a rovinami ρ a ρ’ jsou řídicí n-úhelník a řez kolineárně sdruženými útvary.

21 Osovou afinitu lze využít při konstrukci řezu hranolu rovinou ρ’, která není rovnoběžná s žádnou hranou hranolu, ani s rovinou ρ řídicího n-úhelníku. Řezem je n-úhelník, který je v afinitě roviny ρ’ na ρ určené směrem pobočných hran, afinně sdružený s řídicím n-úhelníkem hranolu.

22 Příklad 14: Zobrazte průměty kosého čtyřbokého hranolu ABCDEFGH se čtvercovou podstavou ABCD ležící v půdorysně, je-li dáno: vrcholy A [30, 51, 0], D [68, 34, 0] podstavy ABCD (přitom platí, že x A  x B ) a vrchol H [68, -68, 86] podstavy EFGH. Sestrojte řez kosého hranolu rovinou  (57, -48, 56). Poznámka: Základnici volte 140 mm od spodního okraje listu papíru a počátek 95 mm od levého okraje listu papíru.

23

24 Příklad 15: Zobrazte průměty trojbokého jehlanu ABCV s podstavou rovnostranného trojúhelníka ABC ležící v půdorysně, jsou-li dány vrcholy A [60, -17, 0], C [83, 50, 0] podstavy jehlanu a výška v = 75 jehlanu. Sestrojte řez jehlanu rovinou  (90, -82, 55). Poznámka: Základnici volte uprostřed listu papíru a počátek 105 mm od levého okraje l listu papíru. Pro vrchol B podstavy jehlanu volte x B < x A.

25

26  Daniela Bímová Obrázky v programu Cabri 3D byly sestrojeny za podpory projektu FRVŠ 400/2012


Stáhnout ppt "Průsečík přímky a roviny Rovina či přímka ve speciálních polohách vzhledem k průmětnám 1. Rovina je kolmá k jedné z průměten (promítací rovina) Je-li rovina."

Podobné prezentace


Reklamy Google