Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Otočení roviny do průmětny Při práci s geometrickými útvary v rovině lze s výhodou užít toho, že geometrické útvary ležící v rovině rovnoběžné nebo splývající.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Otočení roviny do průmětny Při práci s geometrickými útvary v rovině lze s výhodou užít toho, že geometrické útvary ležící v rovině rovnoběžné nebo splývající."— Transkript prezentace:

1 Otočení roviny do průmětny Při práci s geometrickými útvary v rovině lze s výhodou užít toho, že geometrické útvary ležící v rovině rovnoběžné nebo splývající s průmětnou jsou shodné s pravoúhlými průměty těchto útvarů do průmětny. Otočíme-li rovinu obecně položenou vzhledem k průmětně kolem její stopy nebo kolem její hlavní přímky do polohy splývající nebo rovnoběžné s průmětnou, můžeme této shodnosti využít.

2 Otočení bodu roviny kolem půdorysné stopy do půdorysny Bod A roviny  se při otáčení pohybuje po kružnici k v rovině kolmé na půdorysnou stopu p 1 , v tzv. rovině otáčení bodu A. Střed S 1 kružnice k, nebo-li střed otáčení bodu A, je průsečík roviny otáčení s půdorysnou stopou p 1 , tj. s osou otáčení. Poloměr kružnice k, tzv. poloměr otáčení r bodu A, je přepona pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny jsou S 1 A 1 a z A. Otočená poloha A 0 bodu A je průsečík kružnice k s půdorysnou.

3 Poznámka: Analogická situace platí pro otáčení bodu do nárysny. Přitom při otáčení do nárysny je osou otáčení nárysná stopa n 2  roviny . Středem otáčení S bodu A je průsečík osy otáčení s přímkou, která prochází bodem A a je kolmá k ose otáčení. Poloměrem otáčení je skutečná velikost úsečky SA, kterou tentokráte získáme sklopením promítacího trojúhelníku ASA 2 do nárysny.

4 Rovinná osová afinita je zobrazení s následujícími vlastnostmi: - spojnice vzorů a obrazů v tomto zobrazení jsou navzájem rovnoběžné, tj. např. A 0 A 1 // B 0 B 1 ; - body ležící na ose otáčení jsou samodružné, tzn. při otáčení zůstávají neměnné; - zachovává se incidence bodů, tzn. leží-li bod A 1 na přímce a 1, pak musí ležet bod A 0 na přímce a 0 ; - odpovídající si přímky se buď protínají na ose otáčení, nebo jsou s ní rovnoběžné; - rovnoběžným přímkám a // a´ odpovídají rovnoběžné přímky a 0 // a 0 ´ ; - dělící poměr bodu C vzhledem k bodům A, B je týž jako dělící poměr bodu C 0 k bodům A 0, B 0. Speciálně střed úsečky se zobrazí na střed úsečky.

5 Otočení dalších bodů a přímek roviny kolem půdorysné stopy do půdorysny Další body a přímky roviny  otáčíme pomocí tzv. osové afinity. Přičemž osová afinita je dána osou afinity, kterou je v našem případě půdorysná stopa p 1  roviny , a dvojicí bodů A 0 A 1. Roviny otáčení bodů jsou navzájem rovnoběžné, proto platí např. A 0 A 1 // B 0 B 1. Průsečíky přímek s půdorysnou stopou p 1  jsou samodružné body otáčení (např. body P A, P B na obrázku).

6 Příklad 20: V rovině  (68, 76, 44) sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF, jsou-li dány jeho vrcholy A [38, 0, ?] a B [31, 28, ?]. Poznámka: Základnici volte 120 mm od spodního okraje listu papíru a počátek 75 mm od levého okraje listu papíru.

7 Příklad 21: Sestrojte průměty pravidelného trojbokého hranolu ABCA´B´C´, je-li dáno: rovina  (49, 72, 43), v níž leží trojúhelník ABC s vrcholem A [23, -34, ?], a bod B´ [60, 43, 66] horní podstavy hranolu. Přitom rýsujte tak, aby x A  x C. Poznámka: Základnici volte 140 mm od spodního okraje listu papíru a počátek 105 mm od levého okraje listu papíru. Návod řešení: Sestrojíme 1) přímku b kolmou k rovině  a procházející bodem B´; 2) bod B jako průsečík přímky b s rovinou  ; 3) trojúhelník ABC ve skutečné velikosti, tj. otočíme body A, B roviny  kolem půdo- rysné stopy p 1  do půdorysny; 4) první průmět A 1 B 1 C 1 trojúhelníka ABC pomocí osové afinity; 5) druhý průmět A 2 B 2 C 2 trojúhelníka ABC pomocí dohledání druhých průmětů vrcholů trojúhelníka ABC v rovině  ; 6) vrcholy A´, C´ tak, že BB´ // AA´ // CC´ a současně | BB´ | = | AA´ | = | CC´ |.

8

9 Sklopení promítací roviny do průmětny Zvláštním případem otáčení roviny do průmětny je sklápění promítací roviny do průmětny nebo do polohy rovnoběžné s průmětnou. Je to otáčení o pravý úhel. Poloměry otáčení bodů jsou v tomto případě z-ové (x- ové) souřadnice při sklápění do půdorysny (nárysny) nebo rozdíly z-ových (x-ových) souřadnic otáčených bodů a hlavních přímek, kolem kterých je otáčíme, do polohy rovnoběžné s půdorysnou (nárysnou). Sklápění roviny jsme již užili např. při konstrukci skutečné velikosti úsečky.

10 Příklad 22: Sestrojte průměty pravidelného čtyřbokého jehlanu ABCDV s podstavou ABCD ležící v nárysně promítací rovině  (+∞, -69, 48), je-li dáno: bod A [24, -29, ?], střed S [47, 0, ?] podstavy ABCD a výška jehlanu v = 94. Poznámka: Sestrojte řešení pouze pro y V < y S. Základnici volte 100 mm od spodního okraje papíru, nad ní ponechte 150 mm volného místa. Počátek volte 110 mm od levého okraje listu papíru.

11 Předpokládejme, že máme dánu kružnici k (S, r), pak sdružené průměty kružnice k v Mongeově promítání se liší v závislosti na tom, v jaké rovině daná kružnice k leží. Rozlišujeme 3 případy: 1. Kružnice k leží v rovině , která je rovnoběžná s jednou z průměten Je-li rovina  rovnoběžná s půdorysnou (nárysnou), pak prvním průmětem kružnice k je kružnice k 1 (S 1, r) (úsečka k 2 délky 2r rovnoběžná se základnicí) a druhým průmětem kružnice k je úsečka k 1 délky 2r rovnoběžná se základnicí (kružnice k 2 (S 2, r)). Zobrazení kružnice v rovině 

12 2. Kružnice k leží v rovině , která je kolmá k průmětně Je-li rovina  kolmá k půdorysně, pak prvním průmětem k 1 kružnice k je úsečka C 1 D 1 délky 2r ležící na půdorysné stopě p 1  roviny . Střed kružnice k se zobrazí do středu S 1 úsečky C 1 D 1. Druhým průmě- tem k 2 kružnice k je elipsa se středem v bodě S 2, s hlavní poloosou A 2 S 2 velikosti poloměru kružnice r rovnoběž- nou s nárysnou stopou n 2  roviny  a s vedlejší poloosou C 2 S 2 rovnoběžnou se základnicí.

13 3. Kružnice k leží v rovině , která je v obecné poloze vzhledem k průmětnám Je-li rovina  obecnou rovinou, pak se kružnice k zobrazí v obou průmětech jako elipsa. Oba průměty elipsy však nejsou shodné. Liší se ve velikostech vedlejších poloos. V prvním průmětu k 1 kružnice k se skutečná délka poloměru r kružnice promítá do hlavní poloosy A 1 S 1 elipsy ležící na prvním průmětu h 1 S hlavní Přímky roviny  procházející středem S 1 elipsy. Na vedlejší poloose C 1 S 1 Elipsy se poloměr kružnice zkracuje na velikost b vedlejší poloosy elipsy. Tu sestrojíme pomocí tzv. rozdílové proužkové konstrukce (viz níže), anebo pomocí osové afinity.

14 Analogická situace platí i pro druhý průmět k 2 kružnice k s tím rozdílem, že poloměr r kružnice se nezkrácený promítá do hlavní poloosy E 2 S 2 elipsy ležící na druhém průmětu f 2 hlavní přímky roviny  procházející středem S 2 elipsy. Na vedlejší poloose G 2 S 2 elipsy se poloměr kružnice opět zkracuje na velikost b´ vedlejší poloosy elipsy. Tu sestrojíme stejně jako v půdorysu, tj. pomocí rozdílové proužkové konstrukce.

15 Rozdílová proužková konstrukce elipsy Rozdílové proužkové konstrukce užíváme v případě, kdy je elipsa určena hlavní osou AB a bodem elipsy M. Velikost b vedlejší poloosy CS elipsy sestrojíme následovně. Sestrojíme kružnici se středem v bodě M a s poloměrem velikosti a hlavní poloosy elipsy. Tam, kde nám kružnice protne vedlejší osu CD elipsy, získáváme pomocný bod 1. Sestrojíme úsečku 1M. Průsečík úsečky 1M s hlavní osou AB je bod 2. Délka úsečky 2M je rovna velikosti b vedlejší poloosy elipsy.

16 Příklad 23: Sestrojte průměty kružnice k, která je dána středem S [36, 0, 30] a tečnou t ≡ PL, kde P [18, 80, 0] a L [10, 36, 30]. Poznámka: Základnici volte uprostřed listu papíru a počátek 75 mm od levého okraje listu papíru.

17 Viditelnost v Mongeově promítání K názornějším představám o skutečném tvaru a poloze tělesa v prostoru, rozlišujeme při jeho zobrazování v Mongeově promítání jeho viditelné (plná čára) a neviditelné (čárkovaná čára) hrany. Problém viditelnosti je v Mongeově promítání řešen zvlášť v prvním průmětu a zvlášť ve druhém průmětu. Viditelnost v prvním průmětu odpovídá situaci, kdy pozorovatel hledí na těleso ve směru „shora dolů.“ Tzn., leží-li dva body A a B na stejné promítací přímce, která je kolmá k půdorysně, můžeme vidět pouze „vyšší“ bod A. Bod B je schován pod bodem A (z A < z B ).

18 Viditelnost ve druhém průmětu odpovídá situaci, kdy pozorovatel stojí před tělesem. Tzn., že leží-li dva body C a D na téže promítací přímce, která je kolmá k nárysně, uvidíme „bližší“ bod D. „Vzdálenější“ bod C je schován za bodem D (x C < x D ).

19  Daniela Bímová Obrázky v programu Cabri 3D byly sestrojeny za podpory projektu FRVŠ 400/2012


Stáhnout ppt "Otočení roviny do průmětny Při práci s geometrickými útvary v rovině lze s výhodou užít toho, že geometrické útvary ležící v rovině rovnoběžné nebo splývající."

Podobné prezentace


Reklamy Google