Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Konstruktivní geometrie Fakulta strojní ZS 2008/2009 Přednášející: Mgr. Daniela Bímová, Ph.D. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Konstruktivní geometrie Fakulta strojní ZS 2008/2009 Přednášející: Mgr. Daniela Bímová, Ph.D. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky."— Transkript prezentace:

1 Konstruktivní geometrie Fakulta strojní ZS 2008/2009 Přednášející: Mgr. Daniela Bímová, Ph.D. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky budova H – 4. patro

2 Sylabus: 1.Princip pravoúhlého (Mongeova) promítání. Zobrazení bodů, přímek, rovin. 2.Průsečík přímky a roviny, průsečnice dvou rovin, roviny rovnoběžné. (Rovinný řez hranolů a jehlanů.) 3.Kolmost přímky a roviny, vzdálenosti lineárních útvarů. Otočení roviny do průmětny. 4.Pravoúhlé průměty kružnice v promítací rovině. Elementární tělesa v obecné poloze, pojem obrysu a viditelnosti. 5.Analytická geometrie v E 3. Operace s vektory. Souřadnice vektoru a bodu. Parametrická vyjádření přímky a roviny. 6.Obecná rovnice roviny. Polohové a metrické úlohy v E 3. 7.Vektorová funkce jedné reálné proměnné. Definice a rovnice křivky, tečny křivky. 8.Průvodní trojhran křivky, křivost, torze. 9.Šroubovice. Rovnice, základní vlastnosti šroubovice. Konstruktivní úlohy o šroubovici. 10.Pojem plochy, křivky na ploše, tečná rovina plochy. Pojem rotační plochy, meridián a tečná rovina rotační plochy. 11.Konstruktivní úlohy o rotační ploše, řez rotační plochy rovinou. Průniky rotačních ploch. 12.Šroubové plochy. Definice, základní konstruktivní úlohy o šroubových plochách. 13.Cyklické šroubové plochy. Přímkové šroubové plochy. Zobrazení cyklických a přímkových šroubových ploch.

3 Doporučená literatura KARGEROVÁ, M.: Deskriptivní geometrie pro technické školy. Ostrava, Montanex, KARGEROVÁ, M.: Deskriptivní geometrie pro technické školy. Ostrava, Montanex, PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 0. Liberec, TU, PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 0. Liberec, TU, PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 0S. Liberec, TU, PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 0S. Liberec, TU, PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 1. Liberec, TU, PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 1. Liberec, TU, PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 2. Liberec, TU, PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 2. Liberec, TU, BÍMOVÁ, D. - PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 3. Liberec, TU, BÍMOVÁ, D. - PECINA, V. - PŘÍVRATSKÁ J.: Geometrie pro techniky - modul 3. Liberec, TU, POMYKALOVÁ, E.: Matematika pro gymnázia - stereometrie. Praha, Prometheus, POMYKALOVÁ, E.: Matematika pro gymnázia - stereometrie. Praha, Prometheus, URBAN, A.: Deskriptivní geometrie I, II. Praha, SNTL, URBAN, A.: Deskriptivní geometrie I, II. Praha, SNTL, 1967.

4 Promítání Každé zobrazení, pomocí něhož je možné zobrazovat trojrozměrný euklidovský prostor E 3 a geometrické útvary v něm do roviny, se nazývá promítání. Metody, které takové zobrazení zprostředkují se nazývají promítací metody. Na základě promítacích metod se pak mohou útvary modelovat, studovat vzájemné vztahy mezi nimi a řešit rovinné a prostorové úlohy. Volba souřadnicového systému potom umožňuje útvary vhodně zvětšovat a zmenšovat. Rozlišujeme 2 druhy promítání: - středové - rovnoběžné (běžně se užívá tzv. volného rovnoběžného promítání, které je názorné a vhodné pro pochopení prostorových úloh).

5 Rovnoběžné promítání Rovnoběžné promítání je dáno rovinou , kterou nazýváme průmětna, a směrem s, který je s ní různoběžný. V rovnoběžném promítání sestrojíme obraz bodu následovně: Nechť A je libovolný bod prostoru, proložíme-li bodem A přímku a rovnoběžnou se směrem promítání s, je obrazem bodu A průsečík A´ přímky a s průmětnou .

6 Mongeovo promítání Mongeovo promítání umožňuje zobrazit trojrozměrné objekty na rovinu (na list papíru, na obrazovku monitoru, aj.). Je speciálním příkladem rovnoběžného promítání. Je kombinací dvou kolmých promítání na dvě na sebe navzájem kolmé roviny. Přitom kolmým promítáním rozumíme takové rovnoběžné promítání, kde směr promítání s je kolmý na rovinu .

7 Svislá průmětna, která splývá s rovinou papíru, se nazývá nárysna a značí se. Vodorovná průmětna se nazývá půdorysna a značí se . Průsečnice půdorysny a nárysny se nazývá základnice a značí se y 12.

8 Promítáme-li v Mongeově promítání trojrozměrný geometrický útvar, užíváme k jeho zobrazení na jednotlivé průmětny tzv. promítací přímky. Ty jsou navzájem rovnoběžné (rovnoběžné promítání) a kolmé k jednotlivým průmětnám (kolmé promítání). Promítací přímky rýsujeme nejdůležitějšími body trojrozměrného objektu. Např. při zobrazování krychle v Mongeově promítání procházejí promítací přímky jednotlivými vrcholy krychle.

9 Promítací přímky protínají průmětny v bodech, které nazýváme průměty. Průsečík promítací přímky s půdorysnou se nazývá půdorysný, anebo první průmět; průsečík promítací přímky s nárysnou se nazývá nárysný, anebo druhý průmět. Roviny, které jsou kolmé k promítacím rovinám, se nazývají promítací roviny.

10 Abychom získali oba průměty trojrozměrného útvaru v rovině listu papíru, musíme otočit jednu z průměten. Nárysna zůstane pevnou a půdorysnu otočíme okolo základnice y 12 tak, aby splynula s nárysnou.

11 Promítání bodů Nechť je dán bod A trojrozměrného euklidovského prostoru. Bod A promítneme do půdorysny a do nárysny pomocí promítacích přímek. Průsečík promítací přímky, procházející bodem A, Nechť je dán bod A trojrozměrného euklidovského prostoru. Bod A promítneme do půdorysny a do nárysny pomocí promítacích přímek. Průsečík promítací přímky, procházející bodem A, - s půdorysnou  označujeme A 1 a nazýváme prvním průmětem bodu A; - s půdorysnou  označujeme A 1 a nazýváme prvním průmětem bodu A; - s nárysnou A 2 druhým - s nárysnou A 2 druhým Přímky AA 1 a AA 2 jsou promítací přímky bodu A. Po otočení půdorysny  kolem základnice y 12 do nárysny leží průměty A 1, A 2 bodu A na přímce. Přímka A 1 A 2 se nazývá ordinála a je vždy kolmá k základnici y 12. Abychom mohli v Mongeově promítání zobrazit průměty bodů trojrozměrného euklidovského prostoru, musíme v něm definovat umístění souřadnicového systému. Uvažujme pravoúhlou soustavu souřadnic O xyz, která je určena osami x, y, z se společným počátkem O a s týmiž jednotkami na osách. Označme půdorysnu jako rovinu, která obsahuje osy x, y souřadnicového systému, a nárysnu jako rovinu, která je určena osami y, z souřadnicového systému.

12 První průmět A 1 bodu A leží ve vzdálenosti y A od počátku O 12 ve směru osy y a ve vzdálenosti x A od základnice y 12 ve směru osy x. Druhý průmět A 2 bodu A leží opět ve vzdálenosti y A od počátku O 12 ve směru osy y a ve vzdálenosti z A od základnice y 12 ve směru osy z.

13 Příklad 1: Sestrojte průměty bodů A [10, 20, 30], B [-20, 40, 10], C [40, 60, -20].

14 Promítání přímek Průmětem přímky a do průmětny je přímka, je-li přímka a rovnoběžná nebo různoběžná s průmětnou, a bod, je-li přímka a kolmá k průmětně. Leží-li body A, B na přímce a, potom první (půdorysné) průměty A 1, B 1 bodů A, B leží na prvním (půdorysném) průmětu a 1 přímky a. Analogie platí pro druhé průměty A 2, B 2 bodů A, B, tj. leží-li body A, B na přímce a, potom druhé (nárysné) průměty A 2, B 2 bodů A, B leží na druhém (nárysném) průmětu a 2 přímky a.

15 Speciální polohy, které může přímka zaujímat vzhledem k průmětnám 1. Přímka a je rovnoběžná s oběma průmětnami

16 2. Přímka a je kolmá k nárysně a rovnoběžná s půdorysnou 3. Přímka a je kolmá k půdorysně a rovnoběžná s nárysnou

17 4. Přímka h je rovnoběžná s půdorysnou a různoběžná s nárysnou. Je to tzv. hlavní přímka 1. osnovy a nazývá se horizontální přímka. 5. Přímka f je různoběžná s půdorysnou a rovnoběžná s nárysnou. Je to tzv. hlavní přímka 2. osnovy a nazývá se frontální přímka.

18 6. Přímka a je kolmá k základnici y 12 a je různoběžná s oběma průmětnami (leží v rovině kolmé k základnici y 12 ) Poznámka: V tomto případě neurčují průměty a 1, a 2 umístění přímky a v prostoru. K jejímu určení v prostoru musíme znát souřadnice dvou jejích bodů.

19 Stopníky přímky Průsečík přímky s průmětnou se nazývá stopník přímky. Průsečík přímky s půdorysnou se nazývá půdorysný stopník a označuje se písmenem P. Průsečík přímky s nárysnou se nazývá nárysný stopník a označuje se písmenem N. Půdorysný stopník leží v půdorysně, tj. skutečný bod P splývá se svým prvním průmětem (P ≡ P 1 ) a z-ová souřadnice průmětu P 2 je rovna nule. Z toho plyne, že průmět P 2 musí ležet na základnici y 12. Analogická situace platí pro nárysný stopník. Nárysný stopník leží v nárysně, tj. skutečný bod N splývá se svým druhým průmětem (N ≡ N 2 ) a x-ová souřadnice průmětu N 1 je rovna nule. Z toho plyne, že průmět N 1 musí ležet na základnici y 12.

20 Příklad 2: Sestrojte stopníky P, N daných dvou přímek a, b.

21 Promítání dvojice přímek 1. Promítání dvou rovnoběžných přímek a) Nejsou-li rovnoběžné přímky kolmé k průmětnám, jsou jejich průměty rovnoběžné. b) Jsou-li rovnoběžné přímky kolmé k průmětně, jsou jejich průměty v této průmětně body.

22 2. Promítání dvou různoběžných přímek a) Neleží-li dvě různoběžné přímky v rovině kolmé k některé z průměten, jsou průměty daných různoběžných přímek různoběžky. První a druhý průmět průsečíku přímek musí ležet na ordinále. b) Leží-li různoběžné přímky v rovině kolmé k nárysně, jejich druhé průměty splývají.

23 3. Promítání dvou mimoběžných přímek - mimoběžné přímky nejsou navzájem rovnoběžné, ani se neprotínají; - mimoběžné přímky neleží v jedné rovině; - průsečíky průmětů dvou mimoběžných přímek a, b jsou reprezen- továny průměty dvou různých bodů A, B.

24 Promítání rovin Rovina je rovnou plochou vytvořenou pohybující se přímkou podél dvou různých rovnoběžných, anebo po dvou různoběžných přímkách. Rovina může být zadána: a) třemi body neležícími v jedné přímce; b) přímkou a bodem, který na dané přímce neleží; c) dvěmi různými rovnoběžnými přímkami; d) dvěmi různoběžnými přímkami. Není ohraničeným geometrickým útvarem, rozprostírá se do nekonečna ve všech směrech.

25 Stopy roviny Přímky, ve kterých rovina protíná průmětny, se nazývají stopy roviny. Přímky, ve kterých rovina protíná průmětny, se nazývají stopy roviny. Průsečnice roviny α s půdorysnou se nazývá půdorysná stopa a označuje se p α. Průsečnice roviny α s půdorysnou se nazývá půdorysná stopa a označuje se p α. Průsečnice roviny α s nárysnou se nazývá nárysná stopa a označuje se n α. Průsečnice roviny α s nárysnou se nazývá nárysná stopa a označuje se n α. Protíná-li rovina α y-ovou osu, Protíná-li rovina α y-ovou osu, protínají se její půdorysná a nárysná stopa na ose y.

26 Roviny ve speciální poloze vzhledem k průmětnám 1) rovina je kolmá k půdorysně a rovnoběžná s nárysnou – promítací rovina 2) rovina je kolmá k nárysně a rovnoběžná s půdorysnou – promítací rovina

27 3) rovina je kolmá k půdorysně a různoběžná s nárysnou – promítací rovina 4) rovina je kolmá k nárysně a různoběžná s půdorysnou – promítací rovina

28 5) rovina je kolmá k oběma průmětnám – promítací rovina 6) rovina je různoběžná s oběma průmětnami a rovnoběžná s y-ovou osou

29 Zadání roviny pomocí souřadnic Nechť je rovina α zadána trojicí bodů A, B a C, z nichž každý leží na jiné souřadnicové ose. Nenulové souřadnice těchto bodů určují úseky na souřadnicových osách vyťaté rovinou α. Úseky a, b, c můžeme považovat za „souřadnice“ roviny α. Potom rovinu α lze zapsat pomocí souřadnic ve tvaru α (a, b, c).

30 Příklad 3: Sestrojte stopy rovin α (25, 17, 41), β (38, -12, 19), γ (+∞, -34, 16), δ (11, 44, + ∞).

31 Přímky v rovině Nechť je dána přímka a ležící v rovině α. Stopníky přímky a (pokud existují) leží na stopách roviny α. Přitom půdorysný stopník P a přímky a leží na půdorysné stopě p α roviny α a nárysný stopník N a přímky a leží na nárysné stopě n α roviny α. 1. Obecná přímka v rovině

32 2. Hlavní přímky roviny Výše jsme zavedli označení pro tzv. hlavní přímky roviny. Horizontální (frontální) přímkou jsme nazvali takovou přímku, která je rovnoběžná s půdorysnou (nárysnou). Pokud v dané rovině existuje jedna taková přímka, existuje jich nekonečně mnoho a tvoří tzv. osnovu. Odtud se také někdy pro hlavní přímky používá označení hlavní přímka 1. osnovy (horizontální přímka) a hlavní přímka 2. osnovy (frontální přímka). Výše jsme zavedli označení pro tzv. hlavní přímky roviny. Horizontální (frontální) přímkou jsme nazvali takovou přímku, která je rovnoběžná s půdorysnou (nárysnou). Pokud v dané rovině existuje jedna taková přímka, existuje jich nekonečně mnoho a tvoří tzv. osnovu. Odtud se také někdy pro hlavní přímky používá označení hlavní přímka 1. osnovy (horizontální přímka) a hlavní přímka 2. osnovy (frontální přímka).

33 Horizontální hlavní přímky Pro horizontální přímky h roviny α platí, že jejich první průměty h 1 jsou rovnoběžné s půdorysnou stopou roviny α. Přitom půdorysná stopa roviny α může být považována za speciální horizontální přímku roviny α. A pro druhé průměty h 2 horizontálních přímek h roviny α platí, že jsou rovnoběžné se základnicí y 12. Pro horizontální přímky h roviny α platí, že jejich první průměty h 1 jsou rovnoběžné s půdorysnou stopou roviny α. Přitom půdorysná stopa roviny α může být považována za speciální horizontální přímku roviny α. A pro druhé průměty h 2 horizontálních přímek h roviny α platí, že jsou rovnoběžné se základnicí y 12.

34 Frontální hlavní přímky Pro frontální přímky f roviny α platí, že jejich druhé průměty f 2 jsou rovnoběžné s nárysnou stopou roviny α. Přitom nárysná stopa roviny α může být považována za speciální frontální přímku roviny α. A pro první průměty f 1 frontálních přímek f roviny α platí, že jsou rovnoběžné se základnicí y 12. Pro frontální přímky f roviny α platí, že jejich druhé průměty f 2 jsou rovnoběžné s nárysnou stopou roviny α. Přitom nárysná stopa roviny α může být považována za speciální frontální přímku roviny α. A pro první průměty f 1 frontálních přímek f roviny α platí, že jsou rovnoběžné se základnicí y 12.

35 Příklad 4: Sestrojte stopy roviny dané dvěma různoběžnými přímkami a) α (a, b)b)  (h, f)

36 Příklad 5: Sestrojte stopy roviny  dané přímkou d a bodem C, který na přímce d neleží.

37 Nalezení chybějícího průmětu přímky v rovině 1. Rovina je zadána svými stopami Nechť je dán první průmět a 1 přímky a v rovině . První průměty jejích stopníků sestrojíme následovně Nechť je dán první průmět a 1 přímky a v rovině . První průměty jejích stopníků sestrojíme následovně N 1  a 1  y 12, P 1  a 1  p 1 . Potom nalezneme jejich druhé průměty na ordinálách a na nárysné stopě roviny  (N 2 ), na základnici y 12 (P 2 ). Druhé průměty stopníků leží na druhém průmětu a 2 přímky a.

38 Příklad 6: Najděte chybějící průmět a 1 přímky a ležící v rovině .

39 2. Rovina je zadána dvěma různoběžnými přímkami Nechť je dán druhý průmět a 2 přímky a v rovině . Přitom rovina  je dána dvěma různoběžnými přímkami b, c. Úkolem je doplnit chybějící průmět a 1 přímky a v rovině . Nechť je dán druhý průmět a 2 přímky a v rovině . Přitom rovina  je dána dvěma různoběžnými přímkami b, c. Úkolem je doplnit chybějící průmět a 1 přímky a v rovině . Označme průsečíky dané přímky a s přímkami b, c po řadě B, C. Potom můžeme najít jejich druhé průměty B 2, C 2 následovně Označme průsečíky dané přímky a s přímkami b, c po řadě B, C. Potom můžeme najít jejich druhé průměty B 2, C 2 následovně B 2  a 2  b 2, C 2  a 2  c 2. První průměty B 1, C 1 bodů B, C leží na ordinálách procházejících průměty B 2, C 2 a na prvních průmětech b 1, c 1 přímek b, c. Hledaný chybějící průmět a 1 přímky a je dán prvními průměty B 1, C 1 bodů B, C.

40 Příklad 7: Doplňte chybějící průmět přímky v rovině. a) b)

41 1. Rovina je zadána svými stopami Nechť je dán první průmět A 1 bodu A ležícího v rovině  (p α, n α ). Bodem A 1 vedeme první průmět h 1 horizontální přímky h rovnoběžně s půdorysnou stopou p 1 α roviny . Najdeme první průmět N 1 nárysného stopníku horizontální přímky h jako průsečík přímky h 1 a základnice y 12. Nechť je dán první průmět A 1 bodu A ležícího v rovině  (p α, n α ). Bodem A 1 vedeme první průmět h 1 horizontální přímky h rovnoběžně s půdorysnou stopou p 1 α roviny . Najdeme první průmět N 1 nárysného stopníku horizontální přímky h jako průsečík přímky h 1 a základnice y 12. Potom druhý průmět N 2 nárysného stopníku N je průsečík ordinály procházející bodem N 1 s nárysnou stopou n 2 α roviny . Dále narýsujeme druhý průmět h 2 horizontální přímky h rovnoběžně se základnicí y 12 a procházejíce bodem N 2. Druhý průmět A 2 bodu A je průsečík ordinály procházející bodem A 1 a přímky h 2. Poznámka: K sestrojení chybějícího průmětu bodu lze užít jak hlavních přímek roviny, bodu lze užít jak hlavních přímek roviny, tak i jakékoli obecné přímky roviny. tak i jakékoli obecné přímky roviny. Nalezení chybějícího průmětu bodu v rovině

42 Příklad 8: Sestrojte chybějící průmět A 2 bodu A v rovině  (p α, n α ).

43 2. Rovina je zadána dvěma různoběžnými přímkami Nechť je dán první průmět A 1 bodu A v rovině , která je dána dvěma různoběžnými přímkami b, c. Úkolem je doplnit chybějící průmět A 2 bodu A v rovině . Nechť je dán první průmět A 1 bodu A v rovině , která je dána dvěma různoběžnými přímkami b, c. Úkolem je doplnit chybějící průmět A 2 bodu A v rovině . Bodem A 1 sestrojme libovolnou přímku a, různoběžnou s přímkami b, c a tudíž ležící v rovině . Označme průsečíky zvolené přímky a s přímkami b, c po řadě B, C. Potom můžeme najít jejich první průměty B 1, C 1 následovně Bodem A 1 sestrojme libovolnou přímku a, různoběžnou s přímkami b, c a tudíž ležící v rovině . Označme průsečíky zvolené přímky a s přímkami b, c po řadě B, C. Potom můžeme najít jejich první průměty B 1, C 1 následovně B 1  a 1  b 1, C 1  a 1  c 1. Druhé průměty B 2, C 2 bodů B, C leží na ordinálách procházejících průměty B 1, ordinálách procházejících průměty B 1, C 1 a na druhých průmětech b 2, c 2 přímek b, c. Průměty B 2, C 2 určují druhý průmět a 2 zvolené přímky a. Hledaný chybějící průmět A 2 bodu A je průsečík druhého průmětu a 2 přímky a a ordinály procházející průmětem A 1.

44 Příklad 9: Sestrojte chybějící průmět bodu v dané rovině. a) B  β (b, c) b) C  γ (D, e)


Stáhnout ppt "Konstruktivní geometrie Fakulta strojní ZS 2008/2009 Přednášející: Mgr. Daniela Bímová, Ph.D. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky."

Podobné prezentace


Reklamy Google