Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 07 Skalární součin Matematika I. KIG / 1MAT1.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 07 Skalární součin Matematika I. KIG / 1MAT1."— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 07 Skalární součin Matematika I. KIG / 1MAT1

2 O čem budeme hovořit: • Definice skalárního součinu • Příklady skalárních součinů • Norma vektorů • Ortogonální a ortonormální vektory • Vektory ortogonální k podprostoru • Ortogonální doplněk podprostoru

3 Definice skalárního součinu

4 Definice Vektorový prostor W nad tělesem reálných čísel budeme nazývat vektorovým prostorem se skalárním součinem právě tehdy, je-li definováno zobrazení, které každé dvojici vektorů (u,v)  W  W přiřazuje reálné číslo u.v  R, přičemž platí: (  u  W) u.u  0  ( u.u = 0  u = 0) (  u,v  W) u.v = v.u (  u,v,w  W) u.(v+w) = (u.v) + (u.w) (  u,v  W)(  a  R) (a.u).v = a.(u.v)

5 Příklad skalárního součinu Pro vektorový prostor [ R n ; + ] uspořádaných n-tic reálných čísel můžeme definovat skalární součin vektorů takto: ( a 1, a 2, …, a n ).( b 1, b 2, …, b n ) = D = D a 1.b 1 + a 2.b 2 + … + a n.b n Vektorový prostor [ R n ; + ] je vektorovým prostorem se skalárním součinem (proč?). Příklad: (2; 3; 4).(-2; 0; -1) = 2.(-2) (-1) = -8

6 Skalární součiny v dalších prostorech Pro vektorový prostor [ V; + ] fyzikálních vektorů se skalární součin vektorů a, b definuje takto: a.b = D   a .   b . cos , kde   a ,   b  jsou velikosti obou vektorů a  je úhel, který oba vektory svírají. Abychom mohli zavést skalární součin pro vektorový prostor [ F; + ] reálných funkcí, museli bychom mít k dispozici pojem integrálu.

7 Norma vektoru

8 Definice: Pro každý vektor u definujme jeho normu (velikost)   u  takto (je to nezáporné číslo):   u  = D u.u Vektor u, pro který platí, že  u  = 1, budeme nazývat jednotkovým vektorem. Příklady:

9 Vlastnosti skalárního součtu a normy Lze dokázat tato tvrzení: (  u  W) 0.u = 0 (  u  W)   u  = 0  u = 0 (  u  W)(  a  R)   a.u  =   a .  u  POZOR!   a  je absolutní hodnota čísla a

10 Ortogonalita vektorů

11 Definice: Vektory u, v  W budeme nazývat ortogonální (kolmé) právě tehdy, když platí:  u.v = 0 Příklad: u = ( 2, 1) v = (-2, 4) u.v = 2.(-2) = 0

12 Definice Nechť je dán vektorový prostor se skalárním součinem nad tělesem reálných čísel a skupina jeho vektorů u 1, u 2, u 3, …, u k. Tuto skupinu budeme nazývat ortogonální právě tehdy, když každé její dva různé vektory jsou ortogonální. Tuto skupinu budeme nazývat ortonormální právě tehdy, když každé její dva různé vektory jsou ortogonální a každý z vektorů je jednotkový.

13 Příklady Pro vektory u = (-1; 3), v = (6; 2) a w = (3; 1) platí: u.v = 0, u.w = 0, ale v.w = 20. Tato skupina vektorů tedy není ortogonální. Pro vektory u = (0; 1), v = (1; 0) a w = (0; 0) platí: u.v = 0, u.w = 0, v.w = 0. Tato skupina vektorů tedy je ortogonální, ale není ortonormální, protože zatímco vektory u a v jsou jednotkové, nulový vektor w má normu rovnu nule.

14 Ortonormální báze vektorových prostorů

15 Věta o ortonormálních vektorech Jestliže jsou vektory u 1, u 2, u 3, …, u k ortonormální, pak jsou nezávislé. Důkaz: Nechť a 1.u 1 + a 2.u 2 + …+ a k.u k = 0, potřebujeme dokázat, že všechny koeficienty a i jsou rovny nule. Zvolme libovolně index i a násobením vektorem u i získáme: (a 1.u 1 + a 2.u 2 + …+ a k.u k ).u i = 0.u i a i.(u i.u i ) = 0 Tím je důkaz proveden.

16 Ortonormální báze Na druhé straně platí tato věta: Každý netriviální konečně generovaný prostor se skalárním součinem má alespoň jednu ortonormální bázi. Když vektory u 1, u 2, u 3, …, u n generují vektorový prostor W a když jsou ortonormální, pak jsou podle předchozí věty nezávislými generátory prostoru W, a tvoří tedy jeho ortonormální bázi.

17 Ortogonální doplněk vektorového podprostoru

18 Vektor kolmý k podprostoru Věta: Jestliže je vektor w ortogonální ke všem generátorům prostoru V, pak je ortogonální i k celému podprostoru V. (Důkaz je jednoduchý.) Definice: Nechť je dán vektorový prostor W nad tělesem reálných čísel se skalárním součinem a jeho podprostor V. Budeme říkat, že vektor w je ortogonální k prostoru V právě tehdy, když je ortogonální s každým vektorem z V, tedy když platí: (  u  V) u.w = 0

19 Ortogonální doplněk podprostoru Ortogonální doplněk V  prostoru V je také vektorový podprostor prostoru W. Má-li celý prostor W dimenzi n a podprostor V dimenzi k, pak podprostor V  má dimenzi n – k. Definice: Nechť je dán vektorový prostor W nad tělesem reálných čísel se skalárním součinem a jeho podprostor V. Množinu všech vektorů w, které jsou ortogonální k prostoru V, budeme nazývat ortogonálním doplňkem prostoru V, a označovat V .

20 Příklad Vektorový prostor R 5 má dimenzi 5. Nechť je jeho podprostor V je generován vektory: (1; -1; 0; 0; 0), (0; 2; 1; 0; 0), (0; 0; 0; 1; 2), má tedy dimenzi 3. Pro každý vektor (a; b; c; d; e) ortogonálního doplňku V  platí, že: a – b = 0, 2b + c = 0, d + 2e = 0, libovolný vektor V  tedy má tvar (a; a; – 2a ; – 2e; e). V  je tedy generován například vektory (1; 1; -2; 0; 0) a (0; 0; 0; -2; 1), a má tedy dimenzi 2.

21 Co je třeba znát a umět? • Pojem skalárního součinu (příklady), • pojem normy vektoru a její vlastnosti, • pojem ortogonality dvou vektorů, • pojem ortogonality a ortonormality skupiny vektorů, • rozumět pojmu ortonormální báze vektorového prostoru a umět jí nalézt, • umět pracovat s ortogonálním doplňkem vektorového podprostoru.

22 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 07 Skalární součin Matematika I. KIG / 1MAT1."

Podobné prezentace


Reklamy Google