Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 06 Vektorové prostory II Matematika I. KIG / 1MAT1.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 06 Vektorové prostory II Matematika I. KIG / 1MAT1."— Transkript prezentace:

1 Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 06 Vektorové prostory II Matematika I. KIG / 1MAT1

2 O čem budeme hovořit: • Báze vektorového prostoru • Dimenze vektorového prostoru • Souřadnice vektoru při dané bázi • Změna báze • Homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů

3 Báze vektorového prostoru

4 Definice báze vektorového prostoru Nechť je dán vektorový prostor [ W; + ]. Budeme říkat, že množina vektorů  u 1, u 2, u 3, …, u n  tvoří bázi tohoto vektorového prostoru, když tyto vektory splňují následující dvě podmínky: jsou to generátory tohoto prostoru, a jsou lineárně nezávislé.

5 Příklady bází vektorových prostorů Vektorový prostor uspořádaných čtveřic reálných čísel má prvky tvaru ( u 1, u 2, u 3, u 4 ). Jeho bází je například množina vektorů  (1; 0; 0; 0), (0; 1; 0; 0), (0; 0; 1; 0), (0; 0; 0; 1) . Vektorový prostor polynomů nejvýše druhého stupně má prvky tvaru a 2. x 2 + a 1. x + a 0. Jeho bází je například množina vektorů  x 2, x, 1 .

6 Dimenze vektorového prostoru

7 Počet prvků v bázích vektorového prostoru Budeme dále uvažovat jen takové vektorové prostory, které mají konečnou množinu generátorů – říká se jim konečně generované vektorové prostory. O takových prostorech lze dokázat následující větu: Má-li vektorový prostor konečnou množinu generátorů, pak všechny jeho báze mají stejný počet prvků.

8 Definice dimenze vektorového prostoru V konečně generovaném vektorovém prostoru podle předchozího platí, že všechny jeho báze jsou stejně početné, a můžeme tedy vyslovit tuto definici: Počet vektorů v bázi netriviálního konečně generovaného vektorového prostoru budeme nazývat dimenzí vektorového prostoru. Dimenze triviálního vektorového prostoru je nula.

9 Příklady dimenzí vektorových prostorů Triviální vektorový prostor je generován nulovým vektorem. Nemá bázi (proč ?) a jeho dimenze je 0. Vektorový prostor uspořádaných čtveřic reálných čísel má dimenzi 4. Bází je například množina vektorů  (1; 0; 0; 0), (0; 1; 0; 0), (0; 0; 1; 0), (0; 0; 0; 1) . Vektorový prostor polynomů nejvýše druhého stupně má dimenzi 3. Bází je například množina vektorů  x 2, x, 1 .

10 Souřadnice vektoru při dané bázi

11 Jednoznačnost souřadnic vektoru Z definice báze vyplývá, že každý vektor prostoru lze vyjádřit jednoznačně jako lineární kombinaci vektorů báze. Proč? Když bude platit a 1.u 1 + a 2.u 2 + … + a n.u n = b 1.u 1 + b 2.u 2 + … + b n.u n, získáme, že (a 1 – b 1 ).u 1 + (a 2 – b 2 ).u 2 + … + (a n – b n ).u n = 0, a pak a 1 = b 1  a 2 = b 2  a n = b n.

12 Definice souřadnic vektoru Nechť je dán vektorový prostor [ W; + ]. Nechť množina vektorů B =  u 1, u 2, u 3, …, u n  tvoří bázi tohoto vektorového prostoru. Nechť je libovolný vektor u  W vyjádřen ve tvaru u = a 1.u 1 + a 2.u 2 + … + a n.u n. Koeficienty v této lineární kombinaci se nazývají souřadnicemi vektoru vzhledem k dané bázi B.

13 Příklad na určení souřadnic vektoru Vektory u 1 = (1; 1; 0), u 2 = (1; 0; 1) a u 3 = (0; 1; 1) jsou bází aritmetického prostoru uspořádaných trojic. Máme vypočítat souřadnice vektoru w = (3; 4; 5). Hledejme tedy tři reálné koeficienty x, y a z takové, aby platilo x.u 1 + y.u 2 + z.u 3 = w. x.u 1 + y.u 2 + z.u 3 = x.(1; 1; 0) + y.(1; 0; 1) + z.(0; 1; 1) = = (x; x; 0) + (y; 0; y) + (0; z; z) = = (x + y; x + z ; y + z) = (3; 4; 5) Soustavě vyhovují čísla x = 1, y = 2, z = 3. Čísla 1, 2, 3 jsou souřadnicemi vektoru w při dané bázi.

14 Změna báze

15 Výpočet souřadnic vektoru při nové bázi Vektory u 1 = (1; 1; 0), u 2 = (1; 0; 1) a u 3 = (0; 1; 1) jsou bází aritmetického prostoru uspořádaných trojic, souřadnice vektoru w při této bázi jsou (a 1 ; a 2 ; a 3 ). Vektory v 1 = (1; 1; 1), v 2 = (1; 1; 0) a v 3 = (1; 0; 0) jsou jinou bází téhož aritmetického prostoru, vektor w má při této bázi jiné souřadnice (b 1 ; b 2 ; b 3 ). Vypočtěme je! Výsledek:b 1 = a 2 + a 3 b 2 = a 1 – a 2 b 3 = a 2 - a 3

16 Homomorfismus a izomorfismus vektorových prostorů

17 Definice Nechť jsou dány vektorové prostory W 1 a W 2. Zobrazení F vektorového prostoru W 1 do prostoru W 2 nazýváme homomorfismem, právě když splňuje tyto dvě podmínky: (  u,v  W 1 ) F(u+v) = F(u) + F(v) (  a  R) (  u  W 1 ) F(a.u) = a.F(u) Je-li zobrazení F prosté zobrazení vektorového prostoru W 1 na prostor W 2, nazýváme jej izomomorfismem.

18 Určení homomorfismu Homomorfismus vektorového prostoru W 1 do vektorového prostoru W 2 nejsnadněji určíme tak, že určíme obrazy vektorů báze prostoru W 1. Příklad: F (u 1 ) = v 1, F (u 2 ) = v 2, F (u 3 ) = v 3. Pak pro libovolné w = x.u 1 + y.u 2 + z.u 3  W 1 platí: F(w) = F( x.u 1 + y.u 2 + z.u 3 ) = = x.F(u 1 ) + y.F(u 2 ) + z.F(u 3 ) = = x.v 1 + y.v 2 + z.v 3 Jak poznáme, že jde o izomorfismus?

19 Co je třeba znát a umět? • Znát pojem báze vektorového prostoru, • umět nalézt bázi vektorového prostoru, • rozumět pojmu dimenze vektorového prostoru, • umět pracovat se souřadnicemi vektorů, • umět nalézt nové souřadnice vektoru při změně báze, • rozumět pojmům homomorfizmus a izomorfozmus vektorových prostorů.

20 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 06 Vektorové prostory II Matematika I. KIG / 1MAT1."

Podobné prezentace


Reklamy Google