Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

59. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Dualita Sloup 2008

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "59. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Dualita Sloup 2008"— Transkript prezentace:

1 59. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Dualita Sloup 2008

2 O čem budeme dnes večer hovořit? Seznámíme se s principem duality, který nám umožní nalézat překvapivé souvislosti v některých matematických disciplínách. Budeme se zabývat především: pravidelnými tělesy, Booleovou algebrou a projektivní geometrií.

3 Pravidelná tělesa

4 Jaká tělesa nazýváme platónská? Definice: Povrch těchto těles se skládá z navzájem shodných pravidelných n-úhelníků. V každém vrcholu tělesa se stýká stejný počet těchto n-úhelníků.

5 Co nám říká Eulerova věta? Nechť je dáno libovolné „jednoduché“ těleso. Počet jeho vrcholů označme V, počet jeho stěn označme S, a počet jeho hran označme H. Tato tři čísla spolu souvisejí vztahem, který se nazývá Eulerova věta. V + S = H + 2

6 Představme si, že stavíme model platónského tělesa, kde se v každém vrcholu stýká pět rovnostranných trojúhelníků. Složíme ho z S „rozpojených“ trojúhelníků (S je neznámé): Kolik mají tyto trojúhelníky vrcholů? Kolik vrcholů těchto trojúhelníků se při lepení modelu spojí do jednoho vrcholu tělesa? Jak vyjádříme počet vrcholů V? Kolik mají tyto trojúhelníky stran? Kolik stran těchto trojúhelníků se při lepení modelu spojí do jedné hrany tělesa? Jak vyjádříme počet hran H? Jak konstruovat platónská tělesa?

7 Počet vrcholů V a počet hran H jsme vyjádřili těmito vztahy: Toto těleso se nazývá pravidelný dvacetistěn. Má 20 stěn, 12 vrcholů a 30 hran. Co dostaneme dosazením do Eulerovy věty?

8 Přehled platónských těles Že existuje pouze pět platónských těles věděl již Eukleides. Název tělesaVSH pravidelný čtyřstěn446 pravidelný šestistěn (krychle)8612 pravidelný osmistěn6812 pravidelný dvanáctistěn pravidelný dvacetistěn122030

9 Jak k tělesu sestrojíme duální těleso? Středy stěn původního tělesa budou vrcholy duálního tělesa. Jestliže mají dvě stěny původního tělesa společnou hranu, pak odpovídající vrcholy duálního tělesa také spojíme hranou.

10 Booleova algebra

11 Začněme definicí Algebraickou strukturu (A, +,., , 0, 1) budeme nazývat Booleovou algebrou právě tehdy, platí-li pro libovolné její prvky tyto axiomy: a+b = b+a a.b = b.a (a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c) (a+b).c = (a.c)+(b.c)(a.b)+c = (a+c).(b+c) a+0 = a a.1 = a a+(  a) = 1 a.(  a) = 0

12 Modely Booleovy algebry Struktura ( A, +,., , 0, 1 ) má například tyto modely: množinový model ( Pot(N), , , ´, , N ) logický model ( F, , , , N, P )

13 Důkazy duálních vět Věta:(  a) a.a = a Důkaz: a = a.1 = a.(a+(  a)) = (a.a)+(a.(  a)) = (a.a)+0 = a.a Duální věta:(  a) a+a = a Důkaz: a = a+0 = a+(a.(  a)) = (a+a).(a+(  a)) = (a+a).1 = a+a

14 Další věty Booleovy algebry (  a) a.0 = 0  a+1 = 1 (  a)  (  a) = a  1 = 0   0 = 1 (  a) (  b)  (a+b) = (  a). (  b)   (a.b) = (  a) + (  b) atd. Pokuste se o jejich důkazy! Jaká je jejich interpretace v obou modelech?

15 Projektivní geometrie

16 Vytvořme si nejprve představu projektivní roviny Upřesnili jsme tedy tyto pojmy: vlastní a nevlastní body, přímky procházející daným nevlastním bodem, nevlastní přímka, kuželosečka. Udělejme ještě úmluvu o incidenci.

17 Základní incidenční axiomy Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Dvě různé přímky mají společný právě jeden bod. Jak to zapsat formulemi? (  A) (  B) A ≠ B  (  !p) A inc p  B inc p (  a) (  b) a ≠ b  (  !P) a inc P  b inc P Další axiomy projektivní roviny se dají sdružit do podobných dvojic! Jak tedy budeme aplikovat princip duality v projektivní rovině?

18 Pól a polára u kuželosečky Bod A je pólem přímky a, přímka a je polárou bodu A (vzhledem ke kuželosečce). Jaké vlastnosti mají dvojice pólu a jeho poláry? pol_polara.fig

19 Pascalova věta Průsečíky protilehlých stran šestiúhelníku kuželosečce vepsaného leží na jedné přímce. Pascalova_veta.fig Dokážete pomocí Pascalovy věty sestrojit tečnu v daném bodě kuželosečky? Dokážete zformulovat k Pascalově větě duální větu (tzv. Brianchonovu větu)?

20 Děkuji vám za pozornost.


Stáhnout ppt "59. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Dualita Sloup 2008"

Podobné prezentace


Reklamy Google