Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Komplexní čísla Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice nemá řešení.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Komplexní čísla Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice nemá řešení."— Transkript prezentace:

1 Komplexní čísla Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel, neboť V reálných číslech √-1 neexistuje. Tento výraz lze ale definovat jako existující. Obvykle se značí i = √-1 a nazývá se imaginární jednotka. Jednotku i lze násobit libovolným reálným číslem. Vzniklé součiny se nazývají čistě imaginární čísla – např. 5i, -2i, 0.125i a podobně. Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Komplexní čísla Imaginární čísla lze přičítat k reálným. Vznikají tak čísla komplexní, např. 3 + i, 2 – 5i, i, -6 – 5i a podobně. Množina komplexních čísel se značí C, je uzavřená vůči základním operacím (a tedy je tělesem). Libovolná odmocnina z jakéhokoliv komplexního čísla je opět komplexním číslem. Rovnice má řešení Komplexní čísla lze zobrazit v tzv. Gaussově rovině, kdy k reálné číselné ose přibude ještě jedna, která je na ni kolmá. Na té se vynášejí imaginární čísla. Každé komplexní číslo se tak zobrazí jako bod. Je zřejmé, že takto zkonstruo- vanou číselnou množinu nelze seřadit podle velikosti!

3 Gaussova rovina Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel Takováto dvojice reálných čísel pak může být interpretována jako souřad- nice v rovině. Každému komplexnímu číslu tedy jednoznačně odpovídá právě jeden bod v rovině :

4 Gaussova rovina Karl Friedrich Gauss Tato dvourozměrná analogie číselné osy se nazývá Gaussova rovina. Reálná čísla se zobrazí na vodorovné číselné ose, komplexní čísla s nenulovou imaginární složkou pak nad nebo pod ní.

5 Reálná a imaginární část, abs. hodnota Číslu a říkáme reálná část, číslu b imaginární část. Značíme Každému číslu z lze přiřadit absolutní hodnotu výrazem Geometricky se jedná o vzdálenost čísla z od počátku v Gaussově rovině: Im z = 6 Re z = 8 |z| = 10

6 Operace s komplexními čísly Definice 22. Buďte z 1 = a 1 + ib 1, z 2 = a 2 + ib 2 komplexní čísla. Řekneme, že z 1 = z 2 právě tehdy, když a 1 = a 2 a b 1 = b 2. Definice 23. Buďte z 1 = a 1 + ib 1, z 2 = a 2 + ib 2 komplexní čísla. Definujme jejich součet jako z = z 1 + z 2 takto : a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Definice 24. Buďte z 1 = a 1 + ib 1, z 2 = a 2 + ib 2 komplexní čísla. Definujme jejich součin jako z = z 1. z 2 takto : a = a 1.a 2 - b 1.b 2, b = a 1.b 2 + a 2.b 1. Pozn.: tato definice je zřejmá, roznásobíme-li mechanicky

7 Operace s komplexními čísly Definice 25. Buď z = a + ib komplexní číslo. Řekneme, že číslo z = a - ib je komplexně sdružené k číslu z. Pozn. : čísla z a z leží symetricky podle osy x. Platí z = z a vždy Definice 26. Buďte z = a + ib komplexní číslo. Definujme jeho převrácenou hodnotu jako Tato definice se stane zřejmou, uvědomíme-li si, že zjistit hodnotu výrazu 1/z je možné, pokud zlomek rozšíříme právě komplexně sdruženým číslem: V některé literatuře je komplexně sdružené číslo značeno

8 Operace s komplexními čísly Příklad Určete

9 Operace s komplexními čísly Příklad Určete

10 Mocniny v oboru C n-tá mocnina z komplexního čísla z je definována obdobně jako v R : n-krát Stejně jako v R platí: Speciálně pro imaginární jednotku i platí :

11 Goniometrický tvar komplexních čísel Každému komplexnímu číslu z = a + i.b lze jednoznačně přiřadit dvojici reálných čísel Tato čísla odpovídají bodu v rovině. Bod lze ale popsat i jinak, než sou- řadnicemi na osách – je možné použít i vzdálenost os počátku a úhel: [ a, b ] |z| φ r = 1 x φ Jednotková kružnice cos x cos φ sin x sin φ |z|. sin φ |z|. cos φ

12 Goniometrický tvar komplexních čísel Buď z = a + ib komplexní číslo. Goniometrickým tvarem čísla z nazýváme zápis Definice 27. kde pokládáme Úhel φ se nazývá argument komplexního čísla. Pro převod mezi algebraickým a goniometrickým tvarem slouží vzorce

13 Goniometrický tvar komplexních čísel Z goniometrického tvaru komplexních čísel je zjevné, že všechna čísla se stejným |z| leží na kružnici. Speciálně všechna čísla, pro která |z| = 1 se nazývají komplexní jednotky. |z|=5 |z|=4 |z|=1 Tj. na rozdíl od reálných čísel, kde rovnice |x| = a má nejvýše dvě řešení, rovnice |z| = a v oboru komplexním má řešení nekonečně mnoho!

14 Příklad Převeďte na goniometrický tvar čísla Goniometrický tvar komplexních čísel

15 Příklad Převeďte na goniometrický tvar čísla Goniometrický tvar komplexních čísel

16 Příklad Převeďte na goniometrický tvar čísla Goniometrický tvar komplexních čísel

17 Příklad Převeďte na goniometrický tvar čísla Goniometrický tvar komplexních čísel

18 Součin komplexních čísel v geom. tvaru Vezměme dvě libovolné komplexní jednotky (tj. čísla, pro která |z 1 | = |z 2 | = 1). Ta se dají vyjádřit jako vynásobme je mezi sebou : součtový vzorec Násobíme-li dvě komplexní jednotky, vyjde opět komplexní jednotka. Argument násobku je součtem argumentů obou činitelů. Zcela obecně pak platí Lze dokázat indukcí – zkuste si doma.

19 Podíl komplexních čísel v geom. tvaru Obdobným způsobem lze ukázat, že podíl dvou komplexních jednotek je respektive pro nejednotková komplexní čísla Při odvození těchto vzorců bychom použili rozšíření číslem komplexně sdruženým: Součin ve jmenovateli je zde roven jedné.

20 Moivreova věta Z předchozích vzorců vychází Moivreova věta o n-té mocnině komplexního čísla: Věta je triviálním důsledkem vzorce pro násobení komplexních čísel v goniomet- rickém tvaru : n-krát Tato věta může mimo jiné zjednodušit výpočty typu (1 – i ) 15 :

21 Odbočka : binomický rozklad Pro vzorec (x + y) n lze zapsat rozklad obecně jako Čísla a n nazýváme binomické koeficienty a mají velký hlavní význam v kombi- natorice. Pro rozklad binomického členu stačí vědět, že je lze získat z tzv. Pas- calova trojúhelníku. Ten sestavíme následovně: napíšeme jedničku dvě jedničkytři číslačtyři číslapět čísel

22 Odbočka : binomický rozklad n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7

23 Aplikace Moivreovy věty Pomocí binomického rozvoje a Moivreovy věty lze snadno odvodit součtové vzorce pro sinus a cosinus n-násobného úhlu: Moivreova větaBinomický rozvojRovnost dvou komplexních čísel

24 Aplikace Moivreovy věty Rovnost dvou komplexních čísel Rovnost platí, pokud se rovnají reálné a imaginární části : Obdobným způsobem odvoďte vzorce pro sin(3φ), cos(3φ) sin(4φ) a cos(4φ),. Příklad

25 Komplexní n-tá odmocnina Pro každé komplexní a a přirozené n je podle definice komplexní n-tá odmoc- nina čísla a tj. hledat n-tou odmocninu čísla a znamená řešit rovnici z n = a. Předpokládejme, že a ≠ 0 (pokud ano, je řešení triviálně z = 0) a zapišme si celý problém pomocí goniometrického tvaru a Moivreovy věty: Tato rovnost je splněna právě tehdy, když

26 Komplexní n-tá odmocnina Tato rovnost je splněna právě tehdy, když Jednoduchou úpravou dostáváme Číslo k nemusí probíhat všechna celá čísla, neboť výraz 2kπ / n pro jiná k než z výše uvedené množiny pouze dodá do funkcí sinus a cosinus nějaký násobek 2π navíc – a výsledky rovnice z n = a se začnou opakovat.

27 Komplexní n-tá odmocnina Z0Z0 Z1Z1 Z2Z2 Z n-2 Z n-1 n-tá komplexní odmoc- nina je nejednoznačná, existuje n variant roz- místěných pravidelně na kružnici. Reálná odmocnina má buď právě jednu variantu (n liché), nebo dvě (n su- dé).

28 Komplexní exponent Buď z komplexní jednotka. Exponenciálním tvarem čísla z nazýváme zápis Definice 28. Pozn. : tento tvar nabude na zřejmosti až probereme rozvoj funkcí v nekonečné řady. Exponenciální zápis komplexních čísel má výhodu, že s mocninou lze praco- vat standardním způsobem, jak je to známo z reálného oboru. Pozn. : Libovolné komplexní číslo lze zapsat v exponenciálním tvaru jako Pozn. : komplexních čísel se často využívá v elektrotechnických výpočtech, imagi- nární jednotka se v nich ale značí j – jinak by se pletla s elektrickým proudem (který se rovněž značí i).

29 Shrnutí Zavedení komplexních čísel, i = √-1 Gaussova rovina Reálná a imaginární část, absolutní hodnota Operace s komplexními čísly, číslo komplexně sdružené Mocniny v oboru C Goniometrický tvar komplexních čísel Součin a podíl C čísel v goniometrickém tvaru Moivreova věta a její použití n-tá odmocnina v C Exponenciální tvar komplexních čísel


Stáhnout ppt "Komplexní čísla Při výpočtu algebraických rovnic s vyšším exponentem lze narazit na nemožnost řešení v oboru reálných čísel. Například rovnice nemá řešení."

Podobné prezentace


Reklamy Google