Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic Autoři: Mgr. Marie Zahrádková, Mgr. Renata Žárská Projekt „EUROgymnázia“

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic Autoři: Mgr. Marie Zahrádková, Mgr. Renata Žárská Projekt „EUROgymnázia“"— Transkript prezentace:

1 Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic Autoři: Mgr. Marie Zahrádková, Mgr. Renata Žárská Projekt „EUROgymnázia“

2 Úvod Prezentace je určena žákům, kteří preferují optické vnímání učiva, kteří rádi pracují u PC doma a učí se. Také slouží vyučujícím pro zjednodušení výkladu či skupinové (samostatné) práci ve vyučování.

3 Obsah 1.Lineární rovnice – úpravy, řešení 2.Lineární rovnice s absolutní hodnotou 3.Rovnice v součinovém tvaru 4.Rovnice v podílovém tvaru 5.Soustava dvou rovnic se dvěma neznámými 6.Soustava tří rovnic se třemi neznámými 7.Kvadratické rovnice – řešení obecné rovnice, ryze kvadratické, bez absolutního členu 8.Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice 9.Soustava kvadratické a lineární rovnice 10.Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou 11.Iracionální rovnice

4 LINEÁRNÍ ROVNICE SOUSTAVA DVOU ROVNIC SE DVĚMA NEZNÁMÝMI V PODÍLOVÉM TVARU V SOUČINOVÉM TVARU ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU ROVNICE ŘEŠENÉ SUBSTITUCÍ GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNICE

5 Řešení lineárních rovnic  Definiční obor rovnice (případné podmínky řešení)  Ekvivalentní úpravy řešení rovnice  Zápis řešení  Zkouška rovnice

6 Ekvivalentní úpravy rovnic  Přičtení a odečtení reálného čísla (výrazu s neznámou  Vynásobení reálnými čísly vyjma nuly (výrazem s neznámou)  Vydělení reálnými čísly vyjma nuly (výrazem s neznámou)

7 Příklady táhnou Řeš v R Definiční obor je jednoduchý – za x mohu dosazovat jakékoliv reálné číslo – D=R Levou i pravou stranu rovnice vynásobím třemi (každý člen rovnice) => K oběma stranám rovnice přičteme 63x => K oběma stranám rovnice přičteme 10 Celou rovnici vydělíme 64 Výsledek zapíšeme

8 Zkouška Srovnáme výpočet zvlášť pro levou a pravou stranu rovnice a porovnáme výsledky L = P

9 Příklad 2 Řeš v R *3*(x-2) / Do prvního ani do druhého zlomku nemůžu dosadit 2, protože ve jmenovateli by byla 0. nebo Nebo napíšu podmínku Volím podle zadání, nebo přání vyučujícího. Zkouška L = P

10 Příklad 3 Řeš v R Nějak mnoho jmenovatelů, tak si nejdříve upravíme složené zlomky! Vidíme D ihned D=R a zase ekvivalentní úpravy /*24 6-x-(x+1)=2*(3-x)-5 6-x-x-1=6-2x-5 5-2x=1-2x 0x=-4 K=Ø(K={ }) /+2x Na levé straně rovnice bude vždy 0, na pravé vždy -4. Neexistuje x, které by vyhovovalo rovnosti

11 Příklad 4 Řeš v R (5x+8)(3x+10)=(4x+9 )2 -(x-1) 2 15x 2 +50x+24x+80=16x 2 +72x+81-(x 2 -2x+1) 15x 2 +74x=15x 2 +74x+80 74x+80=74x+80 / -15x 2 / -74x 0x=0 K=R Na první pohled to přece není lineární rovnice, ale vzorečky známe – co když je tam ukrytá? A už máme lineární rovnici! Na levé straně máme vždy 0, ať dosadíme jakékoliv reálné číslo. Na pravé straně je také 0.

12 Jaké řešení lineární rovnice může vyjít? 1. Jediné řešení 2. Nemá žádné řešení 3. Nekonečně mnoho řešení příklady 1 a 2; x=2 => K={2} příklad 3; 0x=-4 => K={ } příklad 4; 0x=0 => K=R ? A JAK TO VYPADÁ GRAFICKY ?

13 Grafické řešení rovnice s jednou neznámou Výraz na každé straně rovnice představuje přímku (y=ax+b), kterou narýsujeme pomocí dvou bodů Přímky se protnou, rovnice má jediné řešení x=3 Přímky jsou rovnoběžné rovnice nemá žádné řešení Přímky splývají, mají mnoho společných bodů => nekonečně mnoho řešení Vyřešte rovnice i algebraicky 7272

14 Lineární rovnice s absolutní hodnotou ► pomocí definice ► geometrickou interpretací vzdálenosti dvou bodů ► pomocí nulových bodů absolutní hodnoty X≥0 │x│=x X<0 │x│=-x (│a-b │=│b-a│) (│x-a │ x-a=0 => x=a a je nulový bod) Rovnici řešíme buď:

15 K 1 =0 Příklad 2 │x-1 │- 3 = 5x a můžeme řešit a řešíme K2=K2= Celkové řešení

16 2 │x-1 │- 3 = 5x Stejný příklad můžeme řešit i pomocí nulového bodu x-1=0 x=1 nulový bod patří do intervalunepatří do intervalu K 2 =0 K1=K1= K=

17 Pomocí vzdálenosti bodů tento příklad není vhodné řešit ALE: Vzdálenost bodu X od jedničky je

18 Rovnice v součinovém tvaru Tj. tvar rovnice, kde na jedné straně rovnice se vyskytuje součin výroků a na druhé straně 0. Součin je roven 0, jestliže alespoň jeden z činitelů je roven 0. Tento tvar rovnice nám umožňuje řešit i rovnice vyšších stupňů už teď, kdy umíme řešit jen lineární.

19 Rovnice v součinovém tvaru (x-2)(x+3)=0

20 Rovnice v součinovém tvaru x+1=0 x 1 =-1 x+2=0 x 2 =-2 x-2=0 x 3 =2 VV K={-2,-1,2} Rovnice třetího stupně může mít nejvýše 3 kořeny

21 Rovnice v podílovém tvaru Tj, tvar rovnice, kde na jedné straně rovnice se vyskytuje podíl výrazů a na druhé straně 0. Podíl je roven 0 právě když je čitatel zlomku roven 0.

22 Rovnice v podílovém tvaru D=R\{-1} x-2=0 x=2 K= {2}

23 Rovnice v podílovém tvaru D=R\{4} (2x-1)(x+3)=0 Součinový tvar 2x-1=0 x+3=0 x 2 =-3

24 Rovnice v podílovém tvaru 1) Řešení algebraické a) Sčítací metoda 2x-y=1 x-2y=-7 /*(-2) -4x+2y=-2 x-2y=-7 sečteme -3x=-9 x=3 Z 1. rovnice vyjádříme y y=2x-1 y=2*3-1 y=5 Soustava má jedno řešení – uspořádanou dvojici [x,y] K= {[3,5]}

25 Soustava dvou rovnic o dvou neznámých 1) Řešení algebraické b) Dosazovací metoda x-y=2 3y-3x-2 Z první rovnice vyjádříme y y=x-2 Do druhé rovnice dosadíme 3(x-2)=3x-2 3x-6=3x-2 0x=4 Soustava nemá řešení K=0

26 1) Řešení algebraické c) srovnávací metoda Využijeme vztahu y=y Z obou rovnic vyjádříme y Soustava má nekonečně mnoho řešení. Řešení je ve tvaru uspořádaných dvojic.

27 Řešení grafické 2x-y=1 X-2y=-7 Každou rovnici vyjádříme ve tvaru funkce: f g [x,y] Přímky se protínají. Soustava má jediné řešení. Viz algebraické řešení.

28 x-y=2 3y=3x-2 -2 g f Přímky jsou rovnoběžné. Nemají nic společného. Soustava nemá řešení.

29 g f Přímky splývají. Mají nekonečně mnoho společných bodů Soustava nemá nekonečně mnoho řešení. Řešením jsou dvojice [x,y]

30 KVADRATICKÁ ROVNICE KVADRATICKÉ ROVNICE ŘEŠENÉ SUBSTITUCÍ VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU SOUSTAVA KVADRATICKÉ A LINEÁRNÍ ROVNICE

31 KVADRATICKÉ ROVNICE je vyjádřena tvarem ax 2 +bx+c=0, kde KVADRATICKÝ ČLEN ABSOLUTNÍ ČLEN LINEÁRNÍ ČLEN Čísla a, b,c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice

32 Typy kvadratických rovnic ► obecná kvadratická rovnice ► kvadratická rovnice bez absolutního členu ► ryze kvadratická rovnice ax 2 +bx+c=0 ax 2 +c=0

33 Obecná kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorce

34 Obecná kvadratická rovnice Příklad 1 K={2,⅔}

35 Obecná kvadratická rovnice Příklad 2 K=0

36 Obecná kvadratická rovnice Příklad 3 řešením je dvojnásobný kořen

37 Kvadratická rovnice bez absolutního členu Řešíme vytýkáním Příklad: 3x 2 +5x=0 x(3x+5)=0 x 1 =0 x2=x2=

38 Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a 2 -b 2 =0 Příklad 1:

39 Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a 2 -b 2 =0 Příklad 2:

40 Ryze kvadratická rovnice Řešíme pomocí vzorečku a 2 -b 2 =0 Příklad 3: Nemá řešení

41 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice x 2 +px+q=0 platí 2 vztahy (Viètovy) Využití najdeme v příkladech Aniž rovnici řešíte určete druhý kořen rovnice x 2 -9x-2142=0 Je-li x 1 =52 x 1 +x 2 =9 51+x 2 =9 x 2 =9-51=-42

42 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Pro kvadratickou rovnici ax 2 +bx+c=0 platí obdobné vztahy

43 Ukažme si to na příkladu Aniž rovnici 5x 2 +8x+5=0 řešíte sestavte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou čísla třikrát větší než kořeny původní rovnice to platí pro původní rovnici, ale my hledáme koeficienty a,b,c takže: upravíme: dosadíme: rozšíříme 5 a=5 b=24 c=45 => Hledaná rovnice je 5x 2 +24x+45=0

44 Soustava kvadratické a lineární rovnice V analytické geometrii se často řeší soustavy rovnice kvadratické a lineární. soustava x 2 +y 2 =20 2x+y-6=0 znamená, že hledáme společné body kružnice a přímky

45 Řešení: x 2 +y 2 =20 2x+y-6=0 Z lineární (jednodušší) rovnice si vyjádříme třeba y=-2x+6 a do kvadratické dosadíme. x 2 +(-2x+6) 2 =20 ……. dostáváme kvadratickou rovnici s jednou neznámou x 2 +4x 2 -24x+36-20=0 5x 2 -24x+16=0 D=b 2 -4ac= *5*16=256 společné body jsou: // geometrická interpretace Řešením soustavy je

46 Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou můžeme řešit dvojím způsobem. Ukážeme si je na příkladech.

47 Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou nulový bod je 1 rozdělíme definiční obor na dva intervaly vřešíme rovnici x 2 +(-x+1)-1=0 x 2 -x=0 (x-1)x=0 x 1 =1 x 2 =0 oba kořeny leží v => vřešíme rovnici x 2 +(x-1)-1=0 x 2 +x-2=0 (x+2)(x-1)=0 x 1 =-2 x 2 =1 ani jeden z kořenů neleží v daném intervalu =>

48 a) ……………. ……………. součinový tvar rovnice součin je kladný v intervalech b) …………… výraz je záporný v intervalu

49 Iracionální rovnice Rovnice s neznámou pod odmocninou Iracionální rovnice řešíme umocněním rovnice, což je důsledková úprava (tzn, že by mohlo vyjít více kořenů, než ve skutečnosti je). Tento problém ošetříme: a)Dobře provedeným definičním oborem rovnice nebo b) Zkouškou

50 Příklad 1 Určení definičního oboru: „ druhá mocnina z nezáporného čísla je definována jako nezáporné číslo. 012

51 Příklad 2 POZOR! Musíme umocnit celou stranu rovnice vzoreček 42 2

52 Zkouška


Stáhnout ppt "Lineární rovnice Kvadratické rovnice Soustavy rovnic Autoři: Mgr. Marie Zahrádková, Mgr. Renata Žárská Projekt „EUROgymnázia“"

Podobné prezentace


Reklamy Google