Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou Při řešení rovnic, v nichž neznámá je pod odmocninou, budeme někdy obě strany rovnice umocňovat na druhou.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou Při řešení rovnic, v nichž neznámá je pod odmocninou, budeme někdy obě strany rovnice umocňovat na druhou."— Transkript prezentace:

1 Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou Při řešení rovnic, v nichž neznámá je pod odmocninou, budeme někdy obě strany rovnice umocňovat na druhou. Jedná se o důsledkovou úpravu, při níž se sice žádné řešení neztratí, ale některá řešení můžou přibýt. Zda vypočtená řešení jsou vskutku řešeními výchozí rovnice, budeme zjišťovat zkouškou. Ovšem v případě, kdy pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž rovnici řešíme, jsou obě její strany nezáporné nebo obě nekladné, je umocnění obou stran rovnice úpravou ekvivalentní. V takovém případě proto není zkouška nutná. Leoš Turnovský

2 Příklad 1 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení/ 2 Jediným možným kořenem dané rovnice je číslo. Zkouška Zkouška prokázala, že číslo danou rovnici opravdu splňuje.

3 Příklad 1 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení Odmocnina na levé straně je definovaná pouze tehdy, když, tj. pro. Rovnici tedy řešíme v intervalu. Pro každé číslo x z tohoto intervalu jsou obě strany dané rovnice nezáporné, jejich umocnění na druhou je proto v intervalu ekvivalentní úpravou. Stejně jako v 1. způsobu řešení vypočteme. Protože, je číslo (jediným) kořenem dané rovnice. (Po předchozích úvahách zkoušku dělat nemusíme.)

4 Příklad 2 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení/ 2 Zkouška Jediným možným kořenem dané rovnice je číslo.

5 Příklad 2 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení Danou rovnici řešíme v intervalu. Levá strana má pro každé nezápornou hodnotu, rovnici proto nemůže splňovat žádné číslo x, pro které je pravá strana záporná, tj. žádné. Pro všechna řešení dané rovnice musí tedy platit. Proto stačí, budeme-li rovnici řešit v intervalu Pro jsou obě strany nezáporné, umocnění na druhou je tedy v intervalu ekvivalentní úpravou. Z vypočtených kořenů, patří do intervalu pouze druhý. Daná rovnice má jediné řešení.

6 Příklad 3 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení/ 2 Zkouška Při provádění zkoušky zjistíme, že pro y = 2 nejsou odmocniny v dané rovnici definovány, výrazy 5 – 5y a 3y – 11 mají totiž pro y = 2 zápornou hodnotu -5. Daná rovnice nemá žádné řešení.

7 Příklad 3 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení Aby byly obě odmocniny definovány, musí platit a zároveň, tj. a zároveň, což však neplatí pro žádné číslo y. Nemusíme tedy nic počítat a můžeme rovnou prohlásit, že daná rovnice nemá žádné řešení.

8 Příklad 4 Řešte rovnici Řešení / 2 / 2 / 2 Zkouškou zjistíme, že kořenem dané rovnice je pouze číslo.

9 Příklad 5 Řešte rovnici Řešení Protože výrazje definován pro každéa protože pro každé jsou obě strany rovnice nezáporné, je tentokrát umocnění na druhou ekvivalentní úpravou: / 2

10 Příklad 6 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení 1. způsob řešení Umocněním na druhou a jednoduchou úpravou dostaneme rovnici. Jejím řešením je každé. Avšak ne každé reálné číslo x je řešením dané rovnice. Zkoušku dosazováním jednotlivých čísel tentokrát provést nelze (těchto čísel je nekonečně mnoho). Pokračování na další straně.

11 Příklad 6 Řešte rovnici Řešení 1. způsob řešení 1. způsob řešení Uvažujeme takto: Kvadratický trojčlen pod odmocninou má dvojnásobný kořen, jeho rozklad na kořenové činitele je, proto je nezáporný pro všechnadefinovaná. Levá strana je pro každé nezáporná, řešením proto mohou být pouze ta čísla x, pro něž je nezáporná i pravá strana, tj. pouze čísla. Můžeme tedy omezit na řešení dané rovnice v tomto intervalu, který je zároveň jejím řešením.

12 Příklad 6 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení 2. způsob řešení Upravíme levou stranu: Daná rovnice je tedy ekvivalentní s rovnicí tj. Řešením jsou právě všechna čísla x, pro která platí tj, Pokračování na další straně.

13 Příklad 6 Řešte rovnici Řešení 2. způsob řešení 2. způsob řešení Nyní přikročíme k nerovnicím s neznámou pod odmocninou. Nejprve si rozmyslíme, jak je to u nich s umocňováním na druhou. Nyní přikročíme k nerovnicím s neznámou pod odmocninou. Nejprve si rozmyslíme, jak je to u nich s umocňováním na druhou. Je jasné, že pro libovolná dvě nezáporná čísla a, b platí a d 2. Je jasné, že pro libovolná dvě nezáporná čísla a, b platí a d 2. Proto v případě, kdy pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž nerovnici řešíme, jsou obě její strany nezáporné, resp. obě nekladné, je umocnění obou stran nerovnice na druhou ekvivalentní úpravou; v případě nezápornosti obou stran se znak nerovnosti nemění, v případě jejich nekladnosti musíme znak nerovnosti obrátit. Proto v případě, kdy pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel, v níž nerovnici řešíme, jsou obě její strany nezáporné, resp. obě nekladné, je umocnění obou stran nerovnice na druhou ekvivalentní úpravou; v případě nezápornosti obou stran se znak nerovnosti nemění, v případě jejich nekladnosti musíme znak nerovnosti obrátit. Jestliže je jedna strana nerovnice nezáporná a druhá nekladná, vidíme na první pohled, je-li nerovnice splněna, nebo ne.

14 Příklad 7 Řešte rovnici Řešení Kvadratický trojčlen pod odmocninou má záporný diskriminant a kladný koeficient kvadratického členu, proto je kladný a odmocnina je definovaná pro každé. Levá strana dané rovnice je vždy kladná. Podle znaménka pravé strany rozlišíme dva případy. a) Pro všechna je levá strana kladná a pravá strana záporná, všechna tato x proto danou nerovnici splňují. b) Pro jsou obě strany nerovnice nezáporné. Umocněním obou stran na druhou (v intervalu jde o ekvivalentní úpravu) dostaneme nerovnici jejímž řešeními jsou všechna. Množina všech řešení dané jejímž řešeními jsou všechna. Množina všech řešení dané nerovnice v intervalu je nerovnice v intervalu je Množina všech řešení dané rovnice v R je Množina všech řešení dané rovnice v R je Danou rovnici splňuje každé reálné číslo Danou rovnici splňuje každé reálné číslo

15 Příklad 8 Řešte rovnici Řešení Kvadratický trojčlen pod odmocninou je nezáporný pro. Pouze pro tato u je odmocnina definovaná. Danou nerovnici tedy řešíme v intervalu. Pro všechna je levá strana nezáporná a pravá strana kladná. Umocnění na druhou je proto pro ekvivalentní úpravou: / 2 Množina všech řešení dané nerovnice je

16 Úlohy


Stáhnout ppt "Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou Při řešení rovnic, v nichž neznámá je pod odmocninou, budeme někdy obě strany rovnice umocňovat na druhou."

Podobné prezentace


Reklamy Google