Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

RF 6.2.4. Geometrický parametr reaktoru různého tvaru Hledáme řešení vlnové rovnice: Řešení musí vyhovovat podmínkám:  hustota toku neutronů na extrapolovaném.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "RF 6.2.4. Geometrický parametr reaktoru různého tvaru Hledáme řešení vlnové rovnice: Řešení musí vyhovovat podmínkám:  hustota toku neutronů na extrapolovaném."— Transkript prezentace:

1 RF Geometrický parametr reaktoru různého tvaru Hledáme řešení vlnové rovnice: Řešení musí vyhovovat podmínkám:  hustota toku neutronů na extrapolovaném rozhraní je rovna nule  hustota toku neutronů musí být ve zkoumaném reaktoru symetrická, nezáporná a konečná

2 RF 1. Reaktor ve tvaru kvádru Obr. 6.3 – Reaktor ve tvaru kvádru a průběh hustoty toku neutronů ve směru osy x

3 RF Vlnová rovnice má tvar: Okrajové podmínky: Hustota toku neutronů  (x,y,z) musí být konečná a nezáporná v celém reaktoru  (x,y,z) = 0 pro x = ± a’/2, y = ± b’/2, z = ± c’/2 Substituce: Po úpravě dostaneme rovnici: Každý z prvních tří sčítanců závisí jen na jedné proměnné  každý z nich můžeme položit rovný konstantě:

4 RF Po dosazení dostaneme pro konstanty podmínku: Ukážeme, že konstanty  2,  2 a  2 musí být kladné veličiny. Řešíme diferenciální rovnici s proměnnou x: Řešení této rovnice závisí na konstantě  2. Pro  2 > 0 : Pro  2 < 0 : -A, C, A’ a C’ jsou libovolné konstanty - z podmínek pro řešení dostaneme: C = C’ = A’ = 0 

5 RF Z uvedeného rozboru je vidět, že konstanta  2 musí být kladná. Z druhé okrajové podmínky dostaneme: Protože řešení A = 0 je triviální, musí být Tato podmínka bude splněna, když položíme: Nejmenší hodnota veličiny  je pro n = 1  Řešení rovnice můžeme potom napsat ve tvaru:

6 RF Stejným způsobem dokážeme, že i veličiny  2 a  2 musí mít reálnou a kladnou hodnotu, protože mezi proměnnými x, y, a z není podstatný rozdíl. Můžeme psát: Závislost geometrického parametru na rozměrech tohoto reaktoru bude potom vyjádřena vztahem: Průběh hustoty toku neutronů v kritickém reaktoru obdržíme dosazením funkcí X(x), Y(y) a Z(z): Konstanta  0 je hodnota hustoty toku neutronů pro x = y = z = 0 a závisí na výkonu reaktoru.

7 RF 2. Kulový reaktor - použijeme sférické souřadnice - počátek souřadného systému položíme do středu koule Laplaceův operátor bude mít tvar: Vlnová rovnice: Okrajové podmínky jsou stejné jako v případě reaktoru ve tvaru kvádru. Pro řešení vlnové rovnice provedeme transformaci:  Geometrický parametr má kladnou hodnotu, proto můžeme řešení této rovnice napsat ve tvaru:

8 RF Hustota toku neutronů mu¨sí být konečná: C = 0 Potom řešení bude mít tvar: Druhá okrajová podmínka požaduje, aby hustota toku na extra- polovaném poloměru kulového reaktoru byla rovna nule: Aby řešení bylo netriviální (tj. A  0), musí platit: Rovnice je splněna, když B G = n  /R’, kde n je celé číslo. Nejnižší vlastní hodnota je pro n = 1. Proto geometrický parametr kulového reaktoru: a rozložení hustoty toku neutronů: kde opět konstanta úměrnosti  0 závisí na výkonu reaktoru.

9 RF 3. Válcový reaktor Obr. 6.4 – Válcový reaktor a rozložení hustoty toku neutronů: 1-  (r,0); 2-  (0,z)

10 RF - používá se válcová symetrie - válec orientujeme tak, že osa válce bude totožná s osou z a počátek souřadnicového systému položíme do jeho středu:  =  (r,z) Laplaceův operátor bude mít tvar: Vlnová rovnice: Okrajové podmínky:  funkce  (r,z) musí být všude konečná a nezáporná  hustota toku neutronů musí být nulová na extrapolovaných rozhraních: a) b)

11 RF Řešení vlnové rovnice hledáme separací proměnných r a z: Po dosazení a po úpravě získáme rovnici: První člen závisí jen na souřadnici r, druhý jen na souřadnici z, proto můžeme každý z nich položit rovný konstantě: Po dosazení:

12 RF Nejprve vyřešíme rovnici: po úpravě dostaneme: Zavedením nové nezávisle proměnné u =  r můžeme tuto rovnici upravit na Besselovu rovnici nultého řádu: kde jsme dosadili za a za Pokud bude veličina u 2 a tedy i  2 kladná, bude obecné řešení Besselovy rovnice: J 0, Y 0 - Besselovy funkce nultého řádu prvého a druhého druhu

13 RF Pokud má veličina u 2 zápornou hodnotu, řešením Besselovy rovnice jsou modifikované Besselovy funkce I 0 a K 0. Protože funkce I 0 a K 0 nevyhovují okrajovým podmínkám této úlohy, musíme je vyloučit. Z průběhu funkcí J 0 a Y 0 na obr.6.5 je vidět, že musíme vyloučit i funkci Y 0, protože pro veličinu u  0 klesá do - . Obr. 6.5

14 RF Po dosazení původní nezávisle proměnné bude mít řešení tvar: Vztah pro veličinu  určíme z okrajové podmínky pod bodem 2/a: Konstanta A nemůže být rovna nule, proto musí platit : Besselova funkce J 0 (x) má n vlastních hodnot x n, kde n je celé číslo. Nejnižší vlastní hodnota této funkce je pro n = 1, x 1 = 2,405. Pro tuto vlastní hodnotu dostáváme i nejnižší hodnotu veličiny  : Radiální rozložení hustoty toku neutronů ve válcovém reaktoru je potom vyjádřeno vztahem:

15 RF Řešení rovnice pro axiální rozložení hustoty toku neutronů určíme analogickým způsobem jako pro reaktor ve tvaru kvádru. Řešení bude mít tvar: a veličina: Po dosazení získáme pro geometrický parametr válcového reaktoru vztah ve tvaru: Rozložení hustoty toku neutronů ve válcovém reaktoru, který je v kritickém stavu, můžeme potom vyjádřit funkcí:

16 RF Pro r = 0 je funkce J 0 (  r) = 1 a cos(  z) = 1 pro z = 0, bude proto konstanta  0 představovat maximální hodnotu hustoty toku neutronů v geometrickém středu reaktoru, která je opět úměrná jeho výkonu. Veličiny  2 a  2 ve vztahu pro geometrický parametr (laplasián), se někdy nazývají radiální a axiální složka laplasiánu.


Stáhnout ppt "RF 6.2.4. Geometrický parametr reaktoru různého tvaru Hledáme řešení vlnové rovnice: Řešení musí vyhovovat podmínkám:  hustota toku neutronů na extrapolovaném."

Podobné prezentace


Reklamy Google