Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů Přednáška 7. P Ř E D N Á Š K A 7 MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů Přednáška 7. P Ř E D N Á Š K A 7 MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ."— Transkript prezentace:

1 1 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů Přednáška 7. P Ř E D N Á Š K A 7 MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ

2 2 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. I. Momenty setrvačnosti a deviační momenty fyzikálních objektů hmotné momenty setrvačnosti a hmotné deviační momenty desek hmotné momenty setrvačnosti a hmotné deviační momenty těles II. Momenty setrvačnosti a deviační momenty geometrických útvarů momenty setrvačnosti a deviační momenty ploch momenty setrvačnosti a deviační momenty objemů

3 3 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. r - vzdálenost od bodu  polární moment setrvačnosti r - vzdálenost od osy  axiální moment setrvačnosti r - vzdálenost od roviny  planární moment setrvačnosti Obecná definice momentu setrvačnosti: Hmotný moment setrvačnosti dm - element hmotnosti fyzikálního objektu Moment setrvačnosti objemu dV - element objemu fyzikálního objektu Moment setrvačnosti plochy dA - element plochy fyzikálního objektu Když

4 4 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY ROVINNÝCH OBRAZCŮ Souřadnicová soustava průřezu prutu

5 5 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Rovinný obrazec (průřez prutu) v souřadnicové soustavě yz P≡O Axiální momenty setrvačnosti k ose y a z jsou definovány vztahy: Deviační moment je definován vztahem Polární moment setrvačnosti je definován vztahem: Centrální moment setrvačnosti je moment setrvačnosti k libovolné ose, která prochází těžištěm.

6 6 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Věty: 1. Axiální momenty setrvačnosti a polární moment setrvačnosti nabývají vždy kladné hodnoty. (Tato věta vychází z definice – druhá mocnina vzdálenosti je kladná a obsah je také kladná hodnota.) 2. Deviační moment může nabýt kladné nebo záporné hodnoty. (Opět věta vychází z definice, součin dvou souřadnic závisí na jejich znaménkách.) 3. Deviační moment k osám, z nichž alespoň jedna je osou symetrie, se rovná nule. (Opět věta vychází z definice.)

7 7 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. x y x y dA b/2 h/2 0

8 8 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. r y x 0 protože

9 9 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. STEINEROVA VĚTA Pomocí Steinerovy věty lze určit momenty setrvačnosti a deviační moment k mimotěžišťovým osám, které jsou s osami těžišťovými rovnoběžné. Potřebujeme znát: plochu obrazce, polohu těžiště, velikosti momentů setrvačnosti a deviační moment, vzdálenosti k mimotěžišťovým osám. P≡O Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné mimotěžišťové ose Deviační moment k libovolným dvěma mimotěžišťovým osám y,z

10 10 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Důkaz Steinerovy věty: P≡O kde je statický moment k těžišťové ose

11 11 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Příklad r x y 0 T [2r,r] xTxT yTyT T

12 12 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. AXIÁLNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENT K POOTOČENÝM SOUŘADNICOVÝM OSÁM y z z y     z P≡O dA Vyjádříme transformační vzorce pro souřadnice a Podle definice vyjádříme moment setrvačnosti k pootočené ose a dosadíme transformační vzorce.

13 13 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Podobně Deviační moment

14 14 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. HLAVNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI Při rotaci souřadnicových os, existuje taková jejich poloha, při kterých nabývají axiální momenty setrvačnosti k těmto osám extrémních hodnot, tzn., že jeden moment setrvačnosti je maximální a druhý minimální, a deviační moment je nulový. Důkaz: Vyšetříme nulovou první derivaci momentu setrvačnosti v natočených souřadnicích obdobně

15 15 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Extrémních hodnot dosahují momenty setrvačnosti pro úhel, při kterém je pak deviační moment k osám, roven nule a vypočítá se z rovnice: potom Osy, jejichž poloha je určena úhly a nazýváme hlavní osy setrvačnosti. Potom platí pro ně platí: a hlavní momenty setrvačnosti jsou

16 16 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Po vyloučení úhlu lze napsat též pro určení hlavních momentů setrvačnosti vztah Platí opět invariantní vztah:

17 17 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Věta o hlavních osách setrvačnosti Hlavní osa setrvačnosti, ke které je moment setrvačnosti maximální, prochází 2. a 4. kvadrantem souřadnicové soustavy tehdy, je-li deviační moment. Je-li deviační moment, prochází hlavní osa, ke které je moment setrvačnosti maximální 1. a 3. kvadrantem. Těžišťové osy, ke kterým je deviační moment roven nule, nazýváme hlavními centrálními osami setrvačnosti. Je-li jedna z os osou symetrie, je tato osa přímo hlavní centrální osou setrvačnosti a na ní leží také těžiště. Známe-li hlavní osy setrvačnosti a příslušné hlavní momenty setrvačnosti, platí pro libovolnou osu natočenou o úhel  od hlavní osy y 0 (resp. x 0 pro souřadnicový systém xy )

18 18 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. MOMENTY SETRVAČNOSTI A DEVIAČNÍ MOMENTY SLOŽENÝCH OBRAZCŮ 1. Moment setrvačnosti složeného rovinného obrazce k osám y, z určíme jako součet axiálních momentů setrvačnosti jednotlivých základních obrazců k osám y, z. 2. Obdobně deviační moment. 3. Použitím tabulek nebo vzorců stanovíme známé momenty setrvačnosti pro jednotlivé základní obrazce a pomocí Steinerovy věty vypočítáme momenty setrvačnosti a deviační moment k osám y a z.

19 19 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 7. Příklady použití Průhyb nosníku q l Kritické břemeno při vzpěrném tlaku P l


Stáhnout ppt "1 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů Přednáška 7. P Ř E D N Á Š K A 7 MOMENTY SETRVAČNOSTI GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ."

Podobné prezentace


Reklamy Google