Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

ANALÝZA KONSTRUKCÍ 6. přednáška. Nosné stěny – rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti:  Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(x,y), v(x,y)

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "ANALÝZA KONSTRUKCÍ 6. přednáška. Nosné stěny – rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti:  Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(x,y), v(x,y)"— Transkript prezentace:

1 ANALÝZA KONSTRUKCÍ 6. přednáška

2 Nosné stěny – rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti:  Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(x,y), v(x,y) Výchozí rovnice: statické  Silovou metodou Primární neznámá: funkce napětí F(x,y) Výchozí rovnice: rovnice kompatibility – vyjádřená ve složkách napětí – Lévyho podmínka

3 Silová metoda a)Statické rovnice Je-li zatížení pouze po obvodě, položíme objemové síly b)Rovnice kompatibility 3) Celkem 3 neznámé:  x  y  xy 2 rovnice statické, 1 rovnice kompatibility Z fyzikálních (konstitutivních) rovnic pro rovinnou napjatost dosadíme za  x  y  xy

4 Fyzikální rovnice: Po dosazení do 3) Ze statické rovnice 2) Ze statické rovnice 1) Zůstane

5 Opětovným dosazením ze statických rovnic: Laplaceův operátor: Rovnice kompatibility ve složkách napětí – Lévyho podmínka:

6 c)Řešení soustavy rovnic pomocí funkce napětí F 1) 2) 3) 3 parciální diferenciální rovnice 3 neznámé:  x  y  xy Zavedením tzv. Airyho funkce napětí F lze soustavu převést na jedinou rovnici 4. řádu:

7 1) 2) 3) Dosazením Airyho funkce do rovnic: Stěnová rovnice Rozepsáním: Biharmonická rovnice

8 Řešení stěnové rovnice: V uzavřeném tvaru (složité, téměř nemožné) Přibližné řešení – převedením na soustavu lineárních algebraických rovnic  Metoda konečných prvků  Metoda Rayleigh-Ritzova  Metoda diferenční (metoda sítí)

9 d)Okrajové podmínky ke stěnové rovnici Parciální diferenciální rovnici 4. řádu odpovídají 2 okrajové podmínky v každém bodu okraje Geometrické okrajové podmínky (např. z vetknutí stěny) jsou v silové variantě řešení komplikované Omezíme se pouze na úlohy s předepsanými statickými okrajovými podmínkami Znaménková konvence: Složky zatížení: p x, p y – kladné složky ve směru kladných poloos x,y Složky napětí:  x,  y,  xy – podle působení na kladných či záporných plochách

10 Mezi složkami zatížení a napětí platí podmínka ekvivalence. Mezi složkami napětí a Airyho funkcí F platí definiční vztahy F Např. okraj BC: Pro snazší vyjádření okrajových podmínek lze využít podobnosti mezi průběhem funkce napětí F na okraji stěny a průběhem ohybového momentu na rámu, který má stejný tvar, rozměry, zatížení a podepření; tzv. L‘Hermitova analogie

11 L‘Hermitova analogie Průběh funkce napětí F na hranici stěny je stejný jako průběh ohybových momentů M na náhradním rámu. M > 0 táhne vnitřní vlákna rámu. (F ~ M) Průběh derivace funkce napětí F podle vnější normály ∂F/∂n je stejný jako průběh normálových sil na náhradním rámu. N > 0 je tahová síla. (∂F/∂n ~ N) I při staticky určitém podepření rámu je výpočet M, N úlohou 3× staticky neurčitou (uzavřený rám) Rám přetneme a vnitřní síly v řezu nahradíme „neznámými“ silami

12 L‘Hermitova analogie Moment v obecném průřezu: M = M* + M 0 + N 0 y – Q 0 x Moment od vnějšího zatížení Momenty od staticky neurčitých veličin (lineární průběh) L‘Hermitova analogie Při výpočtu napětí derivujeme funkci F dvakrát (a tedy i M): Lineární funkce nemá na napjatost vliv Náhradní rám můžeme kdekoli přetnout a hodnoty M 0, Q 0, N 0 libovolně volit (např. 0). Změní se funkce napětí, ale napjatost zůstane stejná.

13 e)Řešení stěnové rovnice metodou sítí Metoda sítí – převádí řešení diferenciální rovnice (ΔΔF = 0) na soustavu lineárních algebraických rovnic Postup řešení: 1) Řešenou oblast (stěnu) pokryjeme sítí 2) Stěnovou rovnici zapisujeme v jednotlivých uzlech sítě, za neznámé považujeme hodnoty Airyho funkce napětí F v uzlech sítě (F1, F2, …) 3) Parciální derivace nahrazujeme vhodnými algebraickými výrazy (diferenčními náhradami)

14 1. Diferenční náhrady a) Funkce jedné proměnné Nahrazení parabolou 2. stupně + věta o střední hodnotě Diferenční náhrada za 1. derivaci: h x … diferenční krok (1)

15 Diferenční náhrada za 2. derivaci: h x /2 … poloviční diferenční krok (2)

16 Všechny diferenční náhrady za vyšší derivace lze odvodit aplikací výrazů (1) a (2), např.: Liché derivace v bodě i neobsahují F i

17 b) Funkce dvou proměnných Obyčejné derivace přechází na parciální. Značení: čárkou derivace podle x, tečkou derivace podle y. Čtvrtá derivace smíšená:

18 c) Diferenční náhrada za stěnovou rovnici Pro čtvercovou síť (h x = h y = h) dostaneme diferenční schéma:

19 2. Řešení stěny metodou sítí Diferenční schéma pro stěnovou rovnici uplatníme ve všech vnitřních uzlech sítě Při zápisu rovnic v bodech blízko hranice padne diferenční schéma jednak: do uzlů uvnitř (1, 2, …) do uzlů na hranici (a, b, …) do uzlů vnějších (mimo oblast) (A, B, …) Hodnoty funkce napětí F v těchto bodech vyjádříme pomocí okrajových podmínek

20 L‘Hermitova analogie poskytuje: a)Hodnoty F přímo na hranici oblasti (F ~ M na náhradním rámu) b)Hodnoty F v bodech vně oblasti v závislosti na hodnotách v bodech hraničních a v bodech uvnitř oblasti (z první derivace funkce F podle vnější normály) (∂F/∂n ~ N na náhradním rámu) Okrajové podmínky

21 Po uplatnění okrajových podmínek se základní soustava stane nehomogenní. Jejím netriviálním řešením jsou funkční hodnoty ve všech vnitřních bodech sítě (F 1, F 2, F 3, …, F 12 ) Složky napětí řešíme pomocí diferenčních náhrad.

22 Složky napětí pomocí diferenčních náhrad:

23

24

25

26

27 Děkuji za pozornost a těším se s vámi na shledanou za týden.


Stáhnout ppt "ANALÝZA KONSTRUKCÍ 6. přednáška. Nosné stěny – rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti:  Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(x,y), v(x,y)"

Podobné prezentace


Reklamy Google