Téma 2 Rovinný problém, stěnová rovnice.

Prezentace na téma: "Téma 2 Rovinný problém, stěnová rovnice."— Transkript prezentace:

1 Téma 2 Rovinný problém, stěnová rovnice.
Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010, 2011 Téma 2 Rovinný problém, stěnová rovnice. Rovinná napjatost Rovinná deformace Stěnová rovnice, Airyho funkce Příklad řešení nosné stěny inverzní metodou Rovinný problém v polárních souřadnicích Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Rovinné úlohy Řešené úlohy teorie pružnosti se podstatně zjednoduší,
pokud v tělese budou rovnoběžná(é) s jednou rovinou všechna nenulová(é) napětí – rovinný stav napjatosti deformace – rovinný stav deformace Příklady rovinného stavu napjatosti:

3 Rovinné úlohy Příklady rovinného stavu deformace
Pružné těleso mezi dokonale tuhými tělesy Potrubí, tunel v zemním tělese Opěrná zeď

4 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná napjatost
Pro střednicí v rovině xy je: Rovnice rovnováhy se redukují na

5 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná napjatost
Fyzikální rovnice (Hookův zákon) se upravují: Při rovinné napjatosti je deformace prostorová

6 C je matice poddajnosti D je matice tuhosti e je vektor deformace
Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná napjatost, pokračování: Fyzikální rovnice lze maticově zapsat ve tvaru: a zkráceně: C je matice poddajnosti D je matice tuhosti e je vektor deformace s je vektor napětí

7 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná deformace, napětí jako funkce složek deformace Pro střednici v rovině xy je: Fyzikální rovnice (Hookův zákon) se upravují: Z rovnice Při rovinné deformaci je napěťový stav prostorový

8 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, rovinná deformace, deformace jako funkce napětí Zkráceně lze opět napsat: D matice tuhosti C matice poddajnosti

9 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, shrnutí
Rovinné úlohy dělíme na: Rovinné úlohy napjatosti Rovinné úlohy deformace V těchto úlohách máme Dvě rovnice rovnováhy Tři geometrické rovnice Tři fyzikální rovnice

10 Základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině, shrnutí
U rovinné napjatosti je prostorový stav deformace. Dvě složky pootočení jsou nulové a třetí normálovou deformaci lze vyjádřit jako funkci nenulových normálových napětí nebo jako funkci zbývajících normálových deformací. U rovinné deformace je prostorový stav napjatosti. Dvě smyková napětí jsou nulová a třetí normálové napětí lze vyjádřit jako funkci nenulových normálových napětí nebo jako funkci zbývajících normálových deformací. Rovnice rovnováhy a rovnice kompatibility jsou u obou typů rovinných úloh identické. Fyzikální rovnice se poněkud liší, i když je lze i pro normálová napětí a deformace formálně shodně zapsat. Vztahy mezi potočením a smykovým napětím jsou identické.

11 Řešení nosných stěn, odvození stěnové rovnice
Rovnice kompatibility pro rovinnou napjatost: Z Hookova zákona dosadíme: Z rovnic rovnováhy Lévyho podmínka vyjadřuje rovnici kompatibility v rovině v napětích

12 Řešení nosných stěn, odvození stěnové rovnice, pokračování
Rovnice rovnováhy v rovině a Lévyho podmínka tvoří soustavu tří rovnic: Pro nulové objemové síly rovnicím rovnováhy vyhovuje funkce F(x,y) (Airyho funkce), pro kterou platí: Po dosazení složek napětí do Lévyho podmínky dostaneme tzv. stěnovou rovnici: Nebo pomocí Laplaceova operátoru:

13 Stěnová rovnice nazývaná také biharmonická, je :
parciální diferenciální rovnicí 4. řádu, lineární, homogenní (nemá pravou stranu) Pro každou rovnici stěny lze odvodit stav napětí stěny odpovídající podmínkám rovnováhy a spojitosti (Airy 1862) při respektování okrajových podmínek. Platí za předpokladu nulových nebo konstantních objemových sil, pro homogenní a izotropní materiál. V rovnici nevystupuje žádná materiálová konstanta, což je podkladem pro experimentální analyzování stěn na modelech.

14 Nízký a vysoký stěnový nosník

15 Vliv výšky stěny na její napjatost
Na obr. jsou porovnány výsledky řešení stěny pro různé poměry délky a výšky stěny. Jsou zde také výsledky výpočtu (čárkovaná čára) pro nosníky předpokládající platnost Bernouli-Navierovy hypotézy o zachování rovinného řezu průřezu nosníku. V příkladu a=3m, t=1, q=100kN/m

16 Nosné stěny,některé metody řešení
Metody využívající stěnovou rovnici: Inverzní metoda Metoda sítí Fourierova metoda Variační metody: Energetické metody (např. Ritzova metoda) Metoda konečných prvků Existují i další metody. S výjimkou inverzní metody, jejíž použití je velmi omezené, jsou všechny tyto metody přibližné.

17 Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou
Řešte stěnu podepřenou jako konzolu zatíženou silou: Zvolme Airyho funkci ve tvaru: F musí vyhovovat stěnové rovnici, což je splněno:

18 Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou, okrajové podmínky
Složky napětí pro funkci Okrajové podmínky:

19 Nosné stěny, příklad řešení inverzní metodou, funkce napětí
Po vložení hodnot do Airyho funkce je: Tyto vztahy jsme odvozovali v PP, viz výpočet normálových napětí a smykových napětí (Grashofův vzorec) pro obdélníkový průřez a pro jednotkovou šířku konzoly.

20 Inverzní metoda řešení
Podstatou inverzní metody řešení nosných stěn je: Analýza zadané biharmonické (Airyho) funkce (zjištění, zda-li zadaná funkce je skutečně biharmonická, tj. že splňuje stěnovou rovnici) Hledání odpovídajících okrajových podmínek (silových, deformačních případně smíšených) Analýza stavu napětí v dané stěně. Metoda vychází ze známé funkce a hledá se jí odpovídající stěna s okrajovými podmínkami – proto inverzní metoda

21 Rovinný problém v polárních souřadicích
V polárních souřadnicích používáme proměnné r a . Vztah mezi nimi a souřadnicemi x, y vyplývá z obr.: Fyzikální rovnice v polárních souřadnicích lze získat z rovnic pro rovinnou napjatost nebo pro rovinnou deformaci přepsáním indexů: Rovinná napjatost: Rovinná deformace:

22 Podmínky rovnováhy v polárních souřadnicích
Plošný element má jednotkovou tloušťku. Podmínky rovnováhy sestavujeme ve směru průvodiče r a kolmo na něj, tj. ve směru  Předpokládá se: Po úpravě a zanedbání malých hodnot je:

23 Základní rovnice pružnosti pro rotačně symetrické úlohy
Geometrické rovnice jsou: Rovnice rovnováhy se zjednoduší na:

24 Stěnová rovnice v polárních souřadnicích
Tuto rovnici lze odvodit ze stěnové rovnice v pravoúhlých souřadnicích x,y transformací do polárních souřadnic. Odvození je uvedeno např. v Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006. Složky napětí jsou:

25 Princip Saint-Venantův
V bodech tuhého tělesa, dostatečně vzdálených od působišť vnějších sil, napětí velmi málo závisí na detailním způsobu realizace těchto zatížení

26 Použitá literatura [1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006. [2] Dobiášová, V., Varaďová, V., Pružnost a plasticita II, Pomůcka do cvičení, Část I. Akademické nakladatelství CERM, s.r.o. Brno, 1996. [3] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno, 1993.