RF 4.1.3.Jednorychlostní stacionární transportní rovnice Časově a energeticky nezávislou transportní rovnici, která popisuje chování monoenergetických.

Prezentace na téma: "RF 4.1.3.Jednorychlostní stacionární transportní rovnice Časově a energeticky nezávislou transportní rovnici, která popisuje chování monoenergetických."— Transkript prezentace:

1 RF 4.1.3.Jednorychlostní stacionární transportní rovnice Časově a energeticky nezávislou transportní rovnici, která popisuje chování monoenergetických neutronů v rozptylujícím prostředí ve stacionárním stavu, tj. když, odvodíme z transportní rovnice pro homogenní izotropní prostředí za těchto předpokladů: změna Σ t (E) s energií je zanedbána, tj. Σ t (E) = Σ t (E') = = Σ t, střední počet sekundarit c(E) nezávisí na energii, tj. c(E)=c(E')=c, hodnota integrálu rozdělovací funkce je nezávislá na počáteční energii neutronu E'.

2 RF Integrál potom může být vyjádřen ve tvaru kde

3 RF Použijeme ‑ li v transportní rovnici pro homogenní izotropní prostředí výše uvedených vztahů obdržíme po integraci přes energie jednorychlostní stacionární transportní rovnici ve tvaru kde veličiny, a jsou definovány následujícími vztahy: Podstatného zjednodušení při řešení této rovnice dosáhneme, budeme-li předpokládat, že funkce a jsou pouze funkcemi proměnné x a úhlu τ mezi osou x a směrem.

4 RF Protože kde ajsou jednotkové vektory ve směru osy x, y a z, bude v jednorozměrném případě první člen na levé straně jednorychlostní stacionární transportní rovnice neboť. Pro případy, kdy je možné nepružný rozptyl zanedbat, k reakcím (n,2n) vůbec nedochází a štěpení je zahrnuto do zdrojového členu, bude funkce W mít zjednodušený tvar:

5 RF Integrováním jednorychlostní stacionární transportní rovnice podle úhlu Ψ v intervalu od 0 do 2π obdržíme jedno- rozměrnou transportní rovnici ve tvaru kde jsme již použili vztahů K řešení transportní rovnice se používá metoda kulových harmonických funkcí.

6 RF V izotropním prostředí účinný průřez závisí pouze na úhlu mezi směry a, tj. na úhlu rozptylu τ o. Můžeme tedy psát kde μ o značí kosinus úhlu rozptylu. Výraz rozvineme podle Legendreových polynomů kde koeficienty rozvoje jsou dány vztahem

7 RF Prvním členem rozvoje je dán celkový účinný průřez pro rozptyl druhým členem celkový účinný průřez pro rozptyl násobený střední hodnotou kosinu úhlu rozptylu, tj.

8 RF Pro vyjádření jako funkce veličin Ψ', Ψ, μ' a μ využijeme adičního teorému pro Legendreovy polynomy kde jsou sdružené Legendreovy funkce m ‑ tého řádu. Potom můžeme psát

9 RF A konečně můžeme integrál z pravé strany jednorozměrné transportní rovnice psát v následujícím tvaru

10 RF Po úpravách a s využitím vztahu bude a obdržíme jednorychlostní transportní rovnici pro jednorozměrný případ ve tvaru

11 RF Rozvineme také diferenciální hustotu toku neutronů a zdrojový člen podle Legendreových polynomů, tj. kde koeficienty rozvoje jsou dány vztahy

12 RF Přiblížení elementární teorii difúze získáme, omezíme ‑ li se na první dva členy rozvoje diferenciální hustoty toku podle Legendreových polynomů, tj. pro všechna l > 1 volíme. Funkce bude pak vyjádřena ve tvaru kde funkce a jsou opět nultý a první moment hustoty toku. Integrací jednorychlostní transportní rovnici pro jednorozměrný případ podle μ v intervalu od ‑ 1 do +1 obdržíme

13 RF Využitím ortogonality Legendreových polynomů dostáváme kde S(x) ≡ S 0 (x) je celková vydatnost zdroje. Protože pro náš případ Σ t = Σ a + Σ s lze sa použitím Σ s ≡ Σ s0 upravit na tvar

14 RF Vynásobením jednorychlostní transportní rovnice pro jednorozměrný případ funkcí P 1 (m) a integrací v mezích od -1 do +1 odvodíme vztah Protože předpokládáme, že zdroje neutronů jsou izotropní, je zdrojový člen v této rovnici roven nule. integrál z výše uvedené rovnice (označený symbolem I) bude mít tvar Použijeme ‑ li nyní pro funkci vztah

15 RF Z podmínek ortogonality vyplývá, že Pak můžeme rovnici zapsat ve tvaru popř. po úpravě

16 RF Derivujeme ‑ li poslední rovnici podle x, dostáváme pro funkci rovnici Zavedeme nyní koeficient difúze D podle vztahu Využijeme ‑ li vztahů Σ s1 = Σ s a Σ t = Σ a + Σ s, můžeme koeficient difúze psát ve tvaru Dále přijmeme-li, že Σ tr = Σ s (1 - ) =, kde je tzv. střední volná dráha pro transport, dostáváme

17 RF Použijeme-li označení a, můžeme psát Pro trojrozměrný případ potom Fickův zákon difúze Difúzní rovnice