Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Středa 16:15 – 17:45 hod. učebna 240 SB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Středa 16:15 – 17:45 hod. učebna 240 SB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Středa 16:15 – 17:45 hod. učebna 240 SB © Lagová, Kalčevová

2 7. přednáška Věty o dualitě Duálně simplexová metoda © Lagová, Kalčevová

3 © L&K3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY •Věta o dualitě •Věta o rovnováze •Duálně simplexová metoda •Zakončení výpočtu duálně sdružených úloh •Postoptimalizační změny b •Postoptimalizační změny c •Změny rozměrů modelu

4 © L&K4 Věta o dualitě (1)Věta: Je  li x = (x 1, x 2, …, x n ) T libovolné přípustné řešení primární úlohy I. a u T = (u 1, u 2, …, u m ) libovolné přípustné řešení duální úlohy II., potom z(x) ≤ f (u T ) (7.1)

5 © L&K5 •Hodnota účelové funkce f (u T ) duálního problému II. je horní hranicí hodnoty účelové funkce z(x) primárního problému •Hodnota účelové funkce z(x) primárního problému je dolní hranicí hodnoty účelové funkce duálního problé- mu

6 © L&K6 Důkaz •Vlastní omezení úlohy I. násobíme zleva vektorem u T : I. u T A x ≤ u T b •Vlastní omezení úlohy II. násobíme zprava vektorem x: II. u T A x ≥ c T x • Odtud je c T x ≤ u T A x ≤ u T b tj. z(x)=c T x ≤ u T b=f (u T )

7 © L&K7 •Důsledek 1: Je  li x = (x 1, x 2, …, x n ) T libovolné přípustné řešení primární úlo- hy a u T = (u 1, u 2, …, u m ) libovolné přípustné řešení duální úlo- hy a platí  li z (x) = f (u T ), je x OŘ primární úlohy I. a u T je OŘ duální úlohy II.

8 © L&K8 •Důsledek 2: •Má-li primární úloha neomezenou účelo- vou funkci, duální úloha nemá přípustné řešení •Má-li duální úloha neomezenou účelovou funkci, primární úloha nemá přípustné řešení •Důsledek 2 dokážeme sporem •Předpokládejme, že duální úloha má ne- omezenou účelovou funkci

9 © L&K9 •Předpokládejme dále, že existuje přípust- né řešení primární úlohy x •Potom je podle (7.1) z(x) ≤ f (u T ) •To ale není možné, protože podle předpo- kladu je účelová funkce duální úlohy ne- omezená •Přípustné řešení primární úlohy x tedy nemůže existovat

10 © L&K10 •Důsledek 3: •Má-li jedna ze sdružených úloh optimální řešení, má i druhá sdružená úloha opti- mální řešení •Důsledek 4: •Mají-li obě sdružené úlohy přípustné řešení, mají obě také optimální řešení •Důkaz těchto důsledků rovněž plyne ze vztahu z(x) ≤ f (u T )

11 © L&K11 Příklad 7.1 Úloha I. x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 + 4x 2 ≤ 180 x 1 ≤ 110 (7.2) x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 z = 40x x 2... max. x=(110, 5, 0, 50, 0) T Úloha II. u 1 ≥ 0 u 2 ≥ 0 u 3 ≥ 0 u 1 + u 2 + u 3 ≥ 40 (7.3) 2u 1 + 4u 2 ≥ 60 f = 120u u u 3... min. u T =(30, 0, 10, 0, 0) • Je dána dvojice sdružených úloh a jejich řešení:

12 © L&K ·5 = ·5 < = > 0 5 > 0 z = ·5 = > 0 0 = 0 10 > 0 1·30 + 1· 0 + 1·10 = 40 2·30 + 4·0 = 60 f =120· ·10 = Zjistíme, zda jsou splněny předpoklady věty (tj. přípustnost řešení): • Otestujte podle věty o dualitě, zda jsou vektory x a u T  optimálním řešením sdružených úloh

13 © L&K13 •Vektor x je nezáporný a splňuje všechna vlastní omezení úlohy (7.2) •Je tedy přípustným řešením primární úlohy •Vektor u T je nezáporný a splňuje všechna vlastní omezení úlohy (7.3) •Je tedy přípustným řešením duální úlohy 2. Srovnáme hodnoty účelových funkcí: z = f = 4700 •Podle prvního důsledku věty o dualitě je x OŘ primární úlohy a u T je OŘ duální úlohy

14 © L&K14 Věta o rovnováze •Věta o rovnováze definuje vztahy mezi dvojicemi sdružených omezení v op- timálním řešení sdružených problémů •Dvojice sdružených omezení je vlastní omezení jednoho ze sdružených prob- lémů a podmínka nezápornosti druhého sdruženého problému (viz 6. přednáška)

15 © L&K15 (2) Věta: Je  li x = (x 1, x 2, …, x n ) T libovolné přípustné řešení primární úlo- hy a u T = (u 1, u 2, …, u m ) libovolné přípustné řešení duální úlo- hy a platí  li následující podmínky:

16 © L&K16 1. je  li x j > 0, m 2. je  li  a ij u i > c j, j=1 3. je  li u i > 0, n 4. je  li  a ij x j < b i, j=1 m pak  a ij u i = c j i=1 pak x j = 0 (7.4) n pak  a ij x j = b i j=1 pak u i = 0

17 © L&K17 •potom x je optimálním řešením primár- ní úlohy a u T je optimálním řešením duální úlohy

18 © L&K18 •Z věty o rovnováze platí pro dvojici sdružených omezení: - je-li v optimálním řešení jedno z dvojice duálně sdružených omezení splněno jako ostrá nerovnost, je druhé omezení splněno jako rovnost •Pozor ! Vztah neplatí obráceně, takže rovnost ve splnění duálního omezení neimplikuje vždy ostrou nerovnost *

19 © L&K19 Příklad 7.2 •Otestujte podle věty o rovnováze, zda jsou vektory x=(110, 5, 0, 50, 0) T a u T =(30, 0, 10, 0, 0) optimálním řešením sdružených úloh (7.2) a (7.3) •V příkladu 7.1 jsme zjistili, že oba vektory splňují podmínky přípustnosti řešení •Dosadíme tedy do čtyř podmínek věty o rovnováze

20 © L&K20 Příklad 7.2 Úloha I. x 1 + 2x 2 ≤ = 120 x 1 + 4x 2 ≤ < 180 x 1 ≤ = 110 x 1 ≥ > 0 x 2 ≥ 0 5 > 0 Úloha II. u 1 ≥ 0 30 > 0 u 2 ≥ 0 0 = 0 u 3 ≥ 0 10 > 0 u 1 + u 2 + u 3 ≥ = 40 2u 1 + 4u 2 ≥ = 60

21 © L&K21 1. x 1 =110 > 0 1. x 2 = 5 > 0 3. x 1 + 2x 2 = x 1 + 4x 2 < x 1 = 110 = 0 u 1 +u 2 +u 3 = = 40 2u 1 +4u 2 = = 60 u 1 = 30 > 0 u 2 = 0 u 3 = 10 > 0 2. Zkontrolujeme splnění omezení podle čtyř podmínek (7.2) věty o rovnováze: 1.Zkontrolujeme, zda vektory x a u T jsou přípustným řeše- ním zadaných úloh: ?

22 © L&K22 •Vidíme, že ve všech dvojicích sdružených omezení jsou splněny podmínky věty o rovnováze • Podle věty o rovnováze je tedy vektor x OŘ Úlohy I. a vektor u T OŘ Úlohy II.

23 © L&K23 DUÁLNĚ SIMPLEXOVÁ METODA •Dosud jsme řešili úlohu LP simplexovou metodou •Podmínkou byla primární přípustnost řešení, tj. nezápornost pravých stran •Podle věty o dualitě jsme hledali přípustné řešení duálního problému •Primární přípustnost byla po celou dobu výpočtu zachována, jak ? takže v okamžiku, kdy nalezené řešení bylo i duálně přípustné, bylo optimální ?

24 © L&K24 •Můžeme ale řešit i úlohu LP, která je primárně nepřípustná, tj. má alespoň jednu pravou stranu zápornou •Podmínkou je, aby byla duálně přípust- ná: - v maximalizační úloze jsou všechny koeficienty v řádce z nezáporné - v minimalizační úloze jsou všechny koeficienty v řádce z nekladné • V iteračním postupu hledáme primárně přípustné řešení při zachování duální přípustnosti

25 © L&K25 ALGORITMUS DSM •Úlohu LP řešíme duálně simplexovou me- todou (DSM) v tabulce primárního problé- mu: − proměnné jsou x j − alespoň jedna pravá strana je záporná •Koeficienty účelové funkce z j jsou: − v maximalizační úloze nezáporné, − v minimalizační úloze nekladné

26 © L&K26 • „Transponujeme” postup řešení simplexo- vou metodou: 1. nejdříve určíme klíčový řádek a vystu- pující proměnnou 2. potom určíme klíčový sloupec a vstu- pující proměnnou 3. transformujeme simplexovou tabulku metodou úplné eliminace stejně jako v simplexové metodě •Klíčový prvek je vždy záporný

27 © L&K27 1. Určení vystupující proměnné 1. Najdeme nejmenší pravou stranu g = min i (β i ) = β q, (7.5) i = 1, 2, …, m: - je-li g ≥ 0, je řešení primárně přípustné - je i duálně přípustné, je tedy optimální → výpočet končí - je-li g < 0 → výpočet pokračuje •Základní proměnná v q-tém řádku je vystupující •Klíčovým řádkem je q-tý řádek

28 © L&K28 2. Určení vstupující proměnné •Vypočteme podíly koeficientů z j a zápor- ných koeficientů klíčového řádku •Najdeme podíl v absolutní hodnotě mini- mální: t = min j |z j /α qj | (7.6) j = 1, 2, …, n+m, α qj < 0

29 © L&K29 •Testujeme: a. je-li α qj ≥ 0 pro  j = 1, 2,..., m+n: - duální úloha má neomezenou účelo- vou funkci - OŘ neexistuje → výpočet končí b. je-li t = |z k /α qk |, - je proměnná x k vstupující a k-tý slou- pec je klíčový

30 © L&K30 3. Transformace řešení •Postupujeme podle transformačních vzorců (4.3) až (4.8) stejně jako v algo- ritmu jednofázové simplexové metody •Rozdíl je v tom, že klíčový prvek je vždy záporný. Proč? •Vracíme se k bodu 1

31 © L&K31 Zakončení výpočtu v DSM 1. Všechny pravé strany jsou nezáporné: - řešení je optimální 2. Všechny koeficienty v klíčovém řádku jsou nezáporné: - duální úloha má neomezenou účelovou funkci - primární úloha nemá přípustné řešení - OŘ neexistuje

32 © L&K32 Příklad 7.3 •Je dána úloha LP: x 1 + 2x 2 ≥ 390 x 1 + x 2 ≥ 250 (7.7) x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 z = 50x x 2 … min. •Vypočtěte optimální řešení duálně simple- xovou metodou

33 © L&K33 •Úlohu upravíme: -x 1 - 2x 2  x 1 - x 2  x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 z - 50x x 2 = 0 •Koeficienty v anulované účelové funkci jsou nekladné •Úloha je duálně přípustná •Je možno ji řešit duálně simplexovou metodou

34 © L&K34 Výchozí řešení Tab. 7.1 • Klíčový řádek je první • Vystupující proměnná je x 3 • Klíčový sloupec je druhý • Vstupující proměnná je x 2

35 © L&K35 2. iterace Tab. 7.2 • Klíčový řádek je druhý • Vystupující proměnná je x 4 • Klíčový sloupec je první • Vstupující proměnná je x 1

36 © L&K36 Optimální řešení Tab. 7.3 • Řešení x=(110, 140, 0, 0) T, z =13900 je optimální • Z tabulky je řešení duálního problému: u T =(10, 40, 0, 0), f =13900

37 © L&K37 ZAKONČENÍ VÝPOČTU SDRUŽENÝCH ÚLOH 1.Obě úlohy mají jedno optimální řešení: •Pravé strany: - jsou kladné •Koeficienty v řádce z: - v maximalizační úloze jsou všechny nezáporné - v minimalizační úloze jsou všechny nekladné - všechny koeficienty u nezákladních proměnných jsou nenulové

38 © L&K38 2.Primární úloha má nekonečně mnoho optimálních řešení: - v optimálním řešení primární úlohy je v řádce z u některé nezákladní pro- měnné nulový koeficient - jaké je řešení duální úlohy ? PROČ ?

39 © L&K39 3. Primární úloha je je degenerovaná: - alespoň jedna z pravých stran v opti- málním řešení je rovna nule - jaké je řešení duální úlohy ? PROČ ?

40 © L&K40 4. Neexistuje OŘ obou sdružených úloh: a. primární úloha má neomezenou úče- lovou funkci ? - duální úloha nemá PŘ b. duální úloha má neomezenou úče- lovou funkci ? - primární úloha nemá PŘ

41 © L&K41 Použití DSM •DSM použijeme s výhodou všude tam, kde je úloha LP: - primárně nepřípustná - duálně přípustná •Tato situace nastane ve dvou případech: 1. vhodně upravíme úlohu LP 2. zkoumáme vliv změn v modelu úlohu LP na jeho optimální řešení (postoptimalizač- ní změny)

42 © L&K42 Příklad 7.4 •Je dána úloha LP: x 1 + 2x 2 ≤ 120 x 1 + 4x 2 ≤ 180 x 1 ≤ 110 x j ≥ 0, j = 1, 2 z = 40x x 2... max. •V tabulce 7.5 je OŘ této úlohy

43 © L&K43 Tab. 7.5 • Odtud je x = ( 110, 5, 0, 50, 0) , z = 4700, u T = (30, 0, 10, 0, 0), f = 4700

44 © L&K44 3. Zvolme nyní b 1 ** = 90 •Optimalita řešení bude porušena Proč ? •Nový vektor pravých stran vynásobíme maticí B −1 : · = •Řešení není přípustné a tedy není optimální •Nové OŘ budeme počítat DSM Proč ? *

45 © L&K45 Výpočet DSM Tab.7.7

46 © L&K46 •Z tabulky 7.7 vidíme, že se změnila báze: x = ( 110, 5, 0, 50, 0) T, z = 4700, u T = (30, 0, 10, 0, 0), f = 4700 •Proměnnou x 3 nahradila proměnná x 5 : x * =(90, 0, 0, 90, 20), z*=3600 •Změnily se i hodnoty duálních proměn- ných: u T* = (40, 0, 0, 20, 0), f = 3600

47 © L&K47 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Středa 16:15 – 17:45 hod. učebna 240 SB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google