Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

2 © L&K2 9. PŘEDNÁŠKA DOPRAVNÍ PROBLÉM II.

3 © L&K3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY 1. Báze v DP 2. Distribuční metoda 3. Modifikovaná distribuční metoda 4. Transformace řešení 5. Degenerace v DP 6. Prohibitivní cena v DP

4 © L&K4 UZAVŘENÝ OBVOD Uzavřený obvod v dopravní tabulce je grafickým znázorněním lineární kom- binace vektorů Sestrojíme ho tak, že vyjdeme z určitého políčka DT a po obsazených polích v řád- cích a sloupcích (ne diagonálně) se k té- muž políčku vrátíme Přitom můžeme některá obsazená políčka přeskočit (v lineární kombinaci mají koefi- cient roven nule)

5 © L&K5 1. Na obrázku (9.1) je schematicky zakresleno přípustné řešení DP. Určete, zda je toto řešení i základním přípustným řešením. Počet obsazených polí je m+n−1=6 Netvoří uzavřený obvod, řešení je ZPŘ Obr. 9.1 Příklady:

6 © L&K6 2. Na obrázku (9.2) je opět přípustné řeše- ní DP. Určete, zda je to ZPŘ ? Počet obsazených polí ? Tvoří obsazená pole uzavřený obvod..... ? Řešení není ZPŘ

7 © L&K7 BÁZE V DP Vektory strukturních koeficientů základ- ních proměnných tvoří matici báze B Počet sloupců matice B je ? Počet řádků matice B je ? Jeden řádek je lineární kombinací ostat- ních, můžeme ho z matice B vynechat Dostaneme redukovanou matici báze B 0

8 © L&K8 ZÁKLADNÍ VĚTA DP (4) Základní věta DP: Všechny báze jsou trojúhelníkové Alespoň jedna proměnná je tedy osamo- cena v řádku a alespoň jedna ve sloupci

9 © L&K9 Hodnoty základních proměnných se tedy dají vyjádřit sčítáním a odčítáním kapacit a požadavků Důsledek: jsou-li všechny dílčí součty ka- pacit a i a požadavků b j celá čísla, jsou rov- něž všechny proměnné každého základní- ho řešení celá čísla Dopravní problém je tedy vždy možno řešit v celých číslech

10 © L&K10 Příklad 9.1 Tab. 9.1 V tabulce 9.3 je ZPŘ dopravního problému 1. Vypište matici báze B

11 © L&K11 B = Matice báze B=[ a 11, a 12, a 13, a 21 ] (9.1)

12 © L&K12 2. Vyjádřete proměnné pomocí kapacit a po- žadavků: Tab. 9.2 Dosadíme: ?

13 © L&K13 VÝPOČET OŘ Některou z aproximačních metod vypočte- me výchozí řešení Pokračujeme iterační metodou: 1. testujeme optimalitu řešení: - není-li řešení optimální,určíme vstu- pující proměnou 2. určíme vystupující proměnnou: - v DP vždy existuje 3. transformujeme řešení Vracíme se k bodu 1

14 © L&K14 1. TEST OPTIMA Koeficienty účelové funkce z ij doprav- ního problému je třeba na rozdíl od SM v každé iteraci vypočítat samostatně Existují dva způsoby výpočtu: a. distribuční metoda b. modifikovaná distribuční metoda Distribuční metoda je historicky starší a rovněž komplikovanější. Popíšeme zde proto jen její princip

15 © L&K15 DISTRIBUČNÍ METODA Koeficient z ij vypočteme stejně jako v simplexové metodě podle vzorce: z ij = c B T B –1 a ij – c ij (9.2) V dopravní tabulce ale nemáme matici B –1 Můžeme však vyjádřit vektor a ij jako lineár- ní kombinaci vektorů báze Dostaneme tak transformovaný vektor B –1 a ij Výpočet pomocí uzavřeného obvodu uká- žeme na příkladě

16 © L&K16 Příklad 9.2 V tabulce 9.3 je výchozí řešení DP z pří- kladu 8.6 Naším cílem je zjistit, zda je možno obsa- zením některého volného políčka snížit hodnotu účelové funkce, tj. počet tuno- kilometrů K testu optimality si vybereme políčko (1,1) Utvoříme uzavřený obvod políčka (1,1) s obsazenými políčky

17 © L&K17 O1O1 O2O2 O3O3 aiai D1D D2D D3D bjbj − Tab.9.3

18 © L&K18 Vyjádříme vektor a 11 jako lineární kombi- naci vektorů báze: a 11 = 1.a 13 – 1.a a 22 – 1.a a 31 Podle (9.2) vypočteme koeficient c ’ 11 : c ’ 11 = = +1.2 − − = 5 Vypočteme z 11 : z 11 = = - 4 Protože hledáme minimum účelové funk- ce, není dopravní cesta (1,1) výhodná Vypočtěte stejným způsobem zbylé koeficienty z ij v neobsazených políčkách..?

19 © L&K19 O1O1 O2O2 O3O3 aiai D1D D2D D3D bjbj Tab

20 © L&K20 MODI METODA MODI metoda využívá pro test optima vlastností sdružených problémů defino- vaných ve větách o dualitě Princip metody: 1. Vyjdeme z primárně přípustného řešení 2. Vypočteme duální proměnné podle první podmínky věty o rovnováze: ? x j > 0  a ij u i = c j m i=1

21 © L&K21 VÝPOČET u i a v j Vyjdeme z omezení duálního problému u i + v j ≤ c ij Vybereme všechna omezení odpovídající základním proměnným Tato omezení jsou podle 1. podmínky věty o rovnováze splněna jako rovnost: x ij > 0 u i + v j = c* ij (9.3) kde c* ij … je cena základní proměnné, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n

22 © L&K22 Dostaneme soustavu m+n−1 rovnic a m+n proměnných Soustava má jeden stupeň volnosti Za jednu proměnnou dosadíme nulu, hod- noty ostatních dopočítáme Zvolíme obvykle u 1 =0 Poznámka: Pokud položíme rovnu nule jinou proměnnou (nebo zvolíme jinou hod- notu), jsou vypočtené hodnoty duálních proměnných jiné, ale jejich součty jsou stejné

23 © L&K23 Příklad MODI metoda O1O1 O2O2 O3O3 aiai D1D D2D D3D bjbj Tab.9.5 Sestavte podle (9.3) soustavu rovnic a vypočtěte hodnoty u i + v j ?

24 © L&K24 u 1 + v 3 = 2 u 2 + v 3 = 4 u 2 + v 2 = 8 u 3 + v 2 = 6 u 3 + v 1 = 5 2. Dosadíme u 1 = 0 3. Vypočteme: v 3 = 2 – 0 = 2 u 2 = 4 - v 3 = 2 v 2 = 8 - u 2 = 6 u 3 = 6 - v 2 = 0 v 1 = 5 – u 3 = 5 1. Z tabulky 9.5 výchozího řešení vypíšeme soustavu rovnic pro výpočet duálních proměnných:

25 © L&K25 TEST OPTIMA Podle věty o dualitě stačí testovat duální přípustnost, tj. splnění duálních omezení: u i + v j ≤ c ij neboli u i + v j - c ij ≤ 0 (9.4) Dá se odvodit (z obecných vzorců na obr. 5.2), že u i + v j = c ’ ij a tudíž c ’ ij - c ij = z ij (9.5)

26 © L&K26 Všechna duální omezení jsou splněna, je-li z ij ≤ 0 (9.6) pro všechna políčka řešení je optimální V opačném případě výpočet pokračuje určením vstupující proměnné podle g = max ( z ij ) = z pk (9.7) (hledáme políčko, kde je nejvíce porušena duální přípustnost)

27 © L&K27 Dosadíme do: z 11 = u 1 + v z 12 = u 1 + v z 21 = u 2 + v z 33 = u 3 + v u 1 =0, u 2 =2, u 3 =0, v 1 =5, v 2 =6, v 3 =2 Testujeme: – 9 = -4 < – 3 = 3 > – 7 = 0 = = -9 < 0 Vstupující proměnná je x 12 Příklad 9.4 Určete v tabulce 9.5 vstupující proměnnou Testovali jsme jen v neobsazených polích Proč ? Výpočet je jednodušší v tabulce

28 © L&K28 O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D D2D D3D bjbj vjvj Tab.9.6

29 © L&K29 VYSTUPUJÍCÍ PROMĚNNÁ Utvoříme uzavřený obvod políčka vstupu- jící proměnné (p,k) s obsazenými políčky Na políčko (p,k) dosadíme x pk =t >0 Tuto hodnotu přičteme a odečteme podle znamének v rozích uzavřeného obvodu Řešení v dalším kroku musí být ZPŘ Proto je t = min( ) (9.8)

30 © L&K30 TRANSFORMACE TABULKY V uzavřeném obvodu v tabulce podle znamének přičteme a odečteme t Nové řešení musí být základní přípustné Na políčku vstupující proměnné je nyní hodnota t Políčko vystupující proměnné je neobsa- zené, hodnota proměnné je rovna nule

31 © L&K31 O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D D2D D3D bjbj vjvj Příklad 9.5 Určení vystupující proměnné + t - t + t - t Vstupující proměnná je x 12,vystupující proměnná je x 13 podle t = min (150, 170) = 150 Tab.9.7

32 © L&K32 −1 O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D D2D D3D bjbj vjvj Optimální řešení Tab.9.8

33 © L&K33 ALTERNATIVNÍ OŘ Jestliže je v optimálním řešení některý koeficient z ij u nezákladní proměnné ro- ven nule, existuje další, tzv. alternativní optimální řešení Vypočteme ho tak, že tuto nezákladní pro- měnnou zvolíme jako vstupující Optimálních řešení existuje nekonečně mnoho Každé další optimální řešení je konvexní kombinací dosud vypočtených OŘ

34 © L&K34 Příklad 9.6 O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D −− D2D t−t−t D3D −t−t+t+t− bjbj vjvj − Tab.9.9

35 © L&K35 Alternativní OŘ O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D −− D2D D3D − bjbj vjvj − Tab.9.10

36 © L&K36 Nezákladní optimální řešení Optimálním řešením základním je vektor x (1) =(0, 150, 0, 0, 20, 180, 220, 30, 0) T Základním optimálním řešením je i vektor x (2) =(0, 150, 0, 20, 0, 180, 200, 50, 0) T Optimálním řešením přípustným je např. vektor x (3) =1/2 x (1) + 1/2 x (2) x (3) =(0, 150, 0, 10, 10, 180, 210, 40, 0) T Hodnota účelové funkce je z=2610

37 © L&K37 DEGENERACE V DP V degenerovaném řešení je jedna nebo více základních proměnných rovna nule V dopravní tabulce jsou některá políčka obsazena nulou Při výpočtu mají stejný význam jako ostatní obsazená políčka Znamená to, že je bereme v úvahu jak při výpočtu hodnot duálních proměnných, tak i při určování hodnoty t

38 © L&K38 Příklad SZR O1O1 O2O2 O3O3 aiai a‘ia‘i D1D D2D D3D bjbj b‘jb‘j Tab

39 © L&K39 Test optima O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D D2D − D3D −− bjbj vjvj Tab.9.12

40 © L&K40 Uzavřený okruh O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D D2D D3D bjbj vjvj t+t −t−t + t −t−t Tab.9.13

41 © L&K41 Určení vystupující proměnné Nejmenší hodnota v uzavřeném obvodu v tabulce 9.14 označená znaménkem (−) je: t =min(0,0)=0 Vyskytuje se na políčku (1,2) a (2,3) Zvolíme např. políčko (1,2) Znamená to, že proměnná x 12 je proměnná vystupující a v další iteraci bude proměn- nou nezákladní Proměnná x 23 zůstane základní

42 © L&K42 Nové řešení O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D D2D D3D bjbj vjvj Tab.9.14

43 © L&K43 Pokračování výpočtu Ve výpočtu pokračujeme MODI metodou V šesté iteraci dostáváme optimální řeše- ní: x=(0, 40, 180, 200, 0, 0, 20, 180, 0) T Degenerace se během výpočtu odstranila Může být OŘ degenerované ? Minimální hodnota účelové funkce je: z=1880

44 © L&K44 Optimální řešení 6.O1O1 O2O2 O3O3 aiai uiui D1D t+t D2D D3D bjbj vjvj Tab.9.15

45 © L&K45 Obecný distribuční problém Obecný distribuční problém (ODP) je po- dobný dopravnímu problému především svým matematickým modelem Ekonomické modely se liší: - v DP jde o rozdělení zdrojů, které se ni- jak nemění, pouze se převážejí - v ODP jde o rozdělení (distribuci) čin- ností, jejichž realizací vznikají nové vý- robky (podobně jako v kapacitním prob- lému)

46 © L&K46 EKONOMICKÝ MODEL V ekonomickém modelu je zadána: a i... kapacita i-tého výrobního zařízení b j... požadované množství j-tého druhu výrobků k ij... koeficienty výkonnosti c ij... cenové koeficienty V ODP obvykle k ij udávají produktivitu práce za časovou jednotku i−tého zařízení při výrobě j−tého druhu výrobku Kapacity a požadavky nejsou ve stejných jednotkách

47 © L&K47 PROMĚNNÉ MODELU Jejich ekonomická interpretace a jednotky záleží jako vždy na formulaci ekonomic- kého modelu V ODP obvykle k ij udávají produktivitu práce za časovou jednotku i−tého zařízení při výrobě j−tého druhu výrobku V tomto případě je proměnná x ij... počet časových jednotek, po které i−tý stroj vyrábí j− tý výrobek

48 © L&K48 MATEMATICKÝ MODEL Řádková omezení se formulují stejně jako v DP: Na levé straně omezení je skutečné čer- pání kapacity zdroje, na pravé straně je celková kapacita zdroje Jednotky vlevo i vpravo jsou stejné (např. hodiny), není třeba přepočet

49 © L&K49 Sloupcová omezení zabezpečují splnění požadavků: Pravá strana sloupcového omezení b j vyjadřuje požadavek na množství výrobku, tj. množství např. v kusech, kg apod. Koeficient výkonnosti umožní přepočet na shodné jednotky

50 © L&K50 Účelovou funkci většinou minimalizujeme stejně jako u DP: Na rozdíl od DP není možno určit před výpočtem, zda je problém vyrovnaný Vlastní omezení proto na rozdíl od DP neformulujeme všechna jako rovnice, ale podle EM volíme buď v řádkových nebo sloupcových omeze-ních nerovnice

51 © L&K51 Matematický model minimalizovat x ij ≥ 0, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n za podmínek

52 © L&K52 DUÁLNÍ PROBLÉM Za podmínek − u i + k ij v j ≤ c ij u i ≥ 0 i=1, 2,..., m, j=1, 2,..., n maximalizovat účelovou funkci f = ∑− a i u i + ∑ b j v j Duální proměnné v j nemají podmínky nezápornosti

53 © L&K53 Řešení ODP K řešení ODP je možno použít i metod pro řešení dopravního problému, ale je nutné je upravit Výpočet se komplikuje: - výchozí řešení nelze vypočítat přímo - proměnné, kapacity a požadavky nejsou ve stejných jednotkách - obsazená pole mohou tvořit uzavřený obvod Programové systémy řeší proto tento problém simplexovou metodou

54 © L&K54 Příklad 9.10 Strojírenský podnik vyrábí součástky A a B na dvou druzích automatických strojů Hodinová výkonnost strojů ve 100 ks a náklady na hodinu práce i-tého stroje při výrobě j-tého druhu součástky jsou v ta- bulce I. Každý stroj pracuje 100 hodin Podnik potřebuje pro zajištění své výroby přesně kusů každé součástky Cílem je zajistit výrobu požadovaného množství součástek s minimálními náklady

55 © L&K55 Koeficienty k ij a c ij

56 © L&K56 Volba proměnných Zvolíme proměnnou: ? Řádková omezení zabezpečí, že nebudou překročeny kapacity strojů Sloupcová omezení zajistí výrobu požado- vaného množství součástek Účelová funkce bude minimalizovat celko- vé náklady na výrobu

57 © L&K57 Formulace modelu Za podmínek x 11 + x 12 ≤ 100 x 21 + x 22 ≤ x x 21 = x x 22 = 1500 x ij ≥ 0, i, j = 1, 2 nalézt minimum účelové funkce z = 10x x x x 22

58 © L&K58 Duální problém Formulujeme nesymetrický duální prob- lém: za podmínek −u v 1 ≤ 10 −u 1 +5v 2 ≤ 40 −u v 1 ≤ 20 −u v 2 ≤ 50 u 1, u 2 ≥ 0 maximalizovat f = −100 u 1 −100 u v v 2

59 © L&K59 Řešení modelu Tab Úlohu jsme řešili SM Výchozí řešení je v tabulce:

60 © L&K60 Optimální řešení v LinPro Tab Odtud je x=(75, 0, 0, 75, 25, 25, 0, 0) T u T =(0, 0, 1/2, 5/2, 0, 15, 17 1/2) z = f = 4500

61 © L&K61 Ekonomická interpretace Primární problém: x 11 =75 → stroj S1 bude 75 hodin vyrábět součástku A x 22 =75 → stroj S2 bude 75 hodin vyrábět součástku B x 1 = x 2 =25 → na každém stroji zbude 25 volných hodin y 1 = y 2 =0 → přitom se vyrobí přesně součástek A i B z 2 =4500 → náklady jsou 4500 Kč

62 © L&K62 Stínové ceny: u 1 =u 2 =0 → kapacity nejsou vyčerpány, jejich zvýšení neovlivní ná- klady v 1 =0,5 → zvýšení požadovaného počtu součástek A o 1 kus zvýší ná- klady o 0,5 Kč v 2 =2,5 → zvýšení požadovaného počtu součástek B o 1 kus zvýší ná- klady o 2,5 Kč

63 © L&K63 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google