Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."— Transkript prezentace:

1 4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová

2 © L&K2 8. PŘEDNÁŠKA DOPRAVNÍ PROBLÉM I.

3 © L&K3 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Distribuční problémy Matematický model dopravního problé- mu Duální problém k dopravnímu problému Výchozí řešení: metoda SZR indexní metoda metoda VAM Nevyrovnaný dopravní problém

4 © L&K4 DISTRIBUČNÍ PROBLÉMY Speciální úlohy LP, které se zabývají distribucí určité homogenní komodity - např. rozvoz zboží, rozdělení práce, při- dělení pracovníků, strojů apod., např.: - obecný distribuční problém - přiřazovací problém - kontejnerový problém - okružní dopravní problém - úloha o pokrytí - výrobně-přepravní problém atd.

5 © L&K5 Liší se od úloh LP, které jsme dosud pro- bírali, svým specifickým matematickým modelem Řada z nich je charakteristická požadav- kem celočíselnosti proměnných Řeší se proto specifickými metodami Nejjednodušším reprezentantem je dopravní problém (DP)

6 © L&K6 DOPRAVNÍ PROBLÉM Řeší distribuci homogenní látky od do- davatelů k odběratelům Je dáno: − počet dodavatelů m − počet odběratelů n − kapacity dodavatelů a i, − požadavky odběratelů b j − „cena“ (náklady, vzdálenost atd.) za do- dání jedné jednotky c ij Kapacity dodavatelů jsou zadány ve stej- ných jednotkách jako požadavky odběra- telů

7 © L&K7 Úkol: určit kolik jednotek dodá každý dodavatel každému odběrateli Cíl: uspokojit požadavky odběratelů tak, aby hodnota stanoveného cíle byla minimální

8 © L&K8 FORMULACE MM Proměnná x ij v dopravním problému (DP) určuje množství homogenní látky doda- né i-tým dodavatelem j-tému odběrateli Počet proměnných DP je m.n Předpokládá se rovnost součtu kapacit a součtu požadavků (vyrovnaný DP)* Omezení jsou proto formulována v rov- nicích Počet omezení DP je m+n

9 © L&K9 Prvních m omezení zajišťuje kapacitu dodavatelů (řádková omezení): x i1 + x i x in = a i, (8.1) i =1, 2,..., m Další omezení zajistí splnění požadav- ků odběratelů (sloupcová omezení): x 1i + x 2i x mi = b j, (8.2) j = 1, 2,..., n

10 © L&K10 Podmínky nezápornosti: x ii ≥ 0, (8.3) i =1, 2,..., m j =1, 2,..., n Účelovou funkci minimalizujeme: z = c 11 x 11 + c 12 x c mn x mn (8.4) Je možno řešit DP s maximalizační úče- lovou funkcí ?

11 © L&K11 Obecná formulace DP Na množině omezení x ij ≥ 0, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n (8.5) minimalizovat účelovou funkci

12 © L&K12 Příklad 8.1 Firma Kámen těží ve třech lomech štěrko- písek Štěrkopísek dodává na tři velké stavby Kapacita lomů je 150, 200 a 250 tun Požadavky staveb jsou 220, 200 a 180 tun Vzdálenosti jednotlivých lomů od staveb v km jsou uvedeny v tabulce 8.1 Určete objem dodávek z jednotlivých lomů na stavby tak, aby počet ujetých tuno- kilometrů byl minimální

13 © L&K13 1. Volba proměnných Proměnné označíme x ij Hodnota proměnné x ij určuje množství štěrkopísku v tunách dodané i−tým lomem j−tému odběrateli (stavbě) Proměnných je m.n = 9 Vektor proměnných má složky x = (x 11, x 12, x 13, x 21, x 22, x 23, x 31, x 32, x 33 ) Na obrázku 8.1 je znázorněna volba náhodně zvolené proměnné x 32

14 © L&K14 Volba proměnné Tab. 8.1 Vzdálenosti v km Obr. 8.1

15 © L&K15 x 11 + x 12 + x 13 = 150 x 21 + x 22 + x 23 = 200 x 31 + x 32 + x 33 = 250 x 11 + x 21 + x 31 = 220 x 12 + x 22 + x 32 = 200 x 13 + x 23 + x 33 = 220 x ij ≥ 0 i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 (8.6) 9x x x 33 = z Matematický model

16 © L&K16 ZVLÁŠTNOSTI MM 1.Matice strukturních koeficientů A se skládá pouze z nul a jedniček 2.Vektor strukturních koeficientů proměn- né x ij má jedničku na i-tém a j+m-tém místě, ostatní prvky jsou rovny nule 3. Ve vyrovnaném DP je vždy jedno vlastní omezení lineární kombinací ostatních 1.Hodnost rozšířené matice [ A│b ] vy- rovnaného DP je m+n-1 4. Všechny proměnné, kapacity i požadav- ky jsou ve stejných jednotkách

17 © L&K17 Příklad 8.2 Vypište rozšířenou matici [ A│b ] z úlohy (8.6) a vypočtěte její hodnost [ A│b ] = (8.7)

18 © L&K18 Hodnost matice [ A│b ] Upravená matice [ A│b ] : [ A│b ] = Poslední řádek se vynuloval Hodnost h([ A│b ] ) = 5

19 © L&K19 VLASTNOSTI DP Definice 1: Přípustné řešení DP je vektor x = (x 11, x 12,..., x mn ) T, jehož složky vyhovují všem omezením Věta (1): DP má přípustné řešení: - položíme x ij = a i. b j / K kde K=∑ a i = ∑ b j, i= 1, 2,..., m, j= 1, 2,..., n

20 © L&K20 Dosadíme do řádkového omezení (8.1): Upravíme (vytkneme a i / K) Srovnáním s (8.1) vidíme, že omezení jsou splněna Totéž platí pro sloupcová omezení (8.2)

21 © L&K21 Definice 2: Základní přípustné řešení DP je přípustné řešení, které má nejvýše (m+n−1) kladných složek. Vektory strukturních koeficientů u kladných složek tvoří lineárně nezávislou soustavu Věta (2): DP má základní přípustné řešení: - dosadíme vždy x rs = min (a r, b s ) (Tím vyškrtneme vždy jeden řádek nebo sloupec, nakonec dva – viz příklad)

22 © L&K22 Definice 3: Optimální řešení je přípustné řešení, které minimalizuje účelovou funkci Věta (3): DP má optimální řešení: - množina přípustných řešení tvoří kon- vexní polyedr (je omezena kapacitami, požadavky a podmínkami nezápornosti)

23 © L&K23 DUÁLNÍ PROBLÉM K DP Duální proměnné přiřazené řádkovým omezením označíme u i Duální proměnné odpovídající sloupcovým omezením nazveme v j Počet duálních proměnných je m+n Počet vlastních omezení je m.n Vlastní omezení jsou nerovnice typu ≤ Účelovou funkci maximalizujeme

24 © L&K24 OBECNÝ MODEL Za podmínek + ≤ (8.8) i=1, 2,..., m, j=1, 2,..., n maximalizovat účelovou funkci (8.9) Protože jde o nesymetrický duální prob- lém, nemají duální proměnné podmínky nezápornosti +

25 © L&K25 Příklad 8.3 Formulujte duální problém k dopravnímu problému (8.6) Duální problém má: ~ 6 proměnných u T =(u 1, u 2, u 3, v 1, v 2, v 3 ) ~ 9 omezení ve tvaru nerovnic typu ≤ Duální proměnné nemají podmínku nezá- pornosti Účelovou funkci maximalizujeme

26 © L&K26 x 11 + x 12 + x 13 = 150 x 21 + x 22 + x 23 = 200 x 31 + x 32 + x 33 = 250 x 11 + x 21 + x 31 = 220 x 12 + x 22 + x 32 = 200 x 13 + x 23 + x 33 = 220 x ij ≥ 0 i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 9x x x 33 = z ? Formulujte Primární problém u1u1 u2u2 u3u3 v1v1 v2v2 v3v3

27 © L&K27 Duální problém Za podmínek u 1 + v 1 ≤ 9 u 1 + v 2 ≤ 3 u 1 + v 3 ≤ 2 u 2 + v 1 ≤ 7 u 2 + v 2 ≤ 8 u 2 + v 3 ≤ 4 u 3 + v 1 ≤ 5 u 3 + v 2 ≤ 6 u 3 + v 3 ≤ 11 maximalizovat f = 150u u u v v v 3

28 © L&K28 DOPRAVNÍ TABULKA Řádek tabulky odpovídá řádkovému omezení (8.1) Sloupec odpovídá sloupcovému omeze- ní (8.2) Řádky a sloupce vymezují políčka Políčko tabulky odpovídá jedné dopravní cestě mezi dodavatelem a odběratelem, tj. jedné proměnné x ij

29 © L&K29 Příklad 8.4 Uspořádejte dopravní problém z příkladu 8.1 do dopravní tabulky Sečteme kapacity: =600 Sečteme požadavky: =600 Dopravní problém je vyrovnaný

30 © L&K30 Dopravní tabulka O1O1 O2O2 O3O3 aiai D1D D2D D3D bjbj Tab. 8.2

31 © L&K31 VÝCHOZÍ ŘEŠENÍ DP Výchozím řešením může být libovolné základní přípustné řešení DP podle definice 2 Výchozí řešení lze vypočítat přímo (není třeba pomocných proměnných) Z řady aproximačních metod probereme tři typické reprezentanty: −metodu severozápadního rohu (SZR) −indexní metodu −Vogelovu aproximační metodu (VAM)

32 © L&K32 METODA SZR 1. Začneme políčkem (1,1), tj položíme r=1, s =1, a r ' = a r, b s ' = b s 2. Tím určíme obsazované políčko (r,s) a základní proměnnou x rs 3. Určíme hodnotu proměnné x rs : x rs = min (a r ’, b s ’ ) = t (8.10) 4. Opravíme kapacitu a požadavek: a r ' = a r ' - t (8.11) b s ' = b s ' – t (kde apostrof ' označuje průběžně opravo- vané hodnoty kapacit a požadavků)

33 © L&K33 5.Jestliže se vynuluje kapacita, tj. a r ' = 0, vyškrtneme r−tý řádek a zvýšíme řádkový index o 1: r = r+1 6.Vynuluje–li se požadavek, tj. b s ' = 0, vyškrtneme s−tý sloupec a zvýšíme sloupcový index o 1: s = s+1 7.Vracíme se k bodu ? Obsadíme tak m+n−2 políček Na poslední políčko (m,n) dosadíme x mn = a r ' = b s ' = t

34 © L&K34 Příklad Metoda SZR O1O1 O2O2 O3O3 aiai D1D D2D D3D bjbj Tab. 8.3

35 © L&K35 Metoda SZR - z =5280 Tab. 8.4

36 © L&K36 INDEXNÍ METODA 1.Obsazujeme vždy nevyškrtnuté políčko s nejnižší cenou 2.Určíme hodnotu proměnné podle (8.10) 3.Opravíme kapacitu a požadavek podle (8.11) 4.Vynuluje-li se kapacita, vyškrtneme řádek 5.Vynuluje-li se požadavek, vyškrtneme sloupec 6.Vracíme se k bodu 1.

37 © L&K37 Zpřesnění algoritmu Jestliže jsme našli několik stejných nej- menších cenových koeficientů, dáme přednost políčku, na které můžeme do- sadit větší hodnotu proměnné: Je−li např. c 23 =1 a x 23 =min(100, 200)=100 a c 33 =1 a x 33 =min(300, 200)=200, obsadíme políčko (3,3) Poznámka: V posledním řádku (sloupci) obsadíme všechna volná políčka v libo- volném pořadí

38 © L&K38 Příklad Indexní metoda Tab. 8.5

39 © L&K39 VAM 1.Vypočteme rozdíl mezi druhou nejnižší a nejnižší cenou v každém řádku a sloupci 2. Najdeme nejvyšší rozdíl 3. Zde najdeme nejnižší cenu a určíme obsazené políčko 4. Podle (8.10) vypočteme hodnotu základ- ní proměnné 5. Opravíme pravé strany podle (8.11) 6. Vracíme se k bodu 1

40 © L&K40 Zpřesnění algoritmu 1. Jestliže vyškrtneme jen řádek, stačí pře- počítat sloupcové rozdíly, vyškrtneme-li sloupec, přepočteme jen řádkové rozdíly 2. Na konci výpočtu zbude jeden řádek nebo sloupec → obsadíme všechna volná pole 3. Existuje více stejných nejvyšších rozdílů: − dáme přednost políčku s nejnižší cenou − ve druhém pořadí dáme přednost políč- ku, na které můžeme dosadit větší hod- notu (viz indexní metoda)

41 © L&K41 Příklad VAM rozdíly Tab. 8.6.a

42 © L&K42 Příklad VAM 1. krok Tab. 8.6

43 © L&K43 VAM rozdíly Tab. 8.7.a

44 © L&K44 VAM 2. krok Tab. 8.7

45 © L&K45 VAM rozdíly Tab. 8.8.a

46 © L&K46 VAM 3. krok Tab. 8.8

47 © L&K47 VAM – 4. krok Tab. 8.9 V posledním zbylém sloupci obsazujeme volná políčka

48 © L&K48 VAM – 5. krok Tab V posledním sloupci jsme obsadili zbylé po- líčko (3,2)

49 © L&K49 NEVYROVNANÝ DP Nevyrovnaný dopravní problém, kde upravíme na vyrovnaný: 1. Je-li, přidáme fiktivního odběratele s požadavkem b n+1 = - (8.12) (8.13) >

50 © L&K50 Cenové koeficienty jsou rovny nule Dodávka fiktivnímu odběrateli znamená neprodané zboží Přidáním fiktivního odběratele rozšíříme dopravní tabulku o sloupec Počítáme-li výchozí řešení indexní me- todou, obsazujeme ho jako poslední V metodě VAM počítáme s nulovými cenami ve fiktivním sloupci jako s ostat- ními, tj. považujeme je za nejnižší cenu

51 © L&K51 Příklad 8.8 V tabulce jsou zadány kapacity, požadav- ky a cenové koeficienty DP Vypočtěte výchozí řešení indexní meto- dou a metodou VAM (srovnejte hodnoty účelových funkcí... ) Tab. 8.11

52 © L&K52 Vyrovnání problému Tab Tabulku rozšíříme o sloupec fiktivního odbě- ratele s požadavkem =80

53 © L&K53 Indexní metoda Tab Hodnota účelové funkce z = 2270

54 © L&K54 Metoda VAM Tab Hodnota účelové funkce z = 2110 (menší)

55 © L&K55 2. Je-li fiktivního dodavatele s kapacitou a m+1 = Cenové koeficienty u fiktivního dodavate- le jsou opět rovny nule Dodávka od fiktivního dodavatele zna- mená nesplněný požadavek (8.14) < -, přidáme

56 © L&K56 Příklad 8.9 V tabulce jsou zadány kapacity (t), poža- davky (t) a cenové koeficienty (km) DP Vypočtěte výchozí řešení indexní meto- dou Tab. 8.14

57 © L&K57 Vyrovnání problému Tab Tabulku rozšíříme o řádek fiktivního doda- vatele s kapacitou =50

58 © L&K58 Indexní metoda Tab Hodnota účelové funkce z = 5570

59 © L&K59 Metoda VAM Tab Hodnota účelové funkce z = 5570

60 © L&K60 KONEC


Stáhnout ppt "4EK213 – LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 – 12:30 hod. učebna 212 RB © Lagová, Kalčevová."

Podobné prezentace


Reklamy Google