Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY. 2 Obsah •Historická poznámka •Úloha na volný extrém •Úloha na vázaný extrém •Optimalizační úloha •Klasifikace optimalizačních.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY. 2 Obsah •Historická poznámka •Úloha na volný extrém •Úloha na vázaný extrém •Optimalizační úloha •Klasifikace optimalizačních."— Transkript prezentace:

1 1 OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY

2 2 Obsah •Historická poznámka •Úloha na volný extrém •Úloha na vázaný extrém •Optimalizační úloha •Klasifikace optimalizačních úloh •Možnosti řešení optimalizačních úloh

3 3 Historická poznámka •Nalezení extrému funkce pomocí metod matematické analýzy - derivace atd. •Praktické aplikace - omezení definičního oboru funkce

4 4 Úloha na volný extrém min  f(x)  x  D f  kde D f je definiční obor funkce f(x). minimální hodnota funkce na celém definičním oboru

5 5 Květák a kedlubny •Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. •Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí –Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy –Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N 1 = 0,25 x x 1, u kedluben zhruba podle funkce N 2 = x x 2, kde x 1,2 jsou výměry plodin. •Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

6 6 Květák a kedlubny •Úloha na volný extrém –Funkce nákladů •x 1 výměra květáku (ar) •x 2 výměra kedluben (ar) •Náklady f(x) = ,25x x 1 + x 2 2 – 4x 2 •Kritérium f(x) = 0,25x x 1 + x x 2  min •Extrém x 1 = 6, x 2 = 2

7 7 Úloha na vázaný extrém min  f(x)  x  M  M=  x  q(x) =0  úloha nalezení extrému funkce podél křivky q(x)=0 •Lagrangeova funkce L(x,u) = f(x) + u T.q(x)

8 8 Květák a kedlubny •Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. –Květák chce pěstovat na 8 arech. •Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí –Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy –Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N 1 = 0,25 x x 1, u kedluben zhruba podle funkce N 2 = x x 2, kde x 1,2 jsou výměry plodin. •Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

9 9 Květák a kedlubny •Úloha na vázaný extrém –Funkce nákladů •x 1 výměra květáku (ar) •x 2 výměra kedluben (ar) •Kritérium f(x) = 0,25x x 1 + x 2 2 – 4x 2  min –Křivka •q(x) = x 1 – 8 = 0 •Řešení –Lagrangeova funkce L(x 1, x 2, u) = 0,25x x 1 + x 2 2 – 4x 2 + u (x 1 – 8) –Extrém x 1 = 8 a pak x 2 = 20

10 10 Optimalizační úloha min  f(x)  q i (x)  0, i = 1,..., m, x T =(x 1, x 2,..., x n ) T  R n , f(x) a q i (x) jsou reálné funkce více proměnných a x je prvek vektorového prostoru R n.

11 11 Květák a kedlubny •Soukromý zemědělec se rozhoduje o výměře dvou druhů zeleniny. –K dispozici má 35 arů půdy, na nichž by chtěl pěstovat květák a kedlubny. Pro květák lze využít alespoň 8 arů. •Zemědělec ví, že se náklady na produkci těchto dvou komodit skládají ze dvou částí –Náklady fixní ve výši 3500 Kč, které musí vynaložit vždy –Variabilní náklady, které progresivně rostou vzhledem k obdělávané výměře. U květáku rostou přibližně podle funkce N 1 = 0,25 x x 1, u kedluben zhruba podle funkce N 2 = x x 2, kde x 1,2 jsou výměry plodin. •Najděte výměru plodin s minimálními náklady.

12 12 Optimalizační úloha Základní prvky optimalizačního modelu proměnné - procesy omezující podmínky kriteriální - účelová funkce Základní pojmy přípustné a nepřípustné řešení optimální řešení

13 13 Květák a kedlubny •Model optimalizační úlohy –Proměnné •x 1 výměra květáku (ar) •x 2 výměra kedluben (ar) –Omezující podmínky •q 1 (x) = x 1 + x  0celková výměra •q 2 (x) = x 1 – 8  0výměra květáku –Kritérium •f(x) = 0,25x x 1 + x 2 2 – 4x 2  min

14 14 Květák a kedlubny •Řešení v Excelu, modul Řešitel Proměnné x Parametry omezujících podmínek Parametry kriteriální fce q(x)q(x) f(x) <=><=>  0 min

15 15 Květák a kedlubny •Řešení v Excelu, modul Řešitel

16 16 Klasifikace optimalizačních úloh  Z hlediska počtu kritérií  jednokriteriální optimalizační model,  vícekriteriální optimalizační model.  Z hlediska typu kritéria  minimalizační model f(x)  MIN  maximalizační model f(x)  MAX  cílový model dosažení cíle f(x) = h  Podle typu použitých funkcí  lineární optimalizační model  nelineární optimalizační model  konvexní model - kvadratický konvexní model  nekonvexní model.

17 17 Možnosti řešení optimalizačních úloh  Nalezení vektoru x splňujícího omezující podmínky q i (x)  0, i = 1,..., m  Nalezení minimální hodnoty účelové funkce f(x).  Grafický přístup  Analytické metody  Numerické metody

18 18 Nalezení přípustného řešení Problém - nekonvexnost množiny přípustných řešení. Když už jedno přípustné řešení najdeme, jak najít to optimální.

19 19 Nalezení extrému účelové funkce Problém - nekonvexnost účelové funkce - lokální a globální extrémy. Kterým směrem postupovat k optimálnímu řešení?

20 20 Analytické metody •Lagrangeova funkce L(x,u) = f(x) + u T.q(x) •Sedlový bod L(x opt, u)  L(x opt, u opt )  L(x, u opt ) •Kuhn-Tuckerovy podmínky - vlastnosti sedlového bodu •Wolfeho algoritmus pro řešení kvadratických optimalizačních úloh

21 21 Numerické metody •Gradientní metody x k+1 = x k +  k.s k •Penalizační a bariérové metody min  f(x) + p k (x)  x  R n  •Heuristické metody •metoda TOP TWENTY


Stáhnout ppt "1 OBECNÉ OPTIMALIZAČNÍ MODELY. 2 Obsah •Historická poznámka •Úloha na volný extrém •Úloha na vázaný extrém •Optimalizační úloha •Klasifikace optimalizačních."

Podobné prezentace


Reklamy Google