Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 12. PŘEDNÁŠKA.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 12. PŘEDNÁŠKA."— Transkript prezentace:

1 CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 12. PŘEDNÁŠKA Březen 2009

2 lineárního (i jiného) programování. ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního (i jiného) programování. ☺ POKRAČOVÁNÍ

3 Formulace úloh lineárního celočísel- ného programování (CLP) Formulace úloh Obecným tvarem úlohy lineárního celočísel- ného programování (CLP) je úloha maxima- lizace nebo minimalizace lineární funkce s podmínkou, že nezávisle proměnné této funkce musí splňovat soustavu omezení da- ných soustavou lineárních rovnic nebo nerov- ností, z nichž některé musí splňovat i pod- mínku celočíselnosti. Celočíselné programování Březen 2009

4 zakrouhlo- vací metoda Nejjednodušší metodou je tzv. „zakrouhlo- vací metoda“, podle které se zadaná úloha vyřeší bez ohledu na podmínky celočíselnosti a výsledek, tj. složky získaného optimálního neceločíselného řešení se na celá čísla „zaokrouhlí“. Má to nevýhodu v tom, že tento postup neza- ručuje získání optimálního řešení, ale dokonce ani nemusí být přípustným řešením. Celočíselné programování Březen 2009

5 jsou-li všechny složky opti- málního neceločíselného řešení velmi vel- ká čísla Že z toho plyne určitě malá oblast úloh, které takto mohou být řešeny, je více než jasné. V praxi lze tento postup doporučit pouze v případech, jsou-li všechny složky opti- málního neceločíselného řešení velmi vel- ká čísla (zaokrouhlení je pak „neovlivní“) a pokud nebude vadit možné nedodržení ome- zujících podmínek. Celočíselné programování Březen 2009

6 Obecná formulace úlohy CLP Obecná formulace úlohy CLP Ve vektorovém nebo maticovém tvaru, pří- padně složkovém tvaru: max L(x) = c T * x na množině přípustných řešení S daných omezujícími podmínkami: x 1 * a 1 + x 2 * a 2 + … + x n * a n ≤ b x j ≥ 0 kde x j jsou celá čísla a j = 1, 2, …, n. Celočíselné programování Březen 2009

7 procesem bivalentního (binární) programování Pokud je podmínkou vztah: xj = 0 nebo xj = 1 nazývá se řešení procesem bivalentního (binární) programování. Formálně se tak CLP liší od běžné necelo- číselné úlohy pouze právě těmi podmínkami celočíselnosti. Celočíselné programování Březen 2009

8 Enumerativní metoda Enumerativní metoda Je-li množina přípustných řešení úlohy CLP omezená, pak je konečná, tj. obsahuje ko- nečný počet izolovaných bodů – mnohdy se používá nesprávného názvu „diskrétní“. Český ekvivalent názvu enumerativní je výčtový nebo vyjmenovávací a používá se málo. Celočíselné programování Březen 2009

9 hodnotu kriteriální účelové funkce. explicitní Enumerativní metody jsou charakterizovány tím, že probírají postupně jeden bod mno- žiny přípustných řešení po druhém a hledají (vypočítávají) v něm hodnotu kriteriální účelové funkce. Takové metody se pak nazývají explicitní. Celočíselné programování Březen 2009

10 pamatuje nejlepší aktuální bod a funkční hodnotu Algoritmus enumerických metod je systema- tický a jednoduchý – z výpočtu hodnot úče- lové funkce si pamatuje nejlepší aktuální bod a funkční hodnotu. Po probrání všech možných bodů je výsled- kem (řešením celé úlohy CLP) právě ten nejlepší bod. Celočíselné programování Březen 2009

11 Přibližný výpočet náročnosti Tato metoda je přes svoji jednoduchost velice náročná na výpočetní výkon a to už přibližně pro n ≥ 25. Přibližný výpočet náročnosti si lze před- stavit z následujících čísel: * pro n = 25 + počet podmínek m, kde m = 25 – bude nutno provést o = 2 * m * n operací to by bylo rovno o =1250 ….. Celočíselné programování Březen 2009

12 * pro 2n výsledných bodů bude potřeba o = 2 *m * n * 2n operací pro n = 25 to bude bodů a celkem operací *** u rychlosti, kterou může PC dát k dispo- zici, např. 1 milion operací za vteřinu, to bude trvat vteřiny cca 700 minut = 11,7 hod. Celočíselné programování Březen 2009

13 V reálu bude výpočet „o něco“ kratší, proto- že lze předpokládat, že některé výpočty skončí dřív než vyčerpáním kontroly všech m podmínek !!! Celočíselné programování Březen 2009

14 Úlohy diskrétního programování pomocí diskrétních mate- matických modelů konečným počtem mož- ných řešení. Úlohy diskrétního programování Jednou z oblastí celočíselného programování jsou úlohy řešené pomocí diskrétních mate- matických modelů. Jsou užívány v případech, kdy se jedná o rozhodování mezi mnoha variantami (kterých je konečný počet) s konečným počtem mož- ných řešení. Diskrétní programování Březen 2009

15 V aplikační praxi dosahuje počet řešení ta- kových čísel, že ani nasazení výpočetní tech- niky nevede k cíli – vyhodnocení výsledného řešení by trvalo neúměrně dlouho. Tyto úlohy mají blízko k lineárnímu progra- mování a principům jeho řešení i když pou- žívají trochu jiný matematický aparát. Březen 2009 Diskrétní programování

16 Diskrétní optimalizace Diskrétní optimalizace spočívá v hledání prvku z diskrétní množiny, pro nějž funkce definovaná na této množině, nabývá maxi- mum nebo minimum. Nejobvyklejší tvar řešených úloh je tvar smí- šený, kde existují jak celočíselné proměnné tak i proměnné, které nejsou vázány pod- mínkou celočíselnosti. Březen 2009 Diskrétní programování

17 MIP (Mixed Integer Programming) = Smíšená úloha lineárního celočíselného programování. čistě celočíselné úloze = IP (Integer Programming. Tato úloha je známa pod anglickou zkratkou MIP (Mixed Integer Programming) = Smíšená úloha lineárního celočíselného programování. Pokud se neceločíselné spojitě proměnné nevyskytují, mluví se o čistě celočíselné úloze = IP (Integer Programming. Březen 2009 Diskrétní programování

18 se zapisuje ve tvaru: (MIP) max  cx + dy : Ax + Dy  b, x Є Z n +, y Є R p +  kde Z+ … je množina celých nezáporných čísel R+ … je množina nezáporných reálných čísel. Úloha MIP se zapisuje ve tvaru: (MIP) max  cx + dy : Ax + Dy  b, x Є Z n +, y Є R p +  kde Z+ … je množina celých nezáporných čísel R+ … je množina nezáporných reálných čísel. Březen 2009 Diskrétní programování

19 ceny odpovídajících proměnných. omezující podmínky Účelovou maximalizovanou funkcí, je zde lineární funkce (cx + dy). Koef. obsažené ve vektorech c a d se ozna- čují jako ceny odpovídajících proměnných. Soustava nerovností znázorněná vztahem (Ax + Dy  b) jsou omezující podmínky úlohy, která je zadána parametry ….. Březen 2009 Diskrétní programování

20 ……. Omezující podmínky úlohy - parametry: c … je n-členný vektor cen celočíselných proměnných d … je p-členný vektor cen neceločíselných proměnných A … je matice m * n koeficientů m omezení a n celočísel. proměnných ……. Březen 2009 Diskrétní programování

21 D … je matice m * p koeficientů m omezení a p neceločíselných proměnných b … je m-členný vektor pravých stran. Dále se předpokládá, že parametry ( c, d, A, D, b ) jsou racionální – což není pro praxi žádným omezením a vyhovuje to systému práce s čísly pomocí výpočetní techniky. Březen 2009 Diskrétní programování

22 Množina množinou přípustných řešení Množina S =  x Є Z n +, y Є R p + : Ax + Dy  b  je nazývána množinou přípustných řešení obsahujících body (x, y) splňující soustavu omezení ve tvaru Ax + Dy  b a složky vektoru x jsou nezáporné celočíselné, kdežto složky vektoru y jsou pouze nezáporné. Březen 2009 Diskrétní programování

23 V úloze MIP lze zcela obecně definovat ome- zení jako rovnice, protože nerovnosti lze na soustavu (obvykle dvojici) rovnic převést. Vztah mezi minimalizací a maximalizací je jednoduchý – převedení spočívá ve vyná- sobení účelové funkce koeficientem „-1“. Březen 2009 Diskrétní programování

24 Pokud žádné proměnné nejsou celočíselné, jde o úlohu lineárního programování ve tvaru: (LP) max  dy : Dy  b, y Є R p +  Březen 2009 Diskrétní programování

25 smíšenou bivalentní úlohu Pokud v úloze MIP mohou celočíselné pro- měnné nabývat pouze dvou hodnot (binár- ních) 0 nebo 1, jde o smíšenou bivalentní úlohu danou vztahem ve tvaru: (0 - 1 MIP) max  cx + dy : Ax + Dy  b x Є B n +, y Є R p +  kde B =  0, 1 . Březen 2009 Diskrétní programování

26 Čistě celočíselná úloha má pak tvar: (IP) max  cx : Ax  b, x Є Z n +  respektive tvar: (0 – 1 IP) max  cx : Ax  b, x Є B n +  Březen 2009 Diskrétní programování

27 CP (Combinatorial Optimization Problem)= kombinatorický optimalizační problém. S bivalentní úlohou (0 – 1 IP) souvisí úloha označovaná jako CP (Combinatorial Optimization Problem) = kombinatorický optimalizační problém. Její tvar: (CP) max  f(P) : P Є N  kdeN =  1, 2, 3, …, n  P … jsou její podmnožiny f(P) = ∑j Є P c j … sumace podle j pro zadaný vektor cen c j. Březen 2009 Diskrétní programování

28 Pozn.: Při řešení konkrétních praktických úloh je nutné nejprve úlohu převést ze slovní formulace na typově odpovídající matematický model vedoucí pak na některý z typů diskrétních úloh ( MIP, IP, 0-1 MIP, 0-1 IP atd.). V těchto příkladech dále uváděný symbol → max bude označovat funkci pro maximalizaci nebo minimalizaci. Březen 2009 Diskrétní programování

29 Vlastnosti úlohy IP Popis množiny přípustných řešení Vlastnosti úlohy IP Popis množiny přípustných řešení Je dána úloha celočíselného programování ve tvaru: (IP) max  cx : Ax  b, x Є Z n +  Množina přípustných řešení, je dána vztahem: S =  x Є Z n + : Ax  b  Diuskrétní programování - Vlastnosti úlohy IP Březen 2009

30 Pokud nebude vyžadována podmínka celo- číselnosti, půjde o úlohu lineárního progra- mování ve tvaru: (LP)max  cy : Ay  b, x Є R n +  která má množinu přípustných řešení: P =  x Є R n + : Ax  b  Diskrétní programování - Vlastnosti úlohy IP Březen 2009

31 Řešení úloh spadajících do této oblasti je pomocí řady metod: * metoda nerovností a jejich zesilování * metoda Chvátal - Gomoryho * metoda zesilování nerovností s využitím děli- telnosti * metoda Gomoryho nerovnosti * metoda duality a relaxace * metoda Binderovy dekompozice smíšené celočí- selné úlohy. Diskrétní programování - Vlastnosti úlohy IP Březen 2009

32 Metoda řešení úlohy IP a MIP Metoda řešení úlohy IP a MIP Obě úlohy IP i MIP jsou NP-obtížné a proto neexistuje polynomiální algoritmus pro řešení těchto úloh. Tyto metody nejsou polynomiální a pro roz- sáhlejší úlohy s větším počtem celočíselných proměnných může být výpočet neúnosně zdlouhavý a v reálném čase nemusí dát optimální řešení. Diskrétní programování - Metody řešení Březen 2009

33 Dvě základní skupiny Dvě základní skupiny řešitelských metod: * metody řezných nadrovin – metody seč- ných nadrovin(cutting plane algorithm) - pos- tupné přidávání platných omezení – význam- ná je řada Gomoryho metod * metody větvení a hranic – (branch and bound) - postupné dělení množiny přípust- ných řešení na podmnožiny a hledání opti- málního řešení na podmnožinách. Březen 2009 Dsikrétní programování - Metody řešení

34 Konvexní kvadratický optimalizační model kvadratické účelové funkce a lineárních omezujících podmínek. Konvexní kvadratický optimalizační model Tento model patří mezi nelineární optimali- zační úlohy a týká se oblasti nelineárního programování. Problém je definován pomocí kvadratické účelové funkce a lineárních omezujících podmínek. Zároveň většinou lépe popisují modelovanou realitu. Březen 2009 Diskrétní programování - Metody řešení

35 Nevýhodou je, že lineární formulace omezu- jících podmínek je nutným zjednodušením řešeného problému. Řešení je těžké a velmi obtížné. Určitou výjimkou jsou konvexní optimalizační modely s lineárními omezují- cími podmínkami a s kvadratickou kriteriální funkcí. Březen 2009 Diskrétní programování - Metody řešení

36 K řešení se používá Wolfeho algoritmus, který převádí řešení nelineární úlohy na řešení pomocné lineární úlohy simplexovým algoritmem s rozšířenými pravidly pro vstup proměnných do báze. Wolfeho algoritmus vychází z analytického popisu postupu řešení obecného optimalizačního modelu pomocí Kuhn – Tuckerových podmínek. Ty popisují sedlový bod Lagrangeovy funkce. Březen 2009 Diskrétní programování - Metody řešení

37 Konvexní optimalizační model Konvexní optimalizační model Je definován jako optimalizační úloha nale- zení minimální hodnoty konvexní kvadratické účelové funkce (konkávní optimalizační mo- del pak v případě hledání maximální hodnoty konkávní kvadratické účelové funkce) na množině přípustných řešení vyjádřené lineárními nerovnostmi. Březen 2009 Konvexní optimalizační model

38 Lze jej zapsat ve tvaru matice: min { ½ * x T * C x + p T * x │ A * x ≤ b, x j ≥ 0 j = 1, 2,..., n, x Є R n } kde: ½ * C... symetrická matice koef. kvadratických členů účelové funkce (pro její prvky platí cij = cji a oba indexy „i“ i „j“ = 1, 2,... n ) p... je vektor koeficientů soustavy omezujících podmínek b... je vektor pravých stran těchto podmínek. Březen 2009 Konvexní optimalizační model

39 Optimalizační model * vektor proměnných Optimalizační model má tyto prvky, jejichž matematický popis je: * vektor proměnných sloužící k popisu jed- notlivých složek hledaného rozhodnutí má tvar x = ( x 1, x 2, x 3,......, x n ) Є R n Březen 2009 Konvexní optimalizační model

40 * účelová (kriteriální) kvadratická funkce * lineární omezující podmínky * účelová (kriteriální) kvadratická funkce popisující cíl (kritérium) hledaného rozhod- nutí má tvar ½ * x T * C x + p T * x * lineární omezující podmínky popisující cíl (kriterium) hledaných reálných omezení mají tvar A*x ≤ nebo = nebo ≥ b a to pro všechna omezení. Březen 2009 Konvexní optimalizační model

41 Vícekriteriální optimalizační metody Vícekriteriální optimalizační metody Čím více je kriterií, která mohou ovlivnit roz- hodovací proces a výsledné rozhodnutí, tím je řešení tohoto procesu komplikovanější. Začíná to tím, že problém je obtížněji mode- lovatelný i řešitelný. Přitom v reálu je to pod- statně běžnější a obvyklejší než jednoduchá situace s jediným kritériem. Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

42 Lze říci, že řada praktických situací není jedno-kriteriálního řešení schopna. Modelování vícekriteriálních situací tedy znamená nalezení řešení, které bude vy- hovovat (ideálně) všem kriteriím, nebo ales- poň těm nejdůležitějším. Je vhodné na za- čátku eliminovat nedůležitá kritéria a neefek- tivní varianty – nebo se pokusit o jejich sdru- žené uspořádání. Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

43 Přístupů Přístupů k vícekriteriálnímu rozhodování a tedy k hodnocení získaných variant se liší podle charakteru množiny variant nebo mno- žiny přípustných řešení. Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

44 * modely zadané pomocí konečného seznamu variant * modely mající množinu variant s neko- nečně mnoha prvky Hlavními jsou dvě skupiny modelů: * modely zadané pomocí konečného seznamu variant a jejich ohodnocení podle jednotlivých kriterií * modely mající množinu variant s neko- nečně mnoha prvky vyjádřenu soustavou omezujících podmínek a ohodnocení jedno- tlivých variant je dáno jednotlivými kriteriál- ními funkcemi. Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

45 Metody Metody používané v této oblasti rozhodova- cích modelů, lze rozřadit do těchto skupin: * metody vycházející z dílčí optimalizace, na kterou navazují vhodně zvolené postupy s pokračujícími výpočty vyhovujícího kom- promisního řešení Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

46 * metody agregující do jediné globální fun- kce daná kritéria vícekriteriálního modelu, čili složitá úloha se převede na klasickou jedno- kriteriální řešitelnou úlohu Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

47 * úprava kriteriálních funkcí na omezující podmínky s využitím úzkého vztahu mezi definicí kriteria a vlastním omezením v mo- delu, tj. využitím možnosti zajistit požadova- nou úroveň kriteria formou jeho převodu na omezující podmínku Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

48 * cílové programování = metody vedoucí k řešení specifických úloh - pro každou uva- žovanou kriteriální funkci se předem zadává požadovaná cílová úroveň, která by se měla dosáhnout a dále musí zadat i preference dosažení jednotlivých cílových hodnot Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

49 * interaktivní iterační metody – jde o úlohy vektorové optimalizace – jsou založené na dialogu vyhodnocovatele a řešitele, kdy si interaktivně vyměňují řadu informací v iterač- ních krocích, při kterých rozhodovatel zpřes- ňuje vstupní informace a řešitel po výpočtu sdělí „nové“ výsledky – jedná se o velice in- dividualizovaný přístup k řešení Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

50 *** ALOP (Aspiration Levels Oriented Procedure) je založena na principu prohle- dávání (s heuristikou. kterou je vzdálenost od nedominované hranice množiny přípustných řešení) hodnot kriteriálních funkcí – výsled- kem je trajektorie aspiračních úrovní a získá- ní kompromisního řešení Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

51 *** STEM – metoda ze 70. let minulého sto- letí – je určena pro řešení úloh lineární vek- torové optimalizace, které umožňují kom- penzaci hodnot kriterií Březen 2009 Vícekriteriální optimalizační metody

52 Metody řešení modelů vícekriteriální analýzy Metody řešení modelů vícekriteriální analýzy Existuje celá řada metod, z nichž nejčastěji se uvádí: * bodovací metoda – model je zadán pouze pomocí preferencí variant podle jednotlivých kriterií a nejsou známy preference kriterií Březen 2009 Vícekriteriální modely - Metody řešení

53 * metoda převedení kriteriální funkce do omezujících podmínek = metoda pořadí – předpokladem použití je fakt, že rozhodovatel je schopen určit, které kriterium je „nejdůleži- tější“ – tím se úloha stává monokriteriální optimalizací – ostatní kritéria pak rozhodova- tel převede do formy omezujících podmínek = pro každou určí „minimální hodnotu nebo aspirační úroveň její funkcionality“ … Březen 2009 Vícekriteriální modely - Metody řešení

54 ….– model je zadán pouze pomocí prefe- rencí variant podle jednotlivých kriterií a nejsou známy preference kriterií Březen 2009 Vícekriteriální modely - Metody řešení

55 * metoda aspiračních úrovní – použitelná, pokud je známa nominální informace o krite- riích, tj. nejhorší přípustné hodnoty kriterií a kardinální ohodnocení variant podle jednotli- vých kriterií – určí se množina akceptovatel- ných variant = připustí se pouze varianty spl- ňující všechny aspirační úrovně (musí mít alespoň minimální požadované hodnocení – u disjunktivní metody se připouští varianty, které splňují alespoň jeden požadavek Březen 2009 Vícekriteriální modely - Metody řešení

56 * metoda váženého součtu – vyžaduje kar- dinální informace, kriteriální matici Y a vektor vah kriterií – tato metoda je speciálním přípa- dem metody funkce užitku – vychází z maxi- malizace užitku daného maximem funkce užitku u j (y ij ) – varianta musí osáhnout určité (definované) hodnoty, pak již začne přinášet uživateli užitek Březen 2009 Vícekriteriální modely - Metody řešení

57 * metoda TOPSIS – vyžaduje kardinální in- formace, kriteriální matici Y a vektor vah kri- terií – tato metoda posuzuje varianty z hle- diska jejich vzdálenosti od ideální a bazální varianty Březen 2009 Vícekriteriální modely - Metody řešení

58 * metoda funkce užitku = agregace kritérií, agregace charakteristik – vychází z předpo- kladu, že rozhodovatel je schopen přiřadit každému z čísel f = (f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), …, f p (x)) kde x je libovolný prvek množiny přípustných řešení a užitečnost (jako reálné číslo) Březen 2009 Vícekriteriální modely - Metody řešení

59 * metoda cílového programování – spočívá v nalezení kompromisního řešení, jehož ohodnocení leží nejblíže ideálnímu pseudo- hodnocení – jedná se o minimalizační opti- malizaci – takže opět se jedná o převod na úlohu monokriteriální optimalizace. Březen 2009 Vícekriteriální modely - Metody řešení

60 březen 2009 …..… cw05 – 12. POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují ……

61 ……… Březen 2009


Stáhnout ppt "CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 12. PŘEDNÁŠKA."

Podobné prezentace


Reklamy Google