Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Lineární programování Simplexový algoritmus. Základní pojmy Přípustné řešení - množina přípustných řešení Bázické řešení (vrchol) Optimální řešení Alternativní.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Lineární programování Simplexový algoritmus. Základní pojmy Přípustné řešení - množina přípustných řešení Bázické řešení (vrchol) Optimální řešení Alternativní."— Transkript prezentace:

1 Lineární programování Simplexový algoritmus

2 Základní pojmy Přípustné řešení - množina přípustných řešení Bázické řešení (vrchol) Optimální řešení Alternativní řešení Suboptimální řešení

3 Řešitelnost úlohy Řešení neexistuje –neexistuje řešení omezujících podmínek –kriteriální funkce je neomezená v požadovaném směru Existuje právě jedno řešení –jediné a bázické Existuje nekonečně mnoho řešení –dvě a více bázická optimální (alternativní) řešení

4 Základní věty Má-li úloha LP přípustné řešení, má i přípustné bázické řešení. Má-li úloha LP optimální řešení, má i optimální bázické řešení. Optimální řešení úlohy LP leží vždy na hranici množiny přípustných řešení. Má-li úloha LP více než jedno optimální řešení řešení, je optimálním řešením i jejich konvexní kombinace.

5 Simplexový algoritmus Výchozí řešení ve tvaru rovnic Soustava lineárních rovnic v kanonickém tvaru Nezápornost pravých stran Test optima (vstupu) Test přípustnosti báze (výstupu Přechod na nové řešení Jordanovou eliminační metodou

6 Soustava omezujících podmínek Numericky umíme řešit pouze soustavy lineárních rovnice, nikoliv nerovnic Jordanova eliminační metoda – bázické řešení převedeme na

7 Kapacitní podmínky Ax  b Ax + Ed = b, d  0 doplňkové proměnné AxEdb

8 Požadavkové podmínky Ax  b Ax - Ed + Ep = b, d  0 doplňkové proměnné + pomocné proměnné Ax-Ed Ep Epb

9 Podmínky v rovnicovém tvaru určení, bilanční a pod. Ax = b Ax + Ep = b, p  0 pomocné proměnné AxEpEpb

10 Druhy proměnných Strukturní –Vycházejí ze zadání úlohy Doplňkové –Doplňují nerovnice na rovnice –Rezerva v kapacitních podmínkách - kladný koeficient 1 –Překročení v požadavkových podmínkách - záporný koeficient -1 Umělé –Vytvářejí jednotkovou matici

11 Bázické řešení Kanonický tvar soustavy rovnic Proměnné s jednotkovými vektory - bázické Řešení VZHLEDEM k bázickým proměnným x N x B A N E b xBxB

12 Příklad Na 300 ha orné půdy se bude pěstovat pšenice, ječmen a řepka. K dispozici je 50 t NPK. Řepku je možno pěstovat na nejvýše 20 ha, ječmen alespoň na 100 ha. Rozhodněte, na kolika ha kterou plodinu pěstovat, aby zisk byl maximální.

13 Matematický model

14 Úpravy na rovnice a kanonicky tvar

15 Výchozí řešení Bázické proměnné Simplexová tabulka

16 Test optimality Cena ekvivalentní lineární kombinace z j - c j =  i  ij.c i - c j z j - c j  0 skutečná cena (náklady) nižší než bázická z j - c j  0 skutečná cena (zisk) vyšší než bázická Optimální řešení Maximalizace: všechna (z j - c j ) nezáporná Minimalizace: všechna (z j - c j ) nekladná

17 Test optimality Vstupující proměnná

18 Vstup proměnné do báze Výsledek testu optimality Maximalizace Do báze vstupuje proměnná, která má z j - c j  0 a největší v absolutní hodnotě –v našem příkladu x 2 Minimalizace Do báze vstupuje proměnná, která má z j - c j  0 a s největší hodnotou

19 Test přípustnosti Zaručuje nezápornost řešení Pro vstupující proměnnou x j  0 musí platit –Je-li  ij > 0... Ω = b j /  ij –Je-li  ij  0... Výpočet se neprovádí Vystupující proměnná je v řádku, kde je minimální Ω

20 Ω Test přípustnosti Vstupující proměnná Pivot

21 Přechod na nové řešení Sloupec j-té proměnné, která vstupuje do báze se nazývá klíčový sloupec Řádek i-té proměnné, která vystupuje z báze se nazývá klíčový řádek Průsečík klíčového sloupce a řádku je klíčový prvek (pivot)

22 Postup eliminační metody Klíčový řádek dělíme klíčovým prvkem Upravený klíčový řádek zapíšeme do další tabulky Pro úpravu dalšího řádku násobíme upravený klíčový řádek prvkem v upravovaném řádku v klíčovém sloupci (leží pod nebo nad pivotem) Vynásobený klíčový řádek od původního upravovaného řádku odečteme

23 Jordanova eliminační metoda

24 Nová báze Nové řešení

25 Výpočet modelu

26 Interpretace optimálního řešení x 1 =0 (nebázická) pšenice se pěstovat nebude x 2 =280 ječmen se bude pěstovat na 280 ha x 3 =20 řepka se bude pěstovat na 20 ha x 4 =0 (nebázická) žádná rezerva orné půdy x 5 =7,6 rezerva NPK je 7,6 t x 6 =0 (nebázická) žádná rezerva půdy pro řepku x 7 =180 překročení plochy ječmene Zisk bude 480 tis. Kč.

27

28 Příklad 2 Výrobky A a B se opracovávají na dvou strojích. –Výrobku A je třeba vyrobit alespoň 14 kusů. –Kapacita prvního stroje je 3000 hodin a kapacita druhého stroje je 1000 hodin. –Požadavky výrobků na strojní hodiny viz tabulka. Sestavte výrobní program, který dosáhne maximálního zisku. Stroj 1Stroj 2Zisk A B22

29 Sestavení modelu X 1 …počet výrobků A X 2 …počet výrobků B Výrobku A alespoň 14 kusů Kapacita prvního stroje je 3000 hodin Kapacita druhého stroje je 1000 hodin Počty výrobků jsou nezáporné Maximalizujeme zisk

30 Výchozí řešení – simplexová tabulka

31 Test optimality

32 Výběr vstupující proměnné

33 Výběr vystupující proměnné

34 Úprava klíčového řádku

35 Úprava druhého řádku Klíčový řádek násobíme (-80) a přičítáme k druhému řádku

36 Úprava třetího řádku Klíčový řádek násobíme (-20) a přičítáme ke třetímu řádku

37 Volba klíčového sloupce a řádku

38 Konec výpočtu

39 Výsledek řešení x 1 =14 výrobků typu A bude 14 kusů x 2 =360 výrobků typu B bude 360 kusů x 3 =0 x 4 =1160 volná kapacita 1. stroje x 5 =0 Zisk bude tis. Kč.

40


Stáhnout ppt "Lineární programování Simplexový algoritmus. Základní pojmy Přípustné řešení - množina přípustných řešení Bázické řešení (vrchol) Optimální řešení Alternativní."

Podobné prezentace


Reklamy Google