Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Matematické programování Ekonomický x matematický model úlohy Formulace matematického modelu úlohy LP Grafické řešení úloh LP a základní pojmy Simplexová.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Matematické programování Ekonomický x matematický model úlohy Formulace matematického modelu úlohy LP Grafické řešení úloh LP a základní pojmy Simplexová."— Transkript prezentace:

1 Matematické programování Ekonomický x matematický model úlohy Formulace matematického modelu úlohy LP Grafické řešení úloh LP a základní pojmy Simplexová metoda Interpretace výsledků Formulace typických úloh LP 1

2 Úvod Matematický model úlohy MP: maximalizovat (minimalizovat) za podmínek 2

3 Příklad – ekonomický model 3 Balírny a pražírny kávy DE, a.s., plánují na následující období výrobu dvou směsí kávy Mocca a Standard. Pro výrobu obou směsí mají přitom na toto období smluvně k dispozici od dodavatelů tři druhy kávových bobů K 1, K 2 a K 3 postupně v kapacitě 40, 60 a 25 tun, které se navzájem liší kvalitou a samozřejmě i nákupní cenou. Na základě přímých a nepřímých nákladů souvisejících s výrobou a vzhledem k předpokládané ceně obou směsí byl vykalkulován zisk, který činí 20 000 Kč resp. 14 000 Kč na jednu tunu směsi Mocca resp. Standard. Management firmy DE, a.s., chce samozřejmě naplánovat produkci firmy tak, aby byl její celkový zisk maximální. SměsKapacita Kompon enta MoccaStandard[tuny] K1K1 0.50.2540 K2K2 0.5 60 K3K3 -0.2525

4 Příklad – matematický model 4 maximalizovat z = 20 000x 1 + 14 000x 2,(zisk) za podmínek 0.5x 1 + 0.25x 2 ≤ 40,(K 1 ) 0.5x 1 + 0.5 x 2 ≤ 60,(K 2 ) 0.25x 2 ≤ 25,(K 3 ) x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. • účelová (kriteriální) funkce (=zisk) • vlastní omezení úlohy (= K 1, K 2, K 3 ) • podmínky nezápornosti.

5 Přípustné a nepřípustné programy 5 směsi [tuny] zbytek(+), nedostatek(-) kapacit zisk [tis. Kč] program MocStdK1K1 K2K2 K3K3 1 004060250 2 800020251600 3 0100151001400 4 50 251012.51700 5 8020-510201880

6 Ekonomický model 6 • cíl optimalizace (maximalizace zisku) • procesy, které probíhají v systému a jejich intenzita (výroba obou druhů směsí), • činitelé, které ovlivňují provádění procesů (omezená zásoba surovin) Matematický model • účelová (kriteriální) funkce = lineární fce n-proměnných • strukturní proměnné modelu (x 1, x 2,…, x n ) • vlastní omezení ve formě lineárních rovnic/ nerovnic a podmínky nezápornosti.

7 Obecný matematický model úlohy LP 7 maximalizovat (minimalizovat) z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +...+ c n x n, za podmínek a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n ≤ b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n ≤ b 2,. : a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n ≤ b m, x j ≥ 0, j = 1, 2,..., n. n počet strukturních proměnných modelu, m počet vlastních omezení, c j, j = 1,2,...,n - cenový koeficient příslušející j-té proměnné, b i, i = 1,2,...,m - hodnota pravé strany příslušející i-tému omezení, a ij, i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n - strukturní koeficient vyjadřující vztah mezi i- tým činitelem a j-tým procesem.

8 MM úlohy LP – sumace, matice 8 maximalizovat (minimalizovat) za podmínek maximalizovat (minimalizovat) z = c T x, za podmínek Ax ≤ b, x ≥ 0, c T = (c 1, c 2,..., c n ) je n - složkový řádkový vektor cenových koeficientů, x = (x 1,x 2,...,x n ) T je n-složkový sloupcový vektor strukturních proměnných modelu, b = (b 1, b 2,..., b m ) T je m - složkový sloupcový vektor hodnot pravé strany, 0 = (0, 0,..., 0) T je n - složkový sloupcový nulový vektor a A je matice strukturních koeficientů o rozměru m x n.

9 Typické úlohy LP 9 1.Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) 2.Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) 3.Plánování reklamy (media selection problem) 4.Nutriční problém 5.Směšovací problém 6.Rozvrhování pracovníků 7.Úlohy o dělení materiálu 8.Distribuční úlohy LP

10 Základní pojmy LP 10 Přípustné řešení úlohy LP je takové řešení, které vyhovuje všem podmínkám úlohy, tzn. všem vlastním omezením i podmínkám nezápornosti. Optimální řešení úlohy LP je přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce (s nejvyšší hodnotou v případě maximalizace a nejnižší hodnotou v případě minimalizace účelové funkce). Základní (přípustné) řešení úlohy LP je takové přípustné řešení, které má maximálně tolik nenulových složek, kolik je lineárně nezávislých řádků ekvivalentní soustavy rovnic. Ekvivalentní soustava rovnic vznikne převedením původní soustavy nerovnic na rovnice pomocí doplňkových proměnných, které se označují jako přídatné proměnné (slack variables).

11 Ekvivalentní soustava rovnic Přídatné proměnné 11 0.5x 1 + 0.25x 2 ≤ 40,(K 1 ) 0.5x 1 + 0.5 x 2 ≤ 60,(K 2 ) 0.25x 2 ≤ 25,(K 3 ) 0.5x 1 + 0.25x 2 + x 3 = 40, 0.5x 1 + 0.5 x 2 + x 4 = 60, 0.25x 2 + x 5 = 25. typ omezení přídatná proměnná "≤""≤" + x "≥"x "="

12 Základní pojmy LP – grafické znázornění 12

13 Základní pojmy LP – grafické znázornění 13 hodnoty proměnných řešeníx1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x1x1 00406025 x2x2 80002025 x3x3 4080005 x4x4 20100500 x5x5 0 15100 x6x6 0120100-5 x7x7 01600-20-15 x8x8 301000-50 x9x9 1200-20025 x 10 při volbě dvojice nezákladních proměnných x 2 = x 5 = 0 řešení neexistuje

14 Grafické řešení úlohy LP 14

15 Základní věta LP a její význam 15 Jestliže má úloha lineárního programování optimální řešení, potom má také optimální řešení základní. 1.Jestliže má úloha LP jediné optimální řešení, potom je to řešení základní. 2.Jestliže má úloha LP více optimálních řešení, potom alespoň jedno z nich je základní. Důsledek: Optimální řešení stačí hledat mezi řešeními základními, kterých je konečný počet.

16 Možnosti zakončení výpočtu při řešení úloh LP 16 1. Jediné optimální řešení 2. Alternativní optimální řešení 3. neomezená hodnota účelové funkce 4. neexistuje přípustné řešení

17 Simplexová metoda 17

18 Interpretace výsledků 18 Global optimal solution found. Objective value: 1920000. Total solver iterations: 2 Total constraints: 4 Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 0.000000 X2 80.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price ZISK 1920000. 1.000000 K1 0.000000 24000.00 K2 0.000000 16000.00 K3 5.000000 0.000000

19 Interpretace výsledků 19 Hodnoty strukturních proměnných (Value) Udávají úroveň jednotlivých procesů modelu (objem výroby obou druhů směsí) Hodnoty přídatných proměnných (Slack or Surplus) Udávají rozdíl mezi pravou a levou stranou (případně mezi levou a pravou stranou) omezujících podmínek (nevyužitá kapacita surovin) Stínové ceny (shadow/dual price) Lze interpretovat jako ocenění jedné jednotky pravé strany ve vztahu k hodnotě účelové funkce. Jedná se tedy vlastně o marginální ocenění pravých stran (podíl jedné tuny kapacity suroviny K na celkovém zisku) Redukované ceny (reduced cost) Udávají, o kolik je třeba zvýšit přínos daného procesu, aby byl efektivní (aby se daný výrobek vyráběl)


Stáhnout ppt "Matematické programování Ekonomický x matematický model úlohy Formulace matematického modelu úlohy LP Grafické řešení úloh LP a základní pojmy Simplexová."

Podobné prezentace


Reklamy Google