Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Dynamické systémy. strana 2 Dynamické systémy •obecné dynamické modely chování systémových jevů •často se vychází ze struktury systému, na které se popisuje.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Dynamické systémy. strana 2 Dynamické systémy •obecné dynamické modely chování systémových jevů •často se vychází ze struktury systému, na které se popisuje."— Transkript prezentace:

1 Dynamické systémy

2 strana 2 Dynamické systémy •obecné dynamické modely chování systémových jevů •často se vychází ze struktury systému, na které se popisuje chování •úlohy formulovány tak, aby byly řešitelné pomocí známých matematických metod a univerzálních algoritmů (např. matematické a dynamické programování), využijí se pojmy z –teorie diferenciálních a diferenčních rovnic –teorie pravděpodobnosti a stochastických procesů –teorie automatů •výsledkem často soustavy rovnic a nerovností

3 strana 3 Základní pojmy •časová množina T={t} –spočetná T={…, t 0, t 1, … t k, …} nespočetná T={t : t 0  t  t k } –omezená/neomezená •množina stavů X={x} –může být definována jako X = X 1 x X 2 x … X n –x … stavový vektor, popisuje stav systému •externí proměnné –popisují interakci systému s okolím –vstupní proměnné u = (u 1, u 2 …, u m ), výstupní proměnné v = (v 1, v 2 …, v r ) –vektor externích proměnných y = (u, v)

4 strana 4 Základní pojmy •externí funkce –popisují interakci systému s okolím –vstupní funkce U’ – vektorová funkce zobrazující T do U, kde U je množina všech vektorů u = (u 1, u 2 …, u m ) –výstupní funkce V’ – vektorová funkce zobrazující T do V, kde V je množina všech vektorů v = (v 1, v 2 …, v r ) –vstupní/výstupní prostor – množina všech definovaných vstupních/výstupních funkcí

5 strana 5 Základní pojmy •definice dynamického systému pomocí množin (Štach, 1982) S = M 1 x M 2 x … x M n soustava množin M 1, M 2,.. M n obsahuje časové množiny (T) nebo množiny funkcí času (např. množiny U’, V’) •dělení dynamických systémů –typu vstup-výstup: S = U’ x V’ –stavové systémy: S = M 1 x M 2 x … x M n, alespoň jedna množina je množina stavů X spojitý systémdiskrétní systém x’(t) = f( x(t), u(t), t)x(n+1) = f( x(n), u(n), n) v(t) = g( x(t), u(t), t)v(n) = g( x(n), u(n), n)

6 strana 6 Základní pojmy •přechodová transformace T x T x X x X’ x U’ x V’  X’’ T x T … množina počátečních a koncových časových okamžiků X … množina stavů X’ … množina funkcí zobrazující T  X U’, V’ … množiny vstupních a výstupních funkcí X’’ … koncová množina •množina stavů X – deterministické systémy •pravděpodobnostní rozdělení X – stochastické systémy

7 strana 7 Základní pojmy •stavová trajektorie –funkce x popisující vývoj stavů v čase (v závislosti na příčinách změn i na minulých stavech systému) x 1 0 x 1 1 x20x20 x21x21 x0x0 x1x1 x(t)

8 strana 8 Základní pojmy •výstupní transformace T x X x U  V T x X  V •soustava omezujících podmínek f(x, y, t) ≥ 0, t  T –fyzikální, ekonomická, institucionální a další omezení týkající se zdrojů systému

9 strana 9 Základní pojmy •jednoduchý dynamický systém –definován pomocí relace, např. R(T, T, X, U, U’, V, V’) •složený dynamický systém –množina jednoduchých dynamických systémů S1S1 S2S2 S3S3 uv v 13 v 32 v 12 v 23 u 31 u 32 u 21 u 23

10 strana 10 Dynamický systém G = (P, A, T, τ,  ) P … množina disjunktních množin objektů systému a okolí A … množina vztahů mezi objekty T … časová množina τ … množina přechodových funkcí (měnících strukturu systému, popisuje pohyb objektů mezi skupinami z P)  … funkce přechodu stavů (definuje nový stav systému na základě nových vztahů vzniklých působením τ ) Kenneth R. Thompson: “General System” Defined for Predictive Technologies of A-GSBT (Axiomatic-General Systems Behavioral Theory), Scientific Inquiry, vol. 7, No. 1, June, 2006, pp. 1 – 11

11 strana 11 Definice dynamického systému (Štecha, 2002) S = (T, X, U, U’, Y, Y’, φ, g) T … množina časových okamžiků T X … množina stavů systému U … množina okamžitých hodnot vstupních veličin U’ … množina přípustných vstupních funkcí U’ = {u(t): T  U} Y … množina okamžitých hodnot výstupních veličin Y’ … množina přípustných výstupních funkcí Y’ = {y(t): T  Y} φ … přechodová funkce g … výstupní zobrazení y(t) = g(x(t), u(t), t) (t, x(t)), t  T, x  X … událost T x X … prostor událostí

12 strana 12 •je dána orientace času – T je uspořádaná podmnožina množiny reálných čísel •množina U’ vyhovuje podmínkám: –je neprázdná –sjednocení vstupních dějů (jsou-li dva vstupní děje na různých intervalech přípustné, vstupní děj vzniklý jejich sjednocením je také přípustný) Definice dynamického systému (Štecha, 2002)

13 strana 13 přechodová funkce φ: x(t) = φ(t, τ, x(τ), u) –v intervalu <τ, t) působí funkce u –orientace času – funkce φ je definována pro t ≥ τ –identičnost – φ(t, t, x(t), u) = x(t) –vlastnost pologrupy – φ(t 3, t 1, x, u) = φ(t 3, t 2, φ(t 2, t 1, x, u), u) pro t 1 ≤ t 2 ≤ t 3 –kauzalita – φ(t 2, t 1, x, u) = φ(t 2, t 1, x, u’) pro u, u’  U, u(t) = u’(t) na intervalu t 1 ≤ t ≤ t 2 je dáno výstupní zobrazení g –y(t) = g(x(t), u(t), t) –y(t) = g(x(t), t) – nezávislé na řízení (ryze dynamický systém) Definice dynamického systému (Štecha, 2002)

14 strana 14 Dělení dynamických systémů •podle typu přechodové transformace (zobrazení T x T x X x U’  X) –deterministické – jednoznačné –nedeterministické – víceznačné –stochastické – náhodné –adaptivní – závisí i na minulosti systému •podle typu časové množiny –spojité –diskrétní

15 strana 15 Dělení dynamických systémů •podle typu množiny stavů –s konečnou množinou (konečné systémy) –s nekonečnou množinou •podle typu změny stavů –se spojitými změnami –s nespojitými změnami •podle stacionarity –stacionární (invariantní v čase) – jejich struktura a definiční relace se v čase nemění –nestacionární (proměnné v čase) •další typy –reverzibilní – přechodová funkce f(…t1, t2…) je definována pro t 1, t 2  T, ne pouze pro t 1 ≤ t 2 –konečný automat – množina stavů, vstupních a výstupních veličin jsou konečné množiny

16 strana 16 Vlastnosti dynamických systémů •řešení stavových rovnic –x’(t) = f(x, u, t) –y(t) = g(x, u, t) •řízení systému –schopnost ovlivňovat hodnoty vstupních proměnných •dosažitelnost –u(t) – řídicí veličina způsobující změnu počátečního stavu do stavu koncového –dosažitelný stav – existuje řízení u(t), které za konečný čas převede poč. stav x(t 0 ) = 0 do stavu x –dosažitelný systém – všechny stavy systému dosažitelné

17 strana 17 Úlohy na dynamických systémech •řiditelnost –u(t) – řídicí veličina způsobující změnu určitého stavu –řiditelný stav – existuje řízení u(t), které převede stav x do počátku (nulový stav) –řiditelný systém – všechny stavy řiditelné •pozorovatelnost a rekonstruovatelnost –mají význam z důvodu častého skrytí a tedy nemožnosti měření vnitřních veličin systému (stavu) –pozorovatelnost – změřením vstupu a výstupu na určitém časovém intervalu lze určit hodnotu stavu na počátku měření –rekonstruovatelnost (obnovitelnost, identifikovatelnost) – změřením vstupu a výstupu na určitém časovém intervale lze určit hodnotu stavu na konci měření

18 strana 18 Úlohy na dynamických systémech •úlohy o stabilitě –stabilita •vlastnost systému vzhledem ke množině rovnovážných stavů (konstantní stavy, stavy, kde se určité systémové proměnné v čase nemění, jsou splněny podmínky rovnováhy) •schopnost vrátit se do původního stavu po odeznění působení vstupního signálu •rušivý vliv – vstup znamenající vychýlení z rovnovážného stavu –hledají se rovnovážné stavy stabilní vůči konkrétním/všem rušivým vlivům

19 strana 19 Úlohy na dynamických systémech •prognostické úlohy –na základě počátečního stavu systému x(t 0 ), hodnot externích proměnných y(t) na časové množině T hledáme budoucí hodnoty stavových proměnných x(t) •optimalizační úlohy –řeší matematická teorie optimalizace –obsahují dynamický systém, kritérium optimality, soustavu omezení a množinu přípustných řešení •úlohy o spojení systémů – hledá se zobrazení systému vzniklého spojeních vstupů a výstupů několika systémů •simulace

20 strana 20 Příklad – Solowův růstový model vnitřní proměnné s … míra spoření d … míra depreciace A … technologie H … lidský kapitál L … práce vnější proměnné C … spotřeba S … úspory D … odpisy NI … čisté investice výstup – produkční funkce Y = A*F(K, H, E*L) přechodová transformace vývoj kapitálové zásoby ΔK = s*F(K, H, E*L) – dK vývoj pracovní síly L t+1 = L t (1 + g L ) Zdroj:

21 strana 21 Proces identifikace •identifikace = ztotožnění, aplikace systémových poznatků na objekt s cílem pomocí modelu zobrazit jeho systémové vlastnosti •identifikace je jedním z rozhodujících metodologických znaků systémového inženýrství (Vlček, 1999) •směry identifikace –od objektu k modelu na základě rozpoznaných vlastností objektu (deduktivní, axiomatický postup) •objekt se přizpůsobuje vzoru •vzor je vyhledáván na objektu •tento směr v rámci SI převažuje (zejména vyhledávání vzoru na objektu) –směr od definice systému směrem k objektu (induktivní postup) •vzor se přizpůsobuje objektu •objekt je vyhledáván na vzoru

22 strana 22 Kroky identifikace •zvolení úrovně podrobnosti – význam pro zvládnutelnost rozsahu modelu •výběr prvků na zvolené rozlišovací úrovni – rozlišení systému od jeho okolí •přiřazení funkcí vybraným prvkům –význam pro chápání systému jako dynamického objektu s určitými cíli –F=(f) – množina disponibilních funkcí = schopnost systému a i := f(x)  y a i  A (množina prvků), i=1, 2, … n (počet prvků) f … funkce, schopnosti jednotlivého prvku celku x … argumenty funkce (vstupy) y … výsledek funkce

23 strana 23 Kroky identifikace •vytvoření dvojic prvků, které spolu spolupracují, a jejich zřetězení –produkční funkce •zřetězení funkcí a i  a j představuje procesy na konkrétním objektu a nazývají se produkční funkce •na jednom systému může být definováno více produkčních funkcí •u produkční funkce rozlišujeme předmět, uplatněné schopnosti, nástroje transformující tento předmět

24 strana 24 Kroky identifikace –předmět produkční funkce •týká se argumentů a výsledků funkce, hovoříme o tzv. bohatství –obsah – nerostné, hmotné, energie, sociální prostředí (zdraví, vzdělanost, životní prostředí) –rozložení – individuální, skupinové, státní –nástroj produkční funkce •formální tvar (jak je funkce zapsána) – např. numerická matematika •smysl a cíle funkce »reprodukce x  y = x »transformace x  y <> x »rozvoj x  y > x »spotřeba x  y < x •kapacita realizátora funkce

25 strana 25 Kroky identifikace –nástroj produkční funkce (pokračování) •prostor = kde funkce působí (odpovídá složkám Vlčkovy definice systému) –jednotlivé části –funkce dvojic prvků = funkce spolupráce –funkce zřetězení prvků = funkce procesů –funkce v prostoru cílů chování = funkce formující účel –funkce v prostoru přežití druhu = funkce formující smysl existence •úroveň –technologická (základní, prostý popis fungování), ekonomizovaná (zahrnuje směnu v rámci rozložení bohatství nezbytnou pro fungování funkce), normová atd.

26 strana 26 Kroky identifikace •stanovení metriky celého systému –získání hodnot prvků funkcí, procesů –závisí také na parametrech rozhraní vazeb mezi jednotlivými prvky •identifikace cílů procesů –„k čemu“ systém je –nejobecněji definováno jako vztah mezi zdroji a produkty, je možno sledovat nákladovou, příjmovou či obě stránky –základním cílem systému je přežití, udržitelný rozvoj •identifikace druhových předpokladů systému –silné funkce, dědičnost atd.


Stáhnout ppt "Dynamické systémy. strana 2 Dynamické systémy •obecné dynamické modely chování systémových jevů •často se vychází ze struktury systému, na které se popisuje."

Podobné prezentace


Reklamy Google